结束放映返回概要获取详细资料请浏览：www.zxjkw.com【2014年高考会这样考】1．考查二元一次不等式组表示的区域问题．2．考查目标函数在可行域条件下的最优解问题．第3讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考活页限时训练二元一次不等式表示的平面区域线性规划的有关概念考向一考向二考向三助学微博考点自测A级【例2】【训练2】【例1】【训练1】【例3】【训练3】线性规划的实际应用二元一次不等式(组)表示的平面区域线性目标函数的最值问题选择题填空题解答题B级选择题填空题解答题巧解线性规划中参变量问题单击标题可完成对应小部分的学习，每小部分独立成块，可全讲，也可选讲考点梳理考点梳理一种方法助学微博两点提醒考点自测考点自测单击图标显示详解答案显示单击题号显示结果ABB[－3,3]12345【审题视点】解考向一二元一次不等式(组)表示的平面区域【方法锦囊】解析本题找准区域是关键，恰当选择三角形底和高求面积是技巧。考向一二元一次不等式(组)表示的平面区域考向二线性目标函数的最值问题解【审题视点】【方法锦囊】解考向二线性目标函数的最值问题考向三线性规划的实际应用解【审题视点】考向三线性规划的实际应用【方法锦囊】解考向三线性规划的实际应用热点突破15——巧解线性规划中参变量问题揭秘3年高考揭秘3年高考【教你审题】[解法]21揭秘3年高考解法一m-z法一完揭秘3年高考解法二N一、选择题单击详解点击题号出答案题号1234DCCAA级基础演练单击显：题干/详解点击题号出答案题号二、填空题56A级基础演练三、解答题87A级基础演练三、解答题87A级基础演练三、解答题87A级基础演练三、解答题87A级基础演练一、选择题单击显：题干/详解点击题号出答案题号12CAB级能力突破单击显：题干/详解点击题号出答案题号二、填空题34B级能力突破三、解答题56B级能力突破结束放映返回概要获取详细资料请浏览：www.zxjkw.com最大值
作出不等式组对应的平面区域(如图所示)，
最大值
x－1≤0与x＋y－1≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示．
4．(2011·湖南)设m>1，在约束条件下，目标函数z＝x＋my的最大值小于2，则m的取值范围为________．
求出点A，B，C的坐标分别为A(1,2)，B(2,2)，C(3,0)，
1．(2012·山东)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－y的取值范围是()．A.B.C.D.
解析作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示，作直线3x－y＝0，并向上、下平移，由图可得，当直线过点A时，z＝3x－y取最大值；当直线过点B时，z＝3x－y取最小值．由解得A(2,0)；由解得B.zmax＝3×2－0＝6，zmin＝3×－3＝－.
z＝3x－y的取值范围是.答案A
显然当直线x＋y＝m经过点C时，不等式x－y≥－1成立，
1．(201·临沂一模)实数x，y满足若目标函数z＝x＋y取得最大值4，则实数a的值为()．A．4B．C．2D.此时x、y满足条件
画出可行域如图，
易知直线经过可行域上的点A(5,15)时，
即M(9,4)．所以zmax＝80×9＋60×4＝960(万元)．
则总利润z＝4×0.55x＋6×0.3y－1.2x－0.9y＝x＋0.9y.
第1步作出表示的区域；
作出直线l0：4x＋3y＝0并平移，
对于面积问题，可先画出平面区域，然后判断其形状、求得相应交点坐标、相关线段长度等，利用面积公式求解；对于求参问题，则需根据区域的形状判断不等式组的边界，从而确定参数的取值或范围
∵S△ABC＝2，∴(1＋a)×1＝2，解得a＝3.
6．(2012·安徽)若x，y满足约束条件则x－y的取值范围是________
6．(13分)某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都有一部分是一等品，其余是二等品，已知甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率多0.25，甲产品为二等品的概率比乙产品为一等品的概率少0.05.
(1)分别求甲、乙产品为一等品的概率P甲，P乙；
项目用量产品 工人(名) 资金(万元) 甲 4 20 乙 8 5 (2)已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如表所示，且该厂有工人32名，可用资金55万元．设x，y分别表示生产甲、乙产品的数量，在(1)的条件下，求x，y为何值时，z＝xP甲＋yP乙最大，最大值是多少？
解(1)不等式x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及其右下方的点的集合，x＋y≥0表示直线x＋y＝0上及其右上方的点的集合，x≤3表示直线x＝3上及其左方的点的集合．
所以，不等式组表示的平面区域如图所示．结合图中可行域得x，y[－3,8]．
由图a，可知当直线经过点C时，z取得最小值，
由题意，得＝－1，解得m＝5.故填5.
