结束放映返回概要获取详细资料请浏览：www.zxjkw.com【2014年高考会这样考】结合函数、不等式、方程、几何等知识，综合考查数列和式的相关性质，如和式的最值、单调性、不等关系式的证明等．第5讲数列的综合应用抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考活页限时训练等差、等比数列的综合等差、等比数列的实际应用等差、等比数列与其他知识的综合考向一考向二考向三助学微博考点自测A级【例2】【训练2】【例1】【训练1】【例3】【训练3】数列与不等式的综合应用等差、等比数列的综合应用数列与函数的综合应用选择题填空题解答题B级选择题填空题解答题破解数列的实际应用问题考点梳理考点梳理两点提醒助学微博考点自测单击图标显示详解答案显示单击题号显示结果BDD12345考向一等差、等比数列的综合应用【审题视点】解(1)考向一等差、等比数列的综合应用【方法锦囊】解（1）考向一等差、等比数列的综合应用-a
(2)设bn＝(1－an)2－a(1－an)，若bn＋1>bn对任意n∈N恒成立，求实数a的取值范围．
(1)利用an与Sn之间关系求an；
由a2>0，得a2＝2，所以an－an－1＝1(n≥2)．所以an＝n.
【训练3】(201·湖州质量检测)已知等比数列{an}满足2a1＋a3＝3a2，且a3＋2是a2，a4的等差中项．(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝an＋log2，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求使Sn－2n＋1＋47<0成立的n的最小值．
由已知得log2－＝2n，解得d＝2或d＝－13(舍去)，设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d.
解(1)设等差数列{an}的公差为d，因为S5＝5a3＝35，a5＋a7＝26，所以解得a1＝3，d＝2，所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，Sn＝3n＋×2＝n2＋2n.
则S1＋＝，
因此是以为首项，2为公比的等比数列
由得q2－3q＋2＝0，解得q＝1或q＝2.
当q＝1时，不合题意，舍去；
当q＝2时，代入得a1＝2，所以an＝2·2n－1＝2n.
6．(2012·南通模拟)已知a，b，c成等比数列，如果a，x，b和b，y，c都成等差数列，则＋＝________.
2
所以an－an－1＝1(n≥3)
解(2)
1．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2的值为()．
A．－4B．－6C．－8D．－10
2．若互不相等的实数a，b，c成等差数列，c，a，b成等比数列，且a＋3b＋c＝10，则a＝()．
A．4B．2C．－2D．－4
3．(2012·上海)设an＝sin，Sn＝a1＋a2＋…＋an.在S1，S2，…，S100中，正数的个数是()．A．25B．50C．75D．100
4．(2011·江苏)设1＝a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是________．
5．(课本改编题)如果某种产品的产量月增长率为p，则年增长率为________．
第3步：
【训练2】(2013·临沂联考)在数列{an}中，a1＝1，且点(an，an＋1)在函数f(x)＝x＋2的图象上(nN)．
(1)证明数列{an}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}满足bn＝，求数列{bn}的通项公式及其前n项和Sn.
【训练1】成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{bn}中的b3，b4，b5.(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列是等比数列．
2．(2012·四川)设函数f(x)＝2x－cosx，{an}是公差为的等差数列，f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a5)＝5π，则[f(a3)]2－a1a5＝()．
A．0B.π2C.π2D.π2
解析设g(x)＝2x＋sinx，由已知等式得g＋g＋…＋g＝0，则必有a3－＝0，即a3＝(否则若a3－＞0，则有＋＝＋＝2＞0，注意到g(x)是递增的奇函数，g＞0，g＞g＝－g，g＋g＞0，同理g＋g＞0，g＋g＋…＋g＞0，这与“g＋g＋…＋g＝0”相矛盾，因此a3－＞0不可能；同理a3－＜0也不可能)；又{an}是公差为的等差数列，a1＋2×＝，a1＝，a5＝，f(a3)＝f＝π－cos＝π，[f(a3)]2－a1a5＝π2，选D.
答案D
7．(12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S5＝35，a5和a7的等差中项为13.(1)求an及Sn；
(2)令bn＝(n∈N)，求数列{bn}的前n项和Tn.
