结束放映返回目录获取详细资料请浏览：www.zxjkw.com【2014年高考会这样考】以数列为载体，考查数列求和的各种方法和技巧第4讲数列求和抓住4个考点突破3个考向揭秘3年高考活页限时训练公式法与分组求和法倒序相加法与并项求和法裂项相消法错位相减法考向一考向二考向三助学微博考点自测A级【例2】【训练2】【例1】【训练1】【例3】【训练3】错位相减法求和分组转化求和裂项相消法求和选择题填空题解答题B级选择题填空题解答题求数列{|an|}的前n项和问题单击标题可完成对应部分的学习考点梳理考点梳理一种思路助学微博两点提醒三个公式考点自测单击图标显示详解答案显示单击题号显示结果BDCA12345考向一分组转化求和(1)解【审题视点】考向一分组转化求和【审题视点】【方法锦囊】解考向一分组转化求和【方法锦囊】公比是参数时时刻注意讨论考向二裂项相消法求和【审题视点】解（1）考向二裂项相消法求和【审题视点】【方法锦囊】（2）解(1)考向二裂项相消法求和解(2)解(1)考向三错位相减法求和【审题视点】考向三错位相减法求和【审题视点】【方法锦囊】考向三错位相减法求和规范解答10——求数列{|an|}的前n项和问题揭秘3年高考揭秘3年高考【教你审题】（13分）揭秘3年高考【教你审题】揭秘3年高考【阅卷老师手记】【模板构建】第一步第二步第三步第四步求数列{|an|}的前n项和一般步骤如下：第五步揭秘3年高考揭秘3年高考一、选择题单击显：题干/详解点击题号出答案题号1234BCCDA级基础演练单击显：题干/详解点击题号出答案题号二、填空题56A级基础演练三、解答题A级基础演练87三、解答题78A级基础演练一、选择题单击显：题干/详解点击题号出答案题号12ABB级能力突破单击显：题干/详解点击题号出答案题号二、填空题34B级能力突破结束放映返回目录获取详细资料请浏览：www.zxjkw.com1．数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，则S17＝()．
A．B．C．D．1若a≠1，则an＝1＋a＋…＋an－1＝＝(1－an)，
(2)
＝5＋
综上Sn＝
分两类分别求前n项和；
当a1＝10时，不合题意．
【训练3】已知等差数列{an}满足a2＝0，a6＋a8＝－10.
(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列的前n项和．
列方程组求a1，d；∵S＝an，an＝Sn－Sn－1(n≥2)，
2．(2012·西安模拟)数列{an}满足an＋an＋1＝(nN)，且a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，则S21＝()．
A.B．6C．10D．11
故|an|＝|3n－7|＝(8分)
4．(2012·课标全国)数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前60项和为()．
A．3690B．3660C．1845D．1830
7．(12分)(201·包头模拟)已知数列{xn}的首项x1＝3，通项xn＝2np＋nq(n∈N，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列．求：(1)p，q的值；(2)数列{xn}前n项和Sn.
【例3】(2012·江西)已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋kn(其中kN＋)，且Sn的最大值为8.
(1)确定常数k，并求an；(2)求数列的前n项和Tn.
令an≤0确定正、负项；
分类讨论求和．
则a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d，
3．(201·长沙模拟)等差数列{an}中有两项am和ak(m≠k)，满足am＝，ak＝，则该数列前mk项之和是Smk＝________.
得－＝2，
公差为2的等差数列．
∴Sn＝.
8．(13分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1＝Sn(n＝1,2,3，…)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝时，求数列的前n项和Tn.
第(1)问利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)后，再同除Sn－1·Sn转化为的等差数列即可求Sn.
于是Sn＝1＋2＋…＋n＝；
由(1)知当an＝－3n＋5时a2，a3，a1分别为－1，－4,2，不成等比数列；
－22n－1－
2600
1．公式法与分组求和法
(1)公式法
直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和
等差数列的前n项和公式：Sn＝＝等比数列的前n项和公式：
2)分组求和法
一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减．
反思回顾：查看{|an|}的前n项和与{an}的前n项和的关系，以防求错结果．
1．解析an＝－，a1＋a2＋…＋an＝－1，－1＝9，n＝99.答案B
2解析由题意得a＝a3·a9，又公差d＝－2，(a3－8)2＝a3(a3－12)，a3＝16.S10＝＝＝5(a3＋a3＋5d)＝5×(16＋16－10)＝110，故选D.答案D
3．解析Sn＝＋＝2n＋1＋n2－2.答案C
【规范解答】
由题意Sn－1·Sn≠0，
解(1)设等差数列{bn}的公差为d，
则解得所以bn＝2n.
(2)设每一行组成的等比数列的公比为q.
