结束放映返回目录获取详细资料请浏览：www.zxjkw.com【2014年高考会这样考】1．考查方程的曲线与曲线的方程的对应关系．2．利用直接法或定义法求轨迹方程．3．结合平面向量知识能确定动点轨迹，并会研究轨迹的有关性质.第8讲曲线与方程抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考活页限时训练曲线与方程直接法求动点的轨迹方程的一般步骤两曲线的交点考向一考向二考向三轨迹方程问题单击标题可完成对应小部分的学习，每小部分独立成块，可全讲，也可选讲助学微博考点自测A级【例1】【训练1】【例2】【训练2】【例3】【训练3】相关点法求轨迹方程定义法求轨迹方程直接法求轨迹方程选择题填空题解答题B级选择题填空题解答题考点梳理1．曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上点的坐标都是．(2)以这个方程的解为坐标的点都是．那么这个方程叫做，这条曲线叫做．这个方程的解曲线上的点曲线的方程方程的曲线考点梳理2．直接法求动点的轨迹方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；(2)写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}；(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程；(4)化方程f(x，y)＝0为最简形式；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．f(x，y)＝0考点梳理3．两曲线的交点(1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点，方程组，两条曲线就没有交点．(2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解．可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题．公共解无解助学微博通过坐标法，由已知条件求轨迹方程，通过对方程的研究，明确曲线的位置、形状以及性质是解析几何需要完成的两大任务，是解析几何的核心问题，也是高考的热点之一．一个主题对于中点弦问题，常有的解题方法是点差法，其解题步骤为：①设点：即设出弦的两端点坐标；②代入：即代入圆锥曲线方程；③作差：即两式相减，再用平方差公式把上式展开；④整理：即转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解．四个步骤助学微博求轨迹方程的常用方法(1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0；(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程——先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数；(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；(4)代入转移法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而变化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用x，y的代数式表示x0，y0，再将x0，y0代入已知曲线得要求的轨迹方程；(5)参数法：当动点P(x，y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x，y均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程．五种方法单击图标显示详解答案显示单击题号显示结果考点自测CCDy2＝x②③12345[审题视点]由已知等量关系，通过向量数量积的坐标运算直接得到轨迹方程．考向一直接法求轨迹方程[方法锦囊][审题视点]由已知等量关系，通过向量数量积的坐标运算直接得到轨迹方程．[方法锦囊]考向一直接法求轨迹方程[审题视点]利用两圆内、外切的充要条件找出点M满足的几何条件，再由曲线定义建立关系式，从而求出轨迹方程．考向二定义法求轨迹方程[方法锦囊]在利用圆锥曲线定义求轨迹时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程，若所求轨迹是某种圆锥曲线上的特定点的轨迹，则利用圆锥曲线的定义列出等式，化简求得方程，同时注意变量范围．[审题视点]利用两圆内、外切的充要条件找出点M满足的几何条件，再由曲线定义建立关系式，从而求出轨迹方程．考向二定义法求轨迹方程[方法锦囊]在利用圆锥曲线定义求轨迹时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程，若所求轨迹是某种圆锥曲线上的特定点的轨迹，则利用圆锥曲线的定义列出等式，化简求得方程，同时注意变量范围．[审题视点]利用两圆内、外切的充要条件找出点M满足的几何条件，再由曲线定义建立关系式，从而求出轨迹方程．