即n2＋n－90>0，解得n>9或n<－10.
5．(2012·安庆模拟)设关于x的不等式x2－x＜2nx(nN)的解集中整数的个数为an，数列{an}的前n项和为Sn，则S100的值为________．
(1)解当n＝1时，2a1＝a2－4＋1＝a2－3，
当n＝2时，2(a1＋a2)＝a3－8＋1＝a3－7，
又a1，a2＋5，a3成等差数列，所以a1＋a3＝2(a2＋5)，由解得a1＝1.
(1)由题意，得a1＝2000(1＋50%)－d＝3000－d，(2分)
a2＝a1(1＋50%)－d＝a1－d＝4500－d，(4分)
an＋1＝an(1＋50%)－d＝an－d.(6分)
1．已知{an}为等比数列．下面结论中正确的是()．
A．a1＋a3≥2a2B．a＋a≥2a
C．若a1＝a3，则a1＝a2．若a3>a1，则a4>a2
【命题研究】通过近三年的高考试题分析，数列试题在高考中的位置逐步前移，考查难度也逐步降低，因此对数列应用题的考查也有所降低，数列应用题多以现实生活中的“增长率”、“贷款”等问题为背景命题，考查数列的通项、前n项和等知识．
(2)由(1)，得an＝an－1－d＝－d＝2an－2－d－d…＝n－1a1－d.(8分)整理，得an＝n－1(3000－d)－2d＝n－1(3000－3d)＋2d.(10分)由题意，得am＝4000，所以m－1(3000－3d)＋2d＝4000.
本题考查利用数列知识解决实际应用题，考查数学建模的能力和运算能力，难度偏大．考生在本题出现的错误主要有：(1)对题理解不透，an＋1与an的关系式求错；(2)第(2)问计算出错．
【真题探究】(2012·湖南)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元．
(1)用d表示a1，a2，并写出an＋1与an的关系式；
(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示)．
(2)证明因为Kn＝2·21＋3·22＋…＋(n＋1)·2n，
故2Kn＝2·22＋3·23＋…＋n·2n＋(n＋1)·2n＋1，
①－得－Kn＝2·21＋22＋23＋…＋2n－(n＋1)·2n＋1，
Kn＝n·2n＋1，则cn＝＝.
cn＋1－cn＝－
＝>0，所以cn＋1>cn(nN)．
6．(13分)(2012·安徽)设函数f(x)＝＋sinx的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{xn}．
(1)求数列{xn}的通项公式；(2)设{xn}的前n项和为Sn，求sinSn.
1．解析由题意知：a＝a1a4，则(a2＋2)2＝(a2－2)(a2＋4)，解得：a2＝－6.答案B
2．解析由c，a，b成等比数列可将公比记为q，三个实数a，b，c待定为cq，cq2，c.由实数a，b，c成等差数列，得2b＝a＋c，即2cq2＝cq＋c，又在等比数列中c≠0，所以2q2－q－1＝0，解之得q＝1(舍去，否则三个实数相等)或q＝－，又a＋3b＋c＝a＋3aq＋＝－a＝10，所以a＝－4.答案D
3．解析由数列通项可知，当1≤n≤25，n∈N时，an≥0，当26≤n≤50，n∈N时，an≤0，因为a1＋a26＞0，a2＋a27＞0，…，所以S1，S2，…，S50都是正数；当51≤n≤100，n∈N时，同理S51，S52，…，S100也都是正数，所以正数的个数是100.答案D
1．(2012·济南质检)设y＝f(x)是一次函数，若f(0)＝1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，则f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)等于()．
A．n(2n＋3)B．n(n＋4)C．2n(2n＋3)D．2n(n＋4)
1．等差、等比数列的综合
解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来，研究这些项与序号之间的关系；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解．
2．等差、等比数列的实际应用
(1)现实生活中涉及银行利率、存款利息、企业股金、产品利润、人口增长、产值产量等问题，常常考虑用数列的知识去解决．
(2)利息＝本金×利率×存期，如果涉及复利问题，常用等比数列模型解决．涉及分期付款问题时，由于一般采用复利计算利息的办法，所以也要借助等比数列模型解决．
(3)一般地，涉及递增率要用等比数列，涉及依次增加或者减少要用等差数列．有的问题是通过转化得到等差或等比数列的，在解决问题时要往这些方面去联系．
(4)在实际问题中建立数列模型时，一般有两种途径：一是从特例入手，归纳猜想，推广到一般结论；二是从一般入手，找到递推关系，再进行求解．
2为公比的等比数列，
因为Sn－2n＋1＋47<0，
第2步：
求an与d的函数关系式；
所以sinSn＝－sin.当n＝3m－2(mN)时，sinSn＝－sin＝－；当n＝3m－1(mN)时，sinSn＝－sin＝；当n＝3m(mN)时，sinSn＝－sin2mπ＝0.