由于前n行共有1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2个数，且32<13<42，a10＝b4＝8，所以a13＝a10q3＝8q3，又a13＝1，所以解得q＝.
由已知可得cn＝bnqn－1，因此cn＝2n·n－1＝.
所以Sn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝＋＋＋…＋，
Sn＝＋＋…＋＋，
＝[n－(a＋a2＋…＋an)]
设数列{an}的公比为q.由a＝9a2a6得a＝9a
解(1)a3a5＋2a4a6＋a3a9＝100，a＋2a4a6＋a＝100，(a4＋a6)2＝100，又an>0，a4＋a6＝10，
4是a4与a6的等比中项，a4a6＝16，
而q(0,1)，a4>a6，a4＝8，a6＝2，
q＝，a1＝64，an＝64·n－1＝27－n.
1．(2012·福建)数列{an}的通项公式an＝ncos，其前n项和为Sn，则S2012等于()．A．1006B．2012C．503D．0当n≥3时，Sn＝S2＋|a3|＋|a4|＋…＋|an|＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n－7)
用分段函数形式下结论；
由题意，得
所以由等差数列的通项公式，可得
故an＝－3n＋5或an＝3n－7.
5
解(1)由已知得得到an＋1＝an(n≥2)．
数列{an}是以a2为首项，以为公比的等比数列．又a2＝S1＝a1＝，an＝a2×n－2＝n－2(n≥2)．an＝
＝
当n＝1时，S1＝|a1|＝4；(9分)
当n＝2时，S2＝|a1|＋|a2|＝5；(10分)
＝n2－n＋10.
当n＝2时，满足此式．(12分)
第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行 9 8 18 【例1】?等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表中的同一列.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足：
bn＝an＋(－1)nlnan，求数列{bn}的前n项和Sn.
【试一试】在等比数列{an}中，an>0(n∈N)，公比q∈(0,1)，且a3a5＋2a4a6＋a3a9＝100，又4是a4与a6的等比中项．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝log2an，求数列{|bn|}的前n项和Sn.
【真题探究】(2012·湖北)已知等差数列{an}前三项的和为－3，前三项的积为8.
(1)求等差数列{an}的通项公式；
(2)若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|an|}的前n项和．
∴S＝(Sn－Sn－1)，
当n＝kN＋时，Sn＝－n2＋kn取最大值，
6．(13分)(2012·泰州模拟)将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表：
a1
a2a3a4
a5a6a7a8a9
…
已知表中的第一列数a1，a2，a5，…构成一个等差数列，记为{bn}，且b2＝4，b5＝10.表中每一行正中间一个数a1，a3，a7，…构成数列{cn}，其前n项和为Sn.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)若上表中，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数，且a13＝1.
①求Sn；
②记M＝{n|(n＋1)cn≥λ，n∈N}，若集合M的元素个数为3，求实数λ的取值范围．
【训练1】求数列1,1＋a,1＋a＋a2，…，1＋a＋a2＋…＋an－1的前n项和Sn.
解(1)由x1＝3，得2p＋q＝3，又因为x4＝24p＋4q，x5＝25p＋5q，且x1＋x5＝2x4，得3＋25p＋5q＝25p＋8q，解得p＝1，q＝1.
一般数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．
－·若a＝1，则an＝1＋1＋…＋1＝n，
当an＝3n－7时，a2，a3，a1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．
记数列{|an|}的前n项和为Sn.
2．(2013·广州调研)等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，且4a1,2a2，a3成等差数列，则S4＝()．
A．7B．8C．15D．16
3．(201·临沂模拟)数列{an}中，an＝，若{an}的前n项和为，则项数n为()．
A．201B．201C．201D．201
5．(2011·北京)在等比数列{an}中，若a1＝，a4＝－4，则公比q＝________；|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝________.
当a1＝3时，不合题意；(1)观察法；
6．数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a2＝2，an＋2－an＝1＋(－1)n(nN)，则S100＝________.
因此Sn＝＋＋＋…＋－＝4－－＝4－，
解得Sn＝8－.
由知cn＝，不等式(n＋1)cn≥λ，可化为≥λ.
设f(n)＝，
计算得f(1)＝4，f(2)＝f(3)＝6，f(4)＝5，f(5)＝.
因为f(n＋1)－f(n)＝，
所以当n≥3时，f(n＋1)
因为集合M的元素个数为3，所以λ的取值范围是(4,5]．第2步：
第3步：
(1)设等差数列{an}的公差为d，
4．设f(x)＝，利用倒序相加法，可求得f＋f＋…＋f的值为________．
①式两边同除以Sn－1·Sn，
∴数列是首项为＝＝1，
∴＝1＋2(n－1)＝2n－1，
某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化，特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论．
【训练2】(2011·新课标全国)等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a＝9a2a6.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列的前n项和．
(2)bn＝log(3an＋1)＝log＝n.＝＝－.
Tn＝＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋
＝1－＝.
【例2】?在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足S＝an.(1)求Sn的表达式；
(2)设bn＝，求{bn}的前n项和Tn.
求有关数列{|an|}的前n项和的问题，考生经常出现因解题思路不清晰导致出错，如：(1)未想到分类讨论解题；(2)讨论过程中，对ai≤0(ai≥0)分别求和时出错．
求数列{an}的前n项和；
令an≤0(或an≥0)确定分类标准；
当a1＝2时，当且仅当a2＝6，a3＝18时，符合题意；
第(1)问先根据n的二次函数求最值条件确定k的值，并利用结论an＝求出通项即可；
第1步：
an＝2－3(n－1)＝－3n＋5
2．倒序相加法与并项求和法
(1)倒序相加法
如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．
(2)并项求和法
一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．
形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.
3．裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
4．错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．
即2Sn－1Sn＝Sn－1－Sn，
(1)＝－；
(2)＝；
(3)＝－.在利用裂项相消法求和时应注意：
(1)在把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项之差；
(2)在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，或有时前面剩下两项，后面也剩下两项．
于是Sn＝＋＋…＋
因此a1＝2，a2＝6，a3＝18，
所以公比q＝3，故an＝2·3n－1.
1．数列{an}的通项公式是an＝，前n项和为9，则n等于()．
A．9B．99C．10D．100
2．(2011·天津)已知{an}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，nN，则S10的值为()．
A．－110B．－90C．90D．110
3．(2013·泉州月考)若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为()．A．2n＋n2－1B．2n＋1＋n2－1C．2n＋1＋n2－2D．2n＋n－2
4．(2012·全国)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为()．A.B.C.D.
5．已知Sn＝1＋＋＋…＋＋，则Sn＝________.
【命题研究】通过近三年的高考试题分析，对数列求和的考查是高考命题的重点，常与求数列的通项一起考查，多以解答题的形式出现，难度为中等偏上．
解得或(4分)
或an＝－4＋3(n－1)＝3n－7.(6分)
5．(12分)设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，nN.
(1)求数列{an}的通项；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.
na1＋d.
第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行 9 8 18 【例1】?等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表中的同一列.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足：
bn＝an＋(－1)nlnan，求数列{bn}的前2n项和S2n.
(2)合理分组利用求和公式求解．某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化，特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论．
(2)解
因为bn＝an＋(－1)nlnan
＝2·3n－1＋(－1)nln(2·3n－1)
＝2·3n－1＋(－1)n[ln2＋(n－1)ln3]
＝2·3n－1＋(－1)n(ln2－ln3)＋
(－1)nnln3，
所以Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n](ln2－ln3)＋
[－1＋2－3＋…＋(－1)nn]ln3
所以当n为偶数时，
Sn＝2×＋ln3＝3n＋ln3－1；
【例2】?在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足S＝an.(1)求Sn的表达式；
(2)设bn＝，求{bn}的前n项和Tn.
第(2)问求出{bn}的通项公式，用裂项相消法求和使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．
又bn＝＝
＝，
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝
＝＝
(1)一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解．
第(2)问把第(1)问的结果代入后错位相减求和．
(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．
(2)
因为bn＝＝，
(1)设等差数列{an}的公差为d，由已知条件可得
【真题探究】(2012·湖北)已知等差数列{an}前三项的和为－3，前三项的积为8.
(1)求等差数列{an}的通项公式；
(2)若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|an|}的前n项和．
第1步：
列方程组求a1，d；第2步：
令an≤0确定正、负项；
第3步：
分类讨论求和．
【试一试】在等比数列{an}中，an>0(n∈N)，公比q∈(0,1)，且a3a5＋2a4a6＋a3a9＝100，又4是a4与a6的等比中项．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝log2an，求数列{|bn|}的前n项和Sn.
(2)bn＝log2an＝7－n，则数列{bn}的前n项和为Tn＝，当1≤n≤7时，bn≥0，Sn＝.当n≥8时，bn<0，Sn＝b1＋b2＋…＋b7－(b8＋b9＋…＋bn)
＝－(b1＋b2＋…＋bn)＋2(b1＋b2＋…＋b7)＝－＋2×＝，Sn＝解析S17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9.答案解析设数列{an}的公比为q，则4a2＝4a1＋a3，
4a1q＝4a1＋a1q2，即q2－4q＋4＝0，
q＝2.S4＝＝15.