考向二定义法求轨迹方程[方法锦囊]在利用圆锥曲线定义求轨迹时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程，若所求轨迹是某种圆锥曲线上的特定点的轨迹，则利用圆锥曲线的定义列出等式，化简求得方程，同时注意变量范围．(1)动点M通过点P与已知圆相联系，所以把点P的坐标用点M的坐标表示，然后代入已知圆的方程即可；(2)将直线方程和C的方程组成方程组，结合两点的距离公式计算．[审题视点]考向三相关点法求轨迹方程若与动点M(x，y)相关的点P(x0，y0)在已知曲线C上运动，即动点是由已知曲线上某个相关点的运动而带动的，则可用x，y表示出x0，y0，代入曲线C的方程化简，就得到点M(x，y)的轨迹方程．【方法锦囊】A1B1(1)动点M通过点P与已知圆相联系，所以把点P的坐标用点M的坐标表示，然后代入已知圆的方程即可；(2)将直线方程和C的方程组成方程组，结合两点的距离公式计算．[审题视点]考向三相关点法求轨迹方程考向三相关点法求轨迹方程若与动点M(x，y)相关的点P(x0，y0)在已知曲线C上运动，即动点是由已知曲线上某个相关点的运动而带动的，则可用x，y表示出x0，y0，代入曲线C的方程化简，就得到点M(x，y)的轨迹方程．【方法锦囊】考向三相关点法求轨迹方程若与动点M(x，y)相关的点P(x0，y0)在已知曲线C上运动，即动点是由已知曲线上某个相关点的运动而带动的，则可用x，y表示出x0，y0，代入曲线C的方程化简，就得到点M(x，y)的轨迹方程．【方法锦囊】热点突破23轨迹方程问题【命题研究】从近几年高考试题来看，求曲线的轨迹方程是高考的常考题型，考查轨迹方程的求法，以及利用曲线的轨迹方程研究曲线的几何性质．一般用“直接法”、“待定系数法”、“定义法”、“相关点法”等求轨迹方程，关键是找到与任意点有关的等量关系，或探索出动点运动时所满足的曲线的种类，轨迹问题的考查往往与函数、方程、向量、平面几何等知识相交汇，着重考查分析问题解决问题的能力，对逻辑思维能力，运算能力也有很高的要求．揭秘3年高考一、选择题单击问号出详解单击题号出题干1234A级基础演练结束放映返回目录获取详细资料请浏览：www.zxjkw.com直接法求轨迹方程的步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)设动点P(x，y)为轨迹上任意一点；(3)用动点坐标表示问题中的几何关系，列出等式；(4)化简并整理得轨迹方程．
(2)过点(3,0)且斜率为的直线l的方程是y＝(x－3)，
设此直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y＝(x－3)代入C的方程＋＝1得：
＋＝1，化简得x2－3x－8＝0，
x1＝，x2＝，
所以线段AB的长度是|AB|＝＝＝，即所截线段的长度是.
1.解析利用曲线与方程定义的两条件来确定其关系，
f(x0，y0)＝0可知点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上，又P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上时，有f(x0，y0)＝0，
f(x0，y0)＝0是P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．
答案C
解析(x－y)2＋(xy－1)2＝0
∴或
答案C
解析由已知：|MF|＝|MB|.由抛物线定义知，点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，故选D.
答案D
解析＝(3－x，－y)，＝(－2－x，－y)，·＝(3－x)(－2－x)＋y2＝x2－x－6＋y2＝x2－6，y2＝x.
答案y2＝x
解析设P(x，y)为曲线C上任意一点，则由|PF1|·|PF2|＝a2得，C：·＝a2把(0,0)代入方程可得1＝a2，与a>1矛盾，故不正确；当M(x，y)在曲线C上时，点M关于原点的对称点M′(－x，－y)，也满足方程，故曲线C关于原点对称，故正确；SF1PF2＝|PF1|·|PF2|sinF1PF2＝a2sinF1PF1≤a2，故正确．
答案
1．f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的()．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0表示的是()．A．一条直线和一条双曲线B．两条双曲线
C．两个点D．以上答案都不对
3．(2013·成都模拟)已知点F，直线l：x＝－，点B是l上的动点．若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是()．
A．双曲线B．椭圆C．圆D．抛物线
4．已知点A(－2,0)、B(3、0)，动点P(x，y)满足·＝x2－6，则点P的轨迹方程是________．
5．(2011·北京)曲线C是平面内与两个定点F1(－1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a＞1)的点的轨迹．给出下列三个结论：
曲线C过坐标原点；
曲线C关于坐标原点对称；
若点P在曲线C上，则F1PF2的面积不大于a2.