综上所述，sinSn＝
所以{bn}中的b3，b4，b5
(1)解设公差为d，则
解得d＝1或d＝0(舍去)，a1＝2，所以an＝n＋1，Sn＝.
又a1＝2，d＝1，所以a3＝4.所以数列{bn}的首项为b1＝2，公比q＝＝2，所以bn＝2n，Tn＝2n＋1－2.
则105×(1＋4%)10＝x(1＋4%)9＋x(1＋4%)8＋x(1＋4%)7＋…＋x，
由等比数列的求和公式，可得105×1.0410＝·x.其中1.0410＝(1＋0.04)10＝1＋10×0.04＋45×0.042＋120×0.043＋…＋0.0410≈1.4802.所以x≈＝12330.依次为7－d,10,18＋d.
所以{bn}是以为首项，
数列{bn}的前n项和Sn＝＝5·2n－2－，
设等比数列{an}的公比为q，依题意，有即
第4步：
因为a＝Sn＋Sn－1(n≥2)，所以a＝Sn－1＋Sn－2(n≥3)，
又a＝S2＋S1，且a1＝1，得a－a2－2＝0，
4．(2012·沈阳四校联考)数列{an}的前n项和为Sn，若数列{an}的各项按如下规律排列：
，，，，，，，，，，…，，，…，，…，有如下运算和结论：a24＝；数列a1，a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9＋a10，…是等比数列；数列a1，a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9＋a10，…的前n项和为Tn＝；若存在正整数k，使Sk<10，Sk＋1≥10，则ak＝.
其中正确的结论有________．(将你认为正确的结论序号都填上)
依题意，得a－d＋a＋a＋d＝15，解得a＝5.
3．设曲线y＝xn＋1(nN)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lgxn，则a1＋a2＋a3＋…＋a99的值为________．
由b3＝b1·22，即5＝b1·22，解得b1＝.
又＝＝2，
所以2n＋1－2－n－n2－2n＋1＋47<0，
建模，首先要认真审题，理解实际背景，理清数学关系，把应用问题抽象为数学中的数列问题；
解模，利用所学的数列知识，解决数列模型中的相关问题；
2．满足a1＝1，log2an＋1＝log2an＋1(nN)，它的前n项和为Sn，则满足Sn>1025的最小n值是()．
A．9B．10C．11D．12
10100
8．(13分)(2012·广东)设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，n∈N，且a1，a2＋5，a3成等差数列．(1)求a1的值；(2)求数列{an}的通项公式；
(3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋<.
两式相减得a－a＝Sn－Sn－2＝an＋an－1
总结规律，写出an＋1与an的关系式；
bn＝an＋log2＝2n＋log2＝2n－n.5．(12分)已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和为14，且a1，a3，a7恰为等比数列{bn}的前三项．
(1)分别求数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn；
(2)记数列{anbn}的前n项和为Kn,设cn＝，求证：cn＋1>cn(n∈N)．
6．(13分)(2012·安徽)设函数f(x)＝＋sinx的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{xn}．
(1)求数列{xn}的通项公式；(2)设{xn}的前n项和为Sn，求sinSn.