当m＝2时，不等式组表示的平面区域只包含一个点A(1,1)．显然都不符合题意．
设黄瓜、韭菜的种植面积分别为x、y亩，
【试一试】已知实数x，y满足如果目标函数z＝x－y的最小值为－1，则实数m＝________.
第3步移动直线x＝m至恰当位置，求m的最大值．
【试一试】已知实数x，y满足如果目标函数z＝x－y的最小值为－1，则实数m＝________.
此时(0，－1)为最优解，
不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分)
-3
故先将其看作已知条件，如图所示，
最小值
设出变量(设A产品x件，B产品y件)，根据题意找出约束条件和目标函数，由线性规划实际问题的步骤可求解．
线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点
或边界处取得，所以对于一般的线性规划问题，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值．
则作出可行域，如图．
所以z＝0－2×(－1)＝2.
可行解【训练1】若不等式组所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为()．
A．－5B．1C．2D．3
设搭载A产品x件，B产品y件，预计收益z＝80x＋60y.
由题意知不等式组所表示的平面区域为一个三角形区域，
-1
(2)依题意得x、y应满足的约束条件为且z＝0.65x＋0.4y.作出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分，即可行域．作直线l0：0.65x＋0.4y＝0即13x＋8y＝0，把直线l向上方平移到l1的位置时，直线经过可行域内的点M，此时z取得最大值．解方程组得x＝2，y＝3.故M的坐标为(2,3)，所以z的最大值为zmax＝0.65×2＋0.4×3＝2.5.所以，当x＝2，y＝3时，z取最大值为2.5.
对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点．
由目标函数z＝x－y的最小值为－1，
解得
不等式组所表示的平面区域如图所示，
作出直线x－y＝－1，则该直线与可行域的边界直线y＝2x－1交于点C(2,3)，
4．(2012·新课标全国)设x，y满足约束条件
则z＝x－2y的取值范围为________．
5．(2013·郑州模拟)设m>1，在约束条件下，目标函数z＝x＋5y的最大值为4，则m的值为________．
平移直线y＝－x，
故搭载A产品9件，B产品4件，可使得总预计收益最大，为960万元
【真题探究】(2012·福建)若函数y＝2x图象上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为()．
A.B．1C.D．2
第2步作出函数y＝2x的图象；
4．(2013·洛阳一模)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润1万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在某个生产周期内甲产品至少要生产1吨，乙产品至少要生产2吨，消耗A原料不超过13吨，消耗B原料不超过18吨，那么该企业在这个生产周期内获得最大利润时甲产品的产量应是()．
A．1吨B．2吨C．3吨D.吨
由题知在点(1,0)处的切线的斜率k＝f′(1)＝＝1，
(2)由图形及不等式组知
当x＝3时，－3≤y≤8，有12个整点；
当x＝2时，－2≤y≤7，有10个整点；
当x＝1时，－1≤y≤6，有8个整点；
当x＝0时，0≤y≤5，有6个整点；当x＝－1时，1≤y≤4，有4个整点；当x＝－2时，2≤y≤3，有2个整点；平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个)．
2．线性规划的有关概念
名称 意义 线性约束条件 由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组，是对x，y的约束条件 目标函数 关于x、y的解析式 线性目标函数 关于x，y的一次解析式 可行解 满足的解(x，y) 可行域 所有组成的集合 最优解 使目标函数达到或的可行解 线性规划问题 求线性目标函数在线性约束条件下的或的问题 3．(2013·咸阳一模)设实数x、y满足则的最大值是________．
5．(2012·大纲全国)若x，y满足约束条件则z＝3x－y的最小值为________．
解(1)依题意得解得
故甲产品为一等品的概率P甲＝0.65，乙产品为一等品的概率P乙＝0.4.则ABC的面积为S＝×(2－1)×2＝1.
答案B
2．(2011·广东)已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(，1)则z＝O·O的最大值为()．
A．4B．3C．4D．3
7．(12分)(2012·合肥模拟)画出不等式组表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出x、y的取值范围；
(2)平面区域内有多少个整点？
2．(2012·四川)某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是()．
A．1800元B．2400元C．2800元D．3100元
解析设某公司生产甲产品x桶，生产乙产品y桶，获利为z元，则x，y满足的线性约束条件为目标函数z＝300x＋400y.
作出可行域，如图中四边形OABC的边界及其内部整点．作直线l0：3x＋4y＝0，平移直线l0经可行域内点B时，z取最大值，由得B(4,4)，满足题意，所以zmax＝4×300＋4×400＝2800.
答案C
将z＝x＋0.5y变形为y＝－2x＋2z，这是斜率为－2、随z变化的一组平行线，当直线y＝－2x＋2z经过可行域内的点M时，直线y＝－2x＋2z在y轴上的截距2z最大，z也最大．这里M点是直线x＋y＝10和0.3x＋0.1y＝1.8的交点．解方程组得x＝4，y＝6，此时z＝4＋0.5×6＝7(万元)．∴当x＝4，y＝6时，z取得最大值，所以投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．
(1)画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．
(2)求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b>0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b<0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大．1．不等式2x－y≥0表示的平面区域是()．
2．(2012·南安期末)在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是()．
A．4B．4C．2D．2
3．(2012·广东)已知变量x，y满足约束条件则z＝3x＋y的最大值为()．
A．12B．11C．3D．－1
确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．
①直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线．
②特殊点定域，即在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一侧．特别地，当C≠0时，常把原点作为测试点；当C＝0时，常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点．
则z的最大值即为直线y＝x－在y轴上的最小截距，
7．(12分)(2012·合肥模拟)画出不等式组表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出x、y的取值范围；
(2)平面区域内有多少个整点？
【训练2】(2012·陕西)设函数f(x)＝D是由x轴和曲线y＝f(x)及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则z＝x－2y在D上的最大值为________．
1．解析用点(1,0)代入判断．答案A
2．解析作出可行域如图所示
由题知可行域为△ABC，SABC＝＝4.答案B
3．解析如右图中的阴影部分即为约束条件对应的可行域，当直线y＝－3x＋z经过点A时，z取得最大值．由此时，z＝y＋3x＝11.答案B
4．(2012·洛阳一模)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润1万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在某个生产周期内甲产品至少要生产1吨，乙产品至少要生产2吨，消耗A原料不超过13吨，消耗B原料不超过18吨，那么该企业在这个生产周期内获得最大利润时甲产品的产量应是()．A．1吨B．2吨C．3吨D.吨
解析
设该企业在这个生产周期内生产x吨甲产品，生产y吨乙产品，x、y满足的条件为所获得的利润z＝x＋3y，作出如图所示的可行域．
作直线l0：x＋3y＝0，平移直线l0，显然，当直线经过点A时所获利润最大，此时甲产品的产量为1吨．答案A
最小值为z＝－＝
先根据约束条件作出可行域，再平移目标函数所对应直线找出最大值点，代入2x＋3y可求出最大值．
(1,1＋)
5．(12分)(201·黄山模拟)若x，y满足约束条件
(1)求目标函数z＝x－y＋的最值．(2)若目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，求a的取值范围．
【例1】?(2012·济南市模拟)不等式组
表示的平面区域的面积为()
A．4B．1C．5D．无穷大
得最优解为A(30,20)，故选B.
解(1)作出可行域如图，可求得A(3,4)，B(0,1)，C(1,0)．
平移初始直线x－y＝0，过A(3,4)取最小值－2，过C(1,0)取最大值1.
z的最大值为1，最小值为－2.
(2)直线ax＋2y＝z仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－<2，解得－4
故所求a的取值范围为(－4,2)．
△ABC的面积即为所求．
【训练3】(2012·江西)某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表
年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价 黄瓜 4吨 1.2万元 0.55万元 韭菜 6吨 0.9万元 0.3万元 为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为()．
A．50,0B．30,20C．20,30D．0,50
不等式组所表示的平面区域为N，
8．(13分)制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.若投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
解设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，
由题意知目标函数z＝x＋0.5y.上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即为可行域．
最小值
由图象得，当直线经过M点时z能取得最大值，
【例2】(2012·辽宁)设变量x，y满足则2x＋3y的最大值为()．
A．20B．35C．45D．55
【例3】?(2012·黄冈模拟)某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A、B，该所要根据该产品的研制成本、产品质量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表：
产品A(件) 产品B(件) 研制成本与搭载费用之和(万元/件) 20 30 计划最大投资金额300万元 产品质量(千克/件) 10 5 最大搭载质量110千克 预计收益(万元/件) 80 60 试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？
线性约束条件【命题研究】通过近三年的高考试题分析，对求解线性规划问题中的参数问题的考查有加强的趋势，这类问题主要有两类：一是在条件不等式组中含有参数，二是在目标函数中含有参数；题型主要以选择、填空题为主，属中档题．
画出不等式组表示的平面区域，确定平面区域的形状，从而求出面积．
设为ABC，则A(1,0)，B(0,1)，C(1,1＋a)且a>0，
答案D1．二元一次不等式(组)表示的平面区域
(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)不含边界直线．不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域(半平面)包括边界直线．
(2)对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，使得Ax＋By＋C的值符号相同，也就是位于同一半平面内的点，其坐标适合同一个不等式Ax＋By＋C>0；而位于另一个半平面内的点，其坐标适合另一个不等式Ax＋By＋C<0.
(3)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．
3．(2013·淮安质检)若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是()．
A．(－∞，5)B．[7，＋∞)C．[5,7)D．(－∞，5)[7，＋∞)
4．解析依题意，画出可行域，如图所示，可行域为ABOC，显然，当直线y＝x－过点A(1,2)时，z取得最小值为－3；当直线过点B(3,0)时，z取得最大值为3，综上可知z的取值范围为[－3,3]．答案[－3,3]
5．解析画出约束条件的可行域，如图所示(阴影部分)，由z＝x＋5y，得y＝－x＋.故目标函数在P点处取最大值，由得P（，，代入目标函数，得4＝＋，解得m＝3.答案3
代入点C的坐标，得m＝2＋3＝5.故填5.答案5可得可行域内的点P(x，y)满足x－y≥－1，
【例3】?(2012·黄冈模拟)某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A、B，该所要根据该产品的研制成本、产品质量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表：
产品A(件) 产品B(件) 研制成本与搭载费用之和(万元/件) 20 30 计划最大投资金额300万元 产品质量(千克/件) 10 5 最大搭载质量110千克 预计收益(万元/件) 80 60 试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？
当m<2时，不等式组表示的平面区域是空集；
有m>2，此时平面区域为一个三角形区域，其顶点为A(1,1)，B(m－1,1)，C
目标函数z＝x－y的几何意义是直线y＝x－z在y轴上的截距．
解析如图作出区域D，目标函数z＝x＋y过点B(，2)时取最大值，故z的最大值为×＋2＝4，故选C.答案C
解析画出可行域，知当直线y＝a在x－y＋5＝0与y轴的交点(0,5)和x－y＋5＝0与x＝2的交点(2,7)之间移动时平面区域是三角形．故5≤a<7.答案C
解析设该企业在这个生产周期内生产x吨甲产品，
生产y吨乙产品，x、y满足的条件为所获得的利润z＝x＋3y，作出如图所示的可行域．作直线l0：x＋3y＝0，平移直线l0，显然，当直线经过点A时所获利润最大，此时甲产品的产量为1吨．答案A
解析画出可行域，如图所示，将直线y＝3x－z移至点A(0,1)处直线在y轴上截距最大，zmin＝3×0－1＝－1.
解析记z＝x－y，则y＝x－z，所以z为直线y＝x－z在y轴上的截距的相反数，画出不等式组表示的可行域如图中ABC区域所示．结合图形可知，当直线经过点B(1,1)时，x－y取得最大值0，当直线经过点C(0,3)时，x－y取得最小值－3.答案[－3,0]
解析作出可行域，由题意可知可行域为ABC内部及边界，y＝－x＋z，则z的几何意义为直线在y轴上的截距，将目标函数平移可知当直线经过点A时，目标函数取得最大值4，此时A点坐标为(a，a)，代入得4＝a＋a＝2a，所以a＝2.答案C
解析不等式组确定的平面区域如图阴影部分．
设＝t，则y＝tx，求的最大值，即求y＝tx的
斜率的最大值．显然y＝tx过A点时，t最大．
由解得A.
代入y＝tx，得t＝.所以的最大值为.答案
解析目标函数z＝x＋my可变为y＝－x＋，∵m>1，
∴－1<－<0，z与同时取到相应的最大值，如图，当目标函数经过点P时取最大值∴＋<2又m>1得1
2x＋3y取得最大值55，故选择D.
答案D
则切线方程为y＝x－1.区域D为如图阴影部分所示．
可行域如图中的阴影部分所示，
函数y＝2x的图象经过可行域上的点，由即函数y＝2x的图象与直线x＋y－3＝0的交点坐标为(1,2)，当直线x＝m经过点(1,2)时，实数m取到最大值为1，应选B.
1．(2012·山东)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－y的取值范围是()．A.B.C.D.
解析作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示，作直线3x－y＝0，并向上、下平移，由图可得，当直线过点A时，z＝3x－y取最大值；当直线过点B时，z＝3x－y取最小值．由解得A(2,0)；由解得B.∴zmax＝3×2－0＝6，
zmin＝3×－3＝－.∴z＝3x－y的取值范围是.答案A
2．(2012·四川)某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中要求每天消耗A、B原料都不超过12千克通过合理安排生产计划从每天生产的甲、乙两种产品中公司共可获得的最大利润是()A．1800元B．2400元C．2800元D．3100元
解析设某公司生产甲产品x桶，生产乙产品y桶，获利为z元，则x，y满足的线性约束条件为目标函数z＝300x＋400y.
作出可行域，如图中四边形OABC的边界及其内部整点．作直线l0：3x＋4y＝0，平移直线l0经可行域内点B时，z取最大值，由得B(4,4)，满足题意，所以zmax＝4×300＋4×400＝2800.答案C
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