其中，所有正确结论的序号是________．
【训练1】(2012·四川改编)如图，动点M与两定点A(－1,0)、B(2,0)构成△MAB，且MBA＝2MAB，求动点M的轨迹C的方程．
解设M的坐标为(x，y)，显然有x>0且y≠0.当MBA＝90°时，点M的坐标为(2，±3)．
当MBA≠90°时，x≠2，由MBA＝2MAB，
得tanMBA＝，即－＝.
化简可得3x2－y2－3＝0.
而点(2，±3)在曲线3x2－y2－3＝0上，
综上可知，轨迹C的方程为3x2－y2－3＝0(x>1)．
直接法求轨迹方程的步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)设动点P(x，y)为轨迹上任意一点；(3)用动点坐标表示问题中的几何关系，列出等式；(4)化简并整理得轨迹方程．
[教你审题]第(1)问设出焦点坐标，根据|PF2|＝|F1F2|列出等式，解方程即可求得；第(2)问根据题意设出A，B两点坐标，代入关系式·＝－2即可求得点M的轨迹方程．
解(1)设F1(－c,0)，F2(c,0)(c＞0)．
由题意，可得|PF2|＝|F1F2|，即＝2c，
整理，得22＋－1＝0，得＝－1(舍)，或＝.
所以e＝.
(2)由(1)知a＝2c，b＝c，可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2，
直线PF2的方程为y＝(x－c)．
A，B两点的坐标满足方程组
消去y并整理，得5x2－8cx＝0，解得x1＝0，x2＝c.
【真题探究】(2011·天津)在平面直角坐标系xOy中，点P(a，b)(a＞b＞0)为动点，F1、F2分别为椭圆＋＝1的左、右焦点．已知F1PF2为等腰三角形．
(1)求椭圆的离心率e；
(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上的点，满足·＝－2，求点M的轨迹方程．
将y＝代入c＝x－y，
得c＝＞0.所以x＞0.
因此，点M的轨迹方程是
18x2－16xy－15＝0(x＞0)．
[反思](1)代入法求曲线方程的难点是建立x，y，x0，y0所满足的两个关系式，这需要根据问题的具体情况，充分利用已知条件列出关系式，一般需要找到两个互相独立的条件建立两个方程，通过这两个方程所组成的方程组用x，y表达x0，y0.
(2)求曲线轨迹与求曲线的轨迹方程的区别：求曲线轨迹，必须先求出曲线方程，再进一步说明轨迹是什么样的曲线．
(3)求出曲线轨迹方程后，要检验一些特殊点，也就是轨迹与已知曲线的交点，这些点往往是满足轨迹方程的，但不是所求轨迹上的点，
【真题探究】(2011·天津)在平面直角坐标系xOy中，点P(a，b)(a＞b＞0)为动点，F1、F2分别为椭圆＋＝1的左、右焦点．已知F1PF2为等腰三角形．
(1)求椭圆的离心率e；
(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上的点，满足·＝－2，求点M的轨迹方程．
【例2】一动圆与圆x2＋y2＋6x＋5＝0外切，同时与圆x2＋y2－6x－91＝0内切，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么曲线．
解如图所示，设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，设已知圆的圆心分别为O1、O2，将圆的方程分别配方得：(x＋3)2＋y2＝4，(x－3)2＋y2＝100，
【例1】?如图所示，已知F(1,0)，直线l：x＝－1，P为平面上的动点，过点P作l的垂线，垂足为点Q，且·＝·.求动点P的轨迹C的方程．
解设点P(x，y)，则Q(－1，y)，＝(x－1，y)，＝(x＋1，0)，＝(2，－y)，由·＝·，得(x＋1,0)·(2，－y)＝(x－1，y)·(－2，y)，化简得C：y2＝4x.
得方程组的解
不妨设A，B.
设点M的坐标为(x，y)，则＝，
＝(x，y＋c)．
由y＝(x－c)，得c＝x－y.
于是＝，＝(x，x)．
由·＝－2，
即·x＋·x＝－2，
化简得18x2－16xy－15＝0.