答案C
解析an＝＝－，Sn＝1－＝＝，解得n＝201.答案
解析当n＝2k时，a2k＋1＋a2k＝4k－1，当n＝2k－1时，a2k－a2k－1＝4k－3，a2k＋1＋a2k－1＝2，a2k＋1＋a2k＋3＝2，a2k－1＝a2k＋3，a1＝a5＝…＝a61.
a1＋a2＋a3＋…＋a60＝(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a60＋a61)＝3＋7＋11＋…＋(2×60－1)＝＝30×61＝1830.答案D
(2)由(1)，知xn＝2n＋n，所以Sn＝(2＋22＋…＋2n)＋(1＋2＋…＋n)＝2n＋1－2＋.
解析设等比数列{an}的公比为q，则a4＝a1q3，代入数据解得q3＝－8，所以q＝－2；等比数列{|an|}的公比为|q|＝2，则|an|＝×2n－1，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝(1＋2＋22＋…＋2n－1)＝(2n－1)＝2n－1－.答案－22n－1－
解析由an＋2－an＝1＋(－1)n，知a2k＋2－a2k＝2，
a2k＋1－a2k－1＝0，a1＝a3＝a5＝…＝a2n－1＝1，数列{a2k}是等差数列，a2k＝2k.
S100＝(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a100)＝50＋(2＋4＋6＋…＋100)＝50＋＝2600.
答案2600
解析因cos呈周期性出现，则观察此数列求和规律，列项如下：a1＝0，a2＝－2，a3＝0，a4＝4，此4项的和为2.
a5＝0，a6＝－6a7＝0a8＝8此4项的和为2.依次类推，得
S2012＝(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋a7＋a8)＋…＋(a2009＋a2010＋a2011＋a2012)＝×2＝1006.故选A.答案A
解析依题意得an＋an＋1＝an＋1＋an＋2＝，则an＋2＝an，即数列{an}中的奇数项、偶数项分别相等，则a21＝a1＝1，S21＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a19＋a20)＋a21＝10(a1＋a2)＋a21＝10×＋1＝6，故选B.答案B
解析设数列{an}的首项为a1，公差为d.则有
解得
所以Smk＝mk·＋·＝.答案
解析当x1＋x2＝1时，f(x1)＋f(x2)＝＋＝＝1.
设S＝f＋f＋…＋f，倒序相加有2S＝＋＋…＋f＋f＝10，即S＝5.答案5
4．解析设数列{an}的公差为d，则a1＋4d＝5，S5＝5a1＋d＝15，
得d＝1，a1＝1，故an＝1＋(n－1)×1＝n，所以＝＝－，
所以S100＝1－＋－＋…＋－＝1－＝，故选A.答案A
5．解析Sn＝1＋＋＋…＋＋，①
Sn＝＋＋…＋＋，②
①－②得：Sn＝1＋＋＋…＋－＝－＝－
∴Sn＝－·＝－·＝－·.答案－·
当n为奇数时
Sn＝2×－(ln2－ln3)＋·ln3
＝3n－ln3－ln2－1.
综上所述，Sn＝
所以q2＝.
由条件可知q＞0，故q＝.
由2a1＋3a2＝1，得2a1＋3a1q＝1，
所以a1＝.
故数列{an}的通项公式为an＝.
bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an
＝－(1＋2＋…＋n)＝－.
故＝－＝－2.
＋＋…＋
＝－2
＝－.
所以数列的前n项和为－.
8＝Sk＝－k2＋k2＝k2，
故k2＝16，因此k＝4，
从而an＝Sn－Sn－1＝－n(n≥2)．
又a1＝S1＝，所以an＝－n.
【例3】(2012·江西)已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋kn(其中kN＋)且Sn的最大值为8.
(1)确定常数k，并求an；(2)求数列的前n项和Tn.
Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝1＋＋＋…＋＋
所以Tn＝2Tn－Tn
＝2＋1＋＋…＋－
＝4－－＝4－.
解得
故数列{an}的通项公式为an＝2－n.
(2)设数列的前n项和为Sn，
∵＝＝－，
∴Sn＝2＋1＋＋＋…＋－.
记Tn＝1＋＋＋…＋，
则Tn＝＋＋＋…＋，
①－得：Tn＝1＋＋＋…＋－，
∴Tn＝－.
即Tn＝4－.
∴Sn＝－4＋
＝4－4＋＝.
(1)由已知写出前n－1项之和，两式相减．(2)bn＝n·3n的特点是数列{n}与{3n}之积，可用错位相减法．
解(1)a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，
∴当n≥2时，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝，
①－得3n－1an＝，an＝.
在中，令n＝1，得a1＝，适合an＝，an＝.
5．(12分)设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，nN.
(1)求数列{an}的通项；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.
(2)∵bn＝，bn＝n·3n.Sn＝3＋2×32＋3×33＋…＋n·3n，
∴3Sn＝32＋2×33＋3×34＋…＋n·3n＋1.
④－得2Sn＝n·3n＋1－(3＋32＋33＋…＋3n)，
即2Sn＝n·3n＋1－，Sn＝＋.
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