3．等差、等比数列与其他知识的综合
(1)数列是自变量为正整数的一类函数，数列的通项公式相当于函数的解析式，我们可以用函数的观点来研究数列．例如要研究数列的单调性、周期性，可以通过研究其通项公式所对应函数的单调性、周期性来实现，但要注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性．
(2)由于在等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d(d≠0)中，an是关于n的一次函数，在其前n项和公式Sn＝na1＋d中，Sn是关于n的二次函数；在等比数列的通项公式an＝a1qn－1(q>0且q≠1)中，an和n的关系类似于指数函数，所以等差数列与一次函数、二次函数，等比数列与指数函数有着密切的关系．
(3)数列与不等式的综合问题主要有三种：一是判断数列问题中的一些不等关系；二是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；三是考查与数列问题有关的不等式的证明问题．在解决这些问题时，要充分利用数列自身的特点，例如在需要用到数列的单调性的时候，可以通过比较相邻两项的大小进行判断．
故{bn}的第3项为5，公比为2.
依题意，有(7－d)(18＋d)＝100，
因为nN，故使Sn－2n＋1＋47<0成立的正整数n的最小值为10.【规范解答】
4．(2013·福州模拟)在等差数列{an}中，满足3a4＝7a7，且a1>0，Sn是数列{an}前n项的和，若Sn取得最大值，则n＝()．A．7B．8C．9D．10
解(1)因为f′(x)＝＋cosx＝0，cosx＝－，
解得x＝2kπ±π(kZ)．
由xn是f(x)的第n个正极小值点知，xn＝2nπ－π(nN)．
对于，注意到21＝<24<＝28，因此数列{an}中的第24项应是第7组中的第3个数，即a24＝，因此正确．
对于、，设bn为、中的数列的通项，则bn＝
＝，显然该数列是等差数列，而不是等比数列，其前n项和等于×＝，因此不正确，正确．
对于，注意到数列的前6组的所有项的和等于＝10，因此满足条件的ak应是第6组中的第5个数，即ak＝，因此正确．
综上所述，其中正确的结论有.
∵点(an，an＋1)在函数f(x)＝x＋2的图象上，
①③④
5．(12分)已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和为14，且a1，a3，a7恰为等比数列{bn}的前三项．
(1)分别求数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn；
(2)记数列{anbn}的前n项和为Kn,设cn＝，求证：cn＋1>cn(n∈N)．
【试一试】某家庭计划年初向银行贷款10万元用于买房，他们选择10年期贷款，偿还贷款的方式为：分10次等额归还，每年一次，并从借后次年年初开始归还，若10年期贷款的年利率为4%，且每年利息均按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息)，问每年应还多少元？(精确到1元其中1.0410≈1.4802)?
解按照贷款的规定，在贷款全部还清时，10万元贷款的价值与这个人还款的价值总额应该相等．我们可以考虑把所有的款项都转化到同一时间(即贷款全部付清时)去计算．在10年后(即贷款全部付清时)10万元的价值为105(1＋4%)10元．设每年还款x元，则第1次偿还的x元，在贷款全部付清时的价值为x(1＋4%)9；第2次偿还的x元，在贷款全部付清时的价值为x(1＋4%)8；……第10次偿还的x元，在贷款全部付清时的价值为x元．
其通项公式为bn＝·2n－1＝5·2n－3.
(1)将an看成一个未知数，解方程即可求出an；
故所求数列{an}的通项公式an＝2n(nN)
＝－＝2n＋1－2－n－n2.
释模，把已解决的数列模型中的问题返回实际中去，与实际问题相对应，确定问题的结果．
3．(2013·威海期中)某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)＝n(n＋1)(2n＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是()．A．5年B．6年C．7年D．8年
解得d＝＝.(12分)
故该企业每年上缴资金d的值为时，经过m(m≥3)年企业的剩余资金为4000万元．(13分)
第1步：
所以Sn＝2－1＋22－2＋23－3＋…＋2n－n
＝(2＋22＋23＋…＋2n)－(1＋2＋3＋…＋n)
(1)对等差、等比数列的概念、性质要有深刻的理解，有些数列题目条件已指明是等差(或等比)数列，但有的数列并没有指明，可以通过分析，转化为等差数列或等比数列，然后应用等差、等比数列的相关知识解决问题．
(2)等差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数列，它们是研究数列性质的基础，它们与函数、方程、不等式、三角等内容有着广泛的联系，等差数列和等比数列在实际生活中也有着广泛的应用，随着高考对能力要求的进一步增加，这一部分内容也将受到越来越多的关注．【例2】已知函数f(x)＝log2x－logx2(0
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)判断数列{an}的单调性．
-2
(2)证明
即Sn＋＝5·2n－2，
∴cn＝
建立数学模型，求出a1，a2的值；代入已知an＝4000，求d.