【真题探究】(2011·天津)在平面直角坐标系xOy中，点P(a，b)(a＞b＞0)为动点，F1、F2分别为椭圆＋＝1的左、右焦点．已知F1PF2为等腰三角形．
(1)求椭圆的离心率e；
(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上的点，满足·＝－2，求点M的轨迹方程．
【训练3】(2012·辽宁)如图椭圆C0：＋＝1(a>b>0，a，b为常数)，动圆C1：x2＋y2＝t，b
(1)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程．
(2)设动圆C2：x2＋y2＝t与C0相交于A′，B′，C′，D′四点，其中b
(1)解设A(x1，y1)，B(x1，－y1)，又知A1(－a,0)，A2(a,0)，则直线A1A的方程为y＝(x＋a)，①
直线A2B的方程为y＝(x－a)．
由×②得y2＝(x2－a2)
【训练2】如图所示，已知C为圆(x＋)2＋y2＝4的圆心，点A(，0)，P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP上，且·＝0，＝2.当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程．解圆(x＋)2＋y2＝4的圆心为C(－，0)，半径r＝2，·＝0，＝2，MQ⊥AP，点M是AP的中点，即QM是AP的中垂线，连接AQ，则|AQ|＝|QP|，||QC|－|QA||＝||QC|－|QP||＝|CP|＝r＝2，又|AC|＝2>2，根据双曲线的定义，点Q的轨迹是以C(－，0)，A(，0)为焦点，实轴长为2的双曲线，由c＝，a＝1，得b2＝1，
因此点Q的轨迹方程为x2－y2＝1.
(1)解由已知可设椭圆C2的方程为＋＝1(a>2)．
其离心率为，故＝，解得a＝4.
故椭圆C2的方程为＋＝1.
(2)法一A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，
由＝2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx.
将y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，
所以x＝.
将y＝kx代入＋＝1中，得(4＋k2)x2＝16，
所以x＝.又由＝2，得x＝4x，即＝，解得k＝±1.故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.
【试一试】(2012·陕西)已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．
(1)求椭圆C2的方程；
(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，＝
2，求直线AB的方程．
法二A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由＝2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx.
将y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，
所以x＝.
由＝2，得x＝，y＝.
将x，y代入＋＝1中，
得＝1，即4＋k2＝1＋4k2，
解得k＝±1.故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.
【试一试】(2012·陕西)已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．
(1)求椭圆C2的方程；
(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，＝
2，求直线AB的方程．
由点A(x1，y1)在椭圆C0上，故＋＝1.
从而y＝b2，代入得－＝1(x<－a，y<0)．
即交点M的轨迹方程是－＝1(x<－a，y<0)．
(2)证明设A′(x2，y2)，由矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，得4|x1||y1|＝4|x2||y2|，故xy＝xy.因为点A，A′均在椭圆上，所以b2x＝b2x.
由t1≠t2，知x1≠x2，所以x＋x＝a2，从而y＋y＝b2，因此t＋t＝a2＋b2为定值．
【例3】?如图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上投影，M为PD上一点，且|MD|＝|PD|.
(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；
(2)求过点(3,0)且斜率为的直线l被C所截线段的长度．
解(1)设点M的坐标是(x，y)，点P的坐标是(xP，yP)，因为点D是P在x轴上投影，M为PD上一点，且|MD|＝|PD|，所以xP＝x，且yP＝y，P在圆x2＋y2＝25上，x2＋2＝25，整理得＋＝1，即C的方程是＋＝1.
当动圆与圆O1相外切时，有|O1M|＝R＋2.
当动圆与圆O2相内切时，有|O2M|＝10－R.
将两式相加，得|O1M|＋|O2M|＝12>|O1O2|，
动圆圆心M(x，y)到点O1(－3,0)和O2(3,0)的距离和是常数12所以点M的轨迹是焦点为O1(－3,0)、O2(3,0)，
长轴长等于12的椭圆．
2c＝6,2a＝12，c＝3，a＝6，b2＝36－9＝27，
圆心轨迹方程为＋＝1，轨迹为椭圆．
1．动点P(x，y)满足5＝|3x＋4y－11|，则点P的轨迹是()．A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．直线
解析设定点F(1,2)，定直线l：3x＋4y－11＝0，则|PF|＝，点P到直线l的距离d＝.
由已知得＝1，但注意到点F(1,2)恰在直线l上，所以点P的轨迹是直线．选D.
答案D
2．(2013·玉林模拟)若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为()．A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
解析依题意，点P到直线x＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P的轨迹是抛物线．
答案D
3．(2013·临川模拟)设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为()．
A.－＝1B.＋＝1
C.－＝1D.＋＝1
解析M为AQ垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|，|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M的轨迹为椭圆，a＝，c＝1，则b2＝a2－c2＝，椭圆的标准方程为＋＝1.
答案D
4．(2013·烟台月考)已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是()．
A．2x＋y＋1＝0B．2x－y－5＝0
C．2x－y－1＝0D．2x－y＋5＝0
解析由题意知，M为PQ中点，设Q(x，y)，则P为(－2－x，4－y)，代入2x－y＋3＝0，得2x－y＋5＝0.
答案D
5．(2013·泰州月考)在△ABC中，A为动点，B、C为定点，B，C(a>0)，且满足条件sinC－sinB＝sinA，则动点A的轨迹方程是－＝1(x>0且y≠0)．
解析由正弦定理，得－＝×，
|AB|－|AC|＝|BC|，且为双曲线右支．
答案－＝1(x>0且y≠0)
6.如图，点F(a,0)(a>0)，点P在y轴上运动，M在x轴上运动，N为动点，且·＝0，＋＝0，则点N的轨迹方程为y2＝4ax．
解析由题意，知PMPF且P为线段MN的中点，连接FN，延长FP至点Q使P恰为QF之中点；连接QM，QN，则四边形FNQM为菱形，且点Q恒在直线l：x＝－a上，故点N的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线，其方程为：y2＝4ax.
答案y2＝4ax
7．(12分)已知长为1＋的线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，P是AB上一点，且＝，求点P的轨迹C的方程．
解设A(x0,0)，B(0，y0)，P(x，y)，＝，
又＝(x－x0，y)，＝(－x，y0－y)，
所以x－x0＝－x，y＝(y0－y)，
得x0＝x，y0＝(1＋)y.
因为|AB|＝1＋，即x＋y＝(1＋)2，
所以2＋[(1＋)y]2＝(1＋)2，
化简得＋y2＝1.
点P的轨迹方程为＋y2＝1.
8．(13分)设椭圆方程为x2＋＝1，过点M(0,1)的直线l交椭圆于A，B两点，O为坐标原点，点P满足＝(＋)，点N的坐标为，当直线l绕点M旋转时，求：
(1)动点P的轨迹方程；
(2)||的最大值，最小值．
解(1)直线l过定点M(0,1)，当其斜率存在时设为k，则l的方程为y＝kx＋1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知，A、B的坐标满足方程组
消去y得(4＋k2)x2＋2kx－3＝0.
则Δ＝4k2＋12(4＋k2)>0.
x1＋x2＝－，x1x2＝.
P(x，y)是AB的中点，
则由
消去k得4x2＋y2－y＝0.
当斜率k不存在时，AB的中点是坐标原点，也满足这个方程，故P点的轨迹方程为4x2＋y2－y＝0.
(2)由(1)知4x2＋2＝，－≤x≤
而|NP|2＝2＋2＝2＋
＝－32＋，
当x＝－时，||取得最大值，
当x＝时，||取得最小值.
1．(2012·全国)正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝.动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为()．A．16B．14C．12D．10
解析当E、F分别为AB、BC中点时，显然碰撞的结果为4，当E、F分别为AB的三等分点时，可得结果为6(如图1所示)．可以猜想本题碰撞的结果应为2×7＝14(如图2所示)．故选B.
答案B
2．(2013·沈阳二模)在平行四边形ABCD中，BAD＝60°，AD＝2AB，若P是平面ABCD内一点，且满足：x＋y＋＝0(x，yR)．则当点P在以A为圆心，||为半径的圆上时，实数x，y应满足关系式为()．
A．4x2＋y2＋2xy＝1B．4x2＋y2－2xy＝1
C．x2＋4y2－2xy＝1D．x2＋4y2＋2xy＝1
解析如图，以A为原点建立平面直角坐标系，设AD＝2.据题意，得AB＝1，ABD＝90°，BD＝.B、D的坐标分别为(1,0)、(1，)，＝(1,0)，＝(1，)．
设点P的坐标为(m，n)，即＝(m，n)，则由x＋y＋＝0，得：＝x＋y，
据题意，m2＋n2＝1，x2＋4y2＋2xy＝1.
答案D
3．如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点M在AB上，且AM＝AB，点P在平面ABCD上，且动点P到直线A1D1的距离的平方与P到点M的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xAy中，动点P的轨迹方程是y2＝x－．
解析过P作PQ⊥AD于Q，再过Q作QHA1D1于H，连接PH、PM，可证PHA1D1，设P(x，y)，由|PH|2－|PM|2＝1，得x2＋1－＝1，化简得y2＝x－.答案y2＝x－
4．(2013·南京模拟)P是椭圆＋＝1上的任意一点，F1、F2是它的两个焦点，O为坐标原点，＝＋，则动点Q的轨迹方程是＋＝1．
解析由＝＋，又＋＝＝2＝－2，设Q(x，y)，则＝－＝－(x，y)＝－，－，即P点坐标为－，－.又P在椭圆上，则有＋＝1，即＋＝1.
答案＋＝1
5．(12分)(2013·郑州模拟)在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：＋＝1(a>0，b>0)经过点A，且点F(0，－1)为其一个焦点．(1)求椭圆E的方程；
(2)设随圆E与y轴的两个交点为A1，A2，不在y轴上的动点P在直线y＝b2上运动，直线PA1，PA2分别与椭圆E交于点M，N，证明：直线MN通过一个定点，且△FMN的周长为定值．
解(1)根据题意可得可解得
椭圆E的方程为＋＝1.
(2)由(1)知A1(0,2)，A2(0，－2)，P(x0，4)为直线y＝4上一点(x0≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PA1方程为y＝x＋2，直线PA2方程为y＝x－2，点M(x1，y1)，A1(0,2)的坐标满足方程组可得点N(x2，y2)，A2(0，－2)的坐标满足方程组可得
由于椭圆关于y轴对称，当动点P在直线y＝4上运动时，直线MN通过的定点必在y轴上，当x0＝1时，直线MN的方程为y＋1＝，令x＝0，得y＝1可猜测定点的坐标为(0,1)，并记这个定点为B.则直线BM的斜率kBM＝＝＝，直线BN的斜率kBN＝＝＝，kBM＝kBN，即M，B，N三点共线，故直线MN通过一个定点B(0，1)，又F(0，－1)，B(0,1)是椭圆E的焦点，
FMN周长为|FM|＋|MB|＋|BN|＋|NF|＝4b＝8，为定值．
6．(13分)(2013·玉林模拟)已知向量a＝(x，y)，b＝(1,0)，且(a＋b)(a－b)．
(1)求点Q(x，y)的轨迹C的方程；
(2)设曲线C与直线y＝kx＋m相交于不同的两点M、N，又点A(0，－1)，当|AM|＝|AN|时，求实数m的取值范围．
解(1)由题意得a＋b＝(x＋，y)，a－b＝(x－，y)，(a＋b)(a－b)，(a＋b)·(a－b)＝0，
即(x＋)(x－)＋y·y＝0.
化简得＋y2＝1，Q点的轨迹C的方程为＋y2＝1.
(2)由得(3k2＋1)x2＋6mkx＋3(m2－1)＝0，
由于直线与椭圆有两个不同的交点，
Δ>0，即m2<3k2＋1.
(i)当k≠0时，设弦MN的中点为P(xP，yP)，xM、xN分别为点M、N的横坐标，则xP＝＝－，
从而yP＝kxