结束放映返回概要获取详细资料请浏览：www.zxjkw.com【2014年高考会这样考】1．考查倾斜角的概念、倾斜角与斜率的关系及直线方程的几种形式．2．考查由两条直线的斜率判定两直线平行与垂直．3．考查点到直线的距离公式、两平行线间的距离公式及求解等．第1讲直线方程和两直线的位置关系A级抓住4个考点突破3个考向揭秘3年高考活页限时训练直线的倾斜角与斜率直线方程的五种形式两直线平行与垂直距离公式考向一考向二考向三助学微博考点自测【例2】【训练2】【例1】【训练1】【例3】【训练3】距离公式的应用问题求直线的方程两条直线的平行与垂直问题选择题填空题解答题B级选择题填空题解答题高考中两直线的平行与垂直问题单击标题可完成对应小部分的学习，每小部分独立成块，可全讲，也可选讲考点梳理考点梳理考点梳理一个规律助学微博两点提醒考点自测单击图标显示详解答案显示单击题号显示结果BBDA12345【审题视点】解（1）考向一求直线的方程考向一求直线的方程【方法锦囊】解（1）解（2）考向一求直线的方程考向二两条直线的平行与垂直问题【审题视点】解析（1）【方法锦囊】解（1）考向二两条直线的平行与垂直问题考向三距离公式的应用问题解(1)【审题视点】考向三距离公式的应用问题解(2)【审题视点】【方法锦囊】解(3)解法一考向三距离公式的应用问题法二热点突破20——高考中两直线的平行与垂直问题揭秘3年高考揭秘3年高考【教你审题】对于求解两直线平行时所含参数的取值，必须首先判断直线的斜率是否存在，否则容易造成漏解；然后结合判断直线平行的充要条件求解，注意要对求得的结果进行验证，判断两直线的截距是否相等，防止增解．揭秘3年高考解析法一法二一、选择题单击显：题干/详解点击题号出答案题号1234DBACA级基础演练单击显:题干/详解点击题号出答案题号二、填空题56A级基础演练三、解答题A级基础演练87三、解答题78A级基础演练一、选择题单击显：题干/详解点击题号出答案题号12CAB级能力突破结束放映返回概要获取详细资料请浏览：www.zxjkw.com设所求直线为l，由于l过点A且与点P1，P2距离相等，所以有两种情况，如图所示．
±1
[0，)
由题意知(a＋2)a＝－1，所以a2＋2a＋1＝0，则a＝－1.
4．(2013·江西八所重点高中联考)“a＝0”是“直线l1：(a＋1)x＋a2y－3＝0与直线l2：2x＋ay－2a－1＝0平行”的()．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【例1】(1)已知经过点P(3,2)，且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程为________；
(2)已知两点A(－1，－5)，B(3，－2)，直线l过点(1,1)且倾斜角是直线AB倾斜角的两倍，则直线l的方程为________．
设直线l在x，y轴上的截距均为a，
【命题研究】通过近三年的高考试题分析，对两直线位置关系的考查主要是给定直线方程，研究两条直线平行、垂直、交点、距离等问题，有时结合充分必要条件来考查，题型为选择题或填空题，难度不大．
【训练3】已知点P1(2,3)，P2(－4,5)和A(－1,2)，求过点A且与点P1，P2距离相等的直线的方程．
6．(2012·东北三校二模)已知直线l1：ax＋3y－1＝0与直线l2：2x＋(a－1)y＋1＝0垂直，则实数a＝________.
【例2】(1)若直线l1：ax＋2y－6＝0与l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0平行，则a＝________；(2)已知经过点A(－2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0，－1)和点Q(a，－2a)的直线l2互相垂直，则实数a的值为_______．
4．(2013·盐城检测)已知直线x＋2y＝2分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为________．
第1步
【真题探究】(2012·浙江)设aR，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
若a＝0或a＝1，则两直线不平行，不符合题意，舍去．
(1)对直线l的斜率分存在与不存在两种情况，再利用距离公式求解；
(2)由解得交点P(2,1)，
如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，
则d≤|PA|(当lPA时等号成立)．
dmax＝|PA|＝.
(2)当直线l与x轴平行时，l的方程为y＝3，设直线l与直线l1，l2分别交于点A(x1,3)，B(x2,3)，则3x1＋12－7＝0,3x2＋12＋8＝0，所以3(x1－x2)＝15，即x1－x2＝5，所以d＝|AB|＝|x1－x2|＝5.
2．直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围 点斜式 不含垂直于x轴的直线 斜截式 不含垂直于x轴的直线 两点式 不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2) 截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 平面直角坐标系内的直线都适用 3.两直线平行与垂直
对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1l2?___________，l1l2?___________.
y－y0＝k(x－x0)【训练2】(1)已知两条直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则实数a＝________.
(2)“ab＝4”是直线2x＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行的()．A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0
解(1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，
＝3.解得λ＝2或λ＝.l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.
tanθ
1．直线2x－my＋1－3m＝0，当m变化时，所有直线都过定点()．A.B.C.D.
1．解析设直线的倾斜角为θ，则有tanθ＝－sinα，其中sinα[－1,1]，又θ[0，π)，所以0≤θ≤或≤θ<π.故选B.答案B
2．解析依题意，设点P(a,1)，Q(7，b)，则有解得a＝－5，b＝－3，从而可知直线l的斜率为＝－，选B.答案B
3．解析代入验证可得a＝1或－2.答案D
4．解析与直线2x－3y＋4＝0垂直的直线方程可设为－3x－2y＋c＝0，将点(－1,2)代入－3x－2y＋c＝0，解得c＝1，故直线方程为3x＋2y－1＝0.答案A
5．解析直线l2的方程变为：3x＋4y＋＝0，则直线l1与直线l2的距离为＝.答案
2．(2013·长沙模拟)若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为()．A．3B．2C．3D．4
5．(12分)已知直线l过点P(2,3)，且被两条平行直线l1：3x＋4y－7＝0，l2：3x＋4y＋8＝0截得的线段长为d.
(1)求d的最小值；(2)当直线l与x轴平行，试求d的值．
Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)正向
由两直线平行或垂直的充要条件求解．
.[反思]解(1)l1⊥l2，a(a－1)－b＝0.又直线l1过点(－3，－1)，－3a＋b＋4＝0.故a＝2，b＝2.
(1)设截距均为a，分a＝0或a≠0求解；
2．若直线l：y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是()．
A.B.C.D.
由两直线平行或垂直的关系求直线的方程，或求方程中的参数，首先需要考虑两直线的斜率是否存在，若斜率都存在，则依据斜率相等或斜率乘积为－1求解；若斜率不存在，则需要注意特殊情形．
解(1)因为3×2＋4×3－7>0,3×2＋4×3＋8>0，所以点P在两条平行直线l1，l2外．
过P点作直线l，使ll1，则ll2，设垂足分别为G，H，则|GH|就是所求的d的最小值．由两平行线间的距离公式，得d的最小值为|GH|＝＝3.
3．若两平行直线3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则的值为________．
3．(2013·泰安一模)过点A(2,3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为()．
A．x－2y＋4＝0B．2x＋y－7＝0
C．x－2y＋3＝0D．x－2y＋5＝0
由直线l1的方程知其斜率为－，
(2)∵直线l2的斜率存在，l1l2，直线l1的斜率存在．k1＝k2，即＝1－a.又坐标原点到这两条直线的距离相等，l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即＝b.故a＝2，b＝－2或a＝，b＝2.
1．直线的倾斜角与斜率
(1)直线的倾斜角
定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴与直线l方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
倾斜角的范围为(2)直线的斜率
定义：直线的倾斜角θ的90°，则斜率k＝(x1，y1)，(x2，y2)的直线x轴，
则k＝.
1．直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是()．
A．[0，π)B.C.D.∪
2．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为()．A.B．－C．－D.
3．(2012·广州调研)直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是()．A．1B．－1C．－2或－1D．－2或1
4．直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是()．
A．3x＋2y－1＝0B．3x＋2y＋7＝0
C．2x－3y＋5＝0D．2x－3y＋8＝0
5．已知直线l1的方程为3x＋4y－7＝0，直线l2的方程为6x＋8y＋1＝0，则直线l1与l2的距离为________．
过点A的直线l与原点距离为2，而点A的坐标为(2，－1)．1．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝()．A．4B．6C.D.
y＝kx＋b向上
与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平行、垂直的直线方程的设法：
一般地，平行的直线方程设为Ax＋By＋m＝0；垂直的直线方程设为Bx－Ay＋n＝0.