【例3】?(2013·宁波模拟)已知正数数列{an}的前n项和为Sn，满足a＝Sn＋Sn－1(n≥2)，a1＝1.(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝(1－an)2－a(1－an)，若bn＋1>bn对任意n∈N恒成立，求实数a的取值范围．
(1)以数列为背景的不等式恒成立问题，多与数列求和相联系，最后利用函数的单调性求解．
(2)以数列为背景的不等式证明问题，多与数列求和有关，有时利用放缩法证明．
(2)利用函数的单调性或分离参数求解．
解(2)法1:bn＝(1－n)2－a(1－n)＝n2＋(a－2)n＋1－a，
令g(t)＝t2＋(a－2)t＋1－a，
当<时，即a>－1时，
g(t)在[2，＋∞)上为增函数且g(1)
所以b1
当≥时即a≤－1时，g(1)≥g(2)
法bn＋1－bn＝2n＋1＋a－2>0所以a>1－2n，对任意nN恒成立，所以a>－1.从而b2≤b1不合题意．所以a>－1.
解析设公比为q，对于选项A，当a1<0，q≠1时不正确；选项C，当q＝－1时不正确；选项D，当a1＝1，q＝－2时不正确；选项B正确，因为a＋a≥2a1a3＝2a.答案B
解析因为a1＝1，log2an＋1＝log2an＋1(n∈N)，所以an＋1＝2an，an＝2n－1，Sn＝2n－1，则满足Sn>1025的最小n值是11.答案C
解析由已知可得第n年的产量an＝f(n)－f(n－1)＝3n2.当n＝1时也适合，据题意令an≥150n≥5，即数列从第8项开始超过150，即这条生产线最多生产7年．答案C
解析设公差为d，由题设3(a1＋3d)＝7(a1＋6d)，所以d＝－a1<0.解不等式an>0，即a1＋(n－1)>0，所以n<，则n≤9，当n≤9时，an>0，同理可得n≥10时，an<0.故当n＝9时，Sn取得最大值．答案C
解析由x2－x＜2nx(nN)，得0＜x＜2n＋1，因此知an＝2n.
S100＝＝10100.
答案10100
解析赋值法．如令a，b，c分别为2,4,8，可求出x＝＝3，y＝＝6，＋＝2.
答案2
(2)由(1)知an＝2n＋1，所以bn＝＝＝－，所以Tn＝＋＋…＋＝1－＝.
8．(13分)(2012·广东)设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，n∈N，且a1，a2＋5，a3成等差数列．(1)求a1的值；(2)求数列{an}的通项公式；
(3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋<.
(3)证明由(2)得＝.当n≥2时，n>2，即3n－2n>2n，
＋＋…＋<1＋2＋3＋…＋n＝1＋<.
(2)解2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，当n≥2时，有2Sn－1＝an－2n＋1，两式相减得an＋1－3an＝2n，则－·＝1，即＋2＝.又＋2＝3，知是首项为3，公比为的等比数列，＋2＝3n－1，即an＝3n－2n，n＝1时也适合此式，an＝3n－2n.
解析由题意可设f(x)＝kx＋1(k≠0)，
则(4k＋1)2＝(k＋1)×(13k＋1)，解得k＝2，
f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)＝(2×2＋1)＋(2×4＋1)＋…＋(2×2n＋1)＝2n2＋3n.答案A
解析由y′＝(n＋1)xn(xN)，所以在点(1,1)处的切线斜率k＝n＋1，故切线方程为y＝(n＋1)(x－1)＋1，令y＝0得xn＝，所以a1＋a2＋a3＋…＋a99＝lgx1＋lgx2＋…＋lgx99＝lg(x1·x2·…·x99)＝lg××…×＝lg＝－2.答案－2
解析依题意将数列{an}中的项依次按分母相同的项分成一组第n组中的数的规律是：第n组中的数共有n个，并且每个数的分母均是n＋1，分子由1依次增大到n，第n组中的各数和等于＝.
(2)由(1)可知，Sn＝2π(1＋2＋…＋n)－nπ＝n(n＋1)π－，所以sinSn＝sin.
因为n(n＋1)表示两个连续正整数的乘积，n(n＋1)一定为偶数
4．解析设a2＝t，则1≤t≤q≤t＋1≤q2≤t＋2≤q3，由于t≥1，所以q≥max{t，，}故q的最小值是.答案
5．解析设年初的产量为a，则一月底为a(1＋p)，二月底为a(1＋p)2，…，12月底为a(1＋p)12.设年增长率为x，则一年底为a(1＋x)，所以a(1＋x)＝a(1＋p)12，解得：x＝(1＋p)12－1.答案(1＋p)12－1
故c1＋c2＋c3＋…＋c2014
＝10＋3×23＋3×25＋…＋3×24027
＝10＋＝24029＋2.
【例1】已知等差数列{an}的首项a1＝2，公差d>0，且第1项，第3项，第11项分别是等比数列{bn}的前3项．(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；
(2)对任意正整数n，数列{cn}满足＋＋＋…＋＝an＋1，求c1＋c2＋c3＋…＋c2014的值．
对于等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列的通项、前n项和，以及等差、等比数列项之间的关系，往往用到转化与化归的思想方法．
由题意得a1(a1＋10d)＝(a1＋2d)2(d>0)，
解得d＝3，an＝2＋(n－1)×3＝3n－1，
∵＝an＋1－an＝3，
∴cn＝3×22n－1，
【例1】已知等差数列{an}的首项a1＝2，公差d>0，且第1项，第3项，第11项分别是等比数列{bn}的前3项．(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；
(2)对任意正整数n，数列{cn}满足＋＋＋…＋＝an＋1，求c1＋c2＋c3＋…＋c2014的值．
(1)由题设列出关于a1与d的方程，求d，再求q；
(2)写出n≥2时，数列{cn}满足的等式，两式相减可求cn.
由b1＝a1＝2，b2＝a3＝8，可得q＝4，
∴bn＝2×4n－1＝22n－1.
(2)当n＝1时，c1＝10，
当n≥2时，
∴an－＝2n，即a－2nan－1＝0.
∴an＝n±.
∵0
∴an＝n－
(2)通过比较an和an＋1的大小来判断数列{an}的单调性．
∵an＋1－an＝(n＋1)－－(n－)
＝1－
>1－＝0，
∴an＋1>an，{an}是递增数列．
∵＝
＝<1，
又an<0，an＋1>an，
∴{an}是递增数列．
本题融数列、方程、函数单调性等知识为一体，结构巧妙、形式新颖，着重考查逻辑分析能力．
∴an＋1＝an＋2，
∴an＋1－an＝2，
∴{an}是以a1＝1为首项，2为公差的等差数列．
∴an＝2n－1.
由题意知bn＝＝，
则Sn＝＋＋…＋＋，
Sn＝＋＋…＋＋，
①－得Sn＝＋＋＋…＋－
＝＋－
＝－，
则Sn＝1－.
2．(2012·四川)设函数f(x)＝2x－cosx，{an}是公差为的等差数列，f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a5)＝5π，则[f(a3)]2－a1a5＝()．A．0B.π2C.π2D.π2
解析设g(x)＝2x＋sinx，由已知等式得g＋g＋…＋g＝0，则必有a3－＝0，即a3＝(否则若a3－＞0，则有＋＝＋＝2＞0，注意到g(x)是递增的奇函数，g＞0，g＞g＝－g，g＋g＞0，同理g＋g＞0，g＋g＋…＋g＞0，这与“g＋g＋…＋g＝0”相矛盾，因此a3－＞0不可能；同理a3－＜0也不可能)；又{an}是公差为的等差数列，a1＋2×＝，a1＝，a5＝，f(a3)＝f＝π－cos＝π，[f(a3)]2－a1a5＝π2，选D.答案D
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