[解法]当a＝1时，直线l1：x＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行；反之由l1l2可得a＝1或a＝－2，故选A.[答案]A
5．一条直线经过点A(－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为_______
6．(13分)已知直线l1：x－y＋3＝0，直线l：x－y－1＝0.若直线l1关于直线l的对称直线为l2，求直线l2的方程．
解法一因为l1l，所以l2l，设直线l2：x－y＋m＝0(m≠3，m≠－1)．
直线l1，l2关于直线l对称，所以l1与l，l2与l间的距离相等．
由两平行直线间的距离公式得＝，解得m＝－5或m＝3(舍去)．所以直线l2的方程为x－y－5＝0.
【训练1】(1)求过点A(1,3)，斜率是直线y＝－4x的斜率的的直线方程；
(2)求经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程
(1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑．
(2)求点到直线的距离时，若给出的直线不是一般式，则应先化为一般式．
【例3】已知点A(2，－1)，
(1)求过点A且与原点距离为2的直线l的方程；
(2)求过点A且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？
(3)是否存在过点A且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．
【试一试】已知两直线l1：ax＋2y＋6＝0和l2：x＋(a＋1)y＋(a2＋1)＝0.若l1l2，则实数a的值为________．
8．(13分)已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．
(1)点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程；
(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值．
7．(12分)已知两直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．
(1)l1l2，且直线l1过点(－3，－1)；
(2)l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．
＝＋＝1k1＝k2k1k2＝－1解析原方程可化为(2x＋1)－m(y＋3)＝0，令解得x＝－，y＝－3，故所有直线都过定点.答案D
解析直线l：y＝kx－，过定点P(0，－)，又A(3,0)，kPA＝，则直线PA的倾斜角为，满足条件的直线l的倾斜角的范围是.答案B
解析由题意可设所求直线方程为：x－2y＋m＝0，将A(2,3)代入上式得2－2×3＋m＝0，即m＝4，所以所求直线方程为x－2y＋4＝0.
答案A
解析当a＝0时，l1：x－3＝0，l2：2x－1＝0，此时l1∥l2，
所以“a＝0”是“直线l1与l2平行”的充分条件；
当l1∥l2时，a(a＋1)－2a2＝0，解得a＝0或a＝1.
当a＝1时，l1：2x＋y－3＝0，l2：2x＋y－3＝0，
此时l1与l2重合，所以a＝1不满足题意，即a＝0.
所以“a＝0”是“直线l1∥l2”的必要条件．答案C
解析设所求直线的方程为＋＝1，∵A(－2,2)在直线上，∴－＋＝1.①
又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1，∴|a|·|b|＝1.②
由①②可得(1)或(2)由(1)解得
或方程组(2)无解．故所求的直线方程为＋＝1或＋＝1，即x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0为所求直线的方程．
答案x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0
解析由两直线垂直的条件得2a＋3(a－1)＝0，解得a＝.
答案
解析由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，于是解得故m＋n＝.
答案C
解析依题意知AB的中点M的集合为与直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0距离都相等的直线，则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离，设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0，根据平行线间的距离公式得＝?|m＋7|＝|m＋5|?m＝－6，即l：x＋y－6＝0，根据点到直线的距离公式，得M到原点的距离的最小值为＝3.答案A
解析由题意得，＝≠，∴a＝－4且c≠－2，
则6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋＝0，
由两平行线间的距离，得＝，
解得c＝2或c＝－6，所以＝±1.答案±1
解析直线方程可化为＋y＝1，故直线与x轴的交点为A(2,0)，与y轴的交点为B(0,1)，由动点P(a，b)在线段AB上，可知0≤b≤1，且a＋2b＝2，从而a＝2－2b，故ab＝(2－2b)b＝－2b2＋2b＝－22＋，由于0≤b≤1，故当b＝时，ab取得最大值.答案
4．距离公式
(1)平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离为|P1P2|＝.
(2)平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的距离为d＝.
(3)两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(其中A，B不同时为0，且C1≠C2)间的距离为d＝.
【例1】(1)已知经过点P(3,2)，且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程为________；
(2)已知两点A(－1，－5)，B(3，－2)，直线l过点(1,1)且倾斜角是直线AB倾斜角的两倍，则直线l的方程为________．
这时直线l的倾斜角为2θ，
在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．
(2)由两角和的正切公式求斜率，再由点斜式求解．
答案(1)2x－3y＝0或x＋y－5＝0(2)24x－7y－17＝0
若a＝0，即l过点(0,0)和(3,2)，
∴l的方程为y＝x，
即2x－3y＝0.
若a≠0，则设l的方程为＋＝1，
∵l过点(3,2)，∴＋＝1，∴a＝5，
∴l的方程为x＋y－5＝0，
综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.
(2)kAB＝＝.
设直线AB的倾斜角为θ，
则tanθ＝，
答案(1)2x－3y＝0或x＋y－5＝0(2)24x－7y－17＝0
其斜率为tan2θ＝＝.
由点斜式得：y－1＝(x－1)，即24x－7y－17＝0.
设所求直线的斜率为k，依题意k＝－4×＝－.
又直线经过点A(1,3)，
因此所求直线方程为y－3＝－(x－1)，即4x＋3y－13＝0.
当直线不过原点时，设所求直线方程为＋＝1，
将(－5,2)代入所设方程，解得a＝－，此时，直线方程为x＋2y＋1＝0.
当直线过原点时，斜率k＝－，直线方程为y＝－x，即2x＋5y＝0，
综上可知，所求直线方程为x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0.
若a≠0且a≠1，则两直线的斜率分别是－，由两直线平行的充要条件可得－＝且a＋1≠－3，
解得a＝2或a＝－1.经检验知符合题意．
(2)若a＝0，B＝(1,0)，Q(0,0)，此时l1⊥l2；
若a≠0，kl1＝＝a，kl2＝＝，
则l1⊥l2kl1·kl2＝a×＝－1，解得a＝1.
综上，a＝0或1.答案(1)2或－1(2)0或1
(2)由题意知两直线的斜率都存在，
故直线2x＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行的充要条件是－＝－且－≠－1，
即ab＝4且a≠1，则“ab＝4”是“直线2x＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行”的必要不充分条件．
答案(1)－1(2)C
当斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，此时，原点到直线l的距离为2，符合题意；当斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0，
由已知得＝2，
解得k＝此时直线l的方程为3x－4y－10＝0，
综上可知：直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.
【例3】已知点A(2，－1)，
(1)求过点A且与原点距离为2的直线l的方程；
(2)求过点A且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？
(3)是否存在过点A且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．
(2)求过点A且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？
过点A与原点O距离最大的直线是过点A与AO垂直的直线，(3)是否存在过点A且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．
若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在．
由lAO，得klkOA＝－1，
所以kl＝－＝2，
由直线的点斜式得y＋1＝2(x－2)，
即2x－y－5＝0，
即直线2x－y－5＝0是过点A且与原点距离最大的直线l的方程，
最大距离是＝.
不存在．
由(2)可知，过点A不存在到原点距离超过的直线，
因此不存在过点A且与原点距离为6的直线．
当P1，P2在l同侧时，
有lP1P2，此时可求得l的方程为y－2＝(x＋1)，
即x＋3y－5＝0；
当P1，P2在l异侧时，
l必过P1P2的中点(－1,4)，此时l的方程为x＝－1.
综上，所求直线的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.
需要讨论过点A的直线的斜率是否存在．
当过点A的直线的斜率存在时，
设所求直线的方程为y－2＝k(x＋1)，
即kx－y＋k＋2＝0，
由点P1，P2到直线的距离相等得：
＝，解得k＝－.
故所求直线的方程为y－2＝－(x＋1)，
即x＋3y－5＝0.
易得P1，P2到直线x＝－1的距离相等，
故x＝－1符合题意．
综上，所求直线的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.
抓住两直线平行的条件；
第2步
根据充分必要定义解题
当a＝－1时，直线l2的斜率不存在，l1与l2不垂直；
当a≠－1时，直线l2的斜率为－.
由－·＝－1a＝－.
故所求实数a的值为－.
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的等价条件是A1A2＋B1B2＝0.
由所给直线方程可得：a·1＋2·(a＋1)＝0a＝－.
故所求实数a的值为－.答案－
法二由题意知l1l2，设直线l2：x－y＋m＝0(m≠3，m≠－1)．
在直线l1上取点M(0,3)，设点M关于直线l的对称点为M′(a，b)，
于是有解得即M′(4，－1)．
把点M′(4，－1)代入l2的方程，得m＝－5，所以直线l2的方程为x－y－5＝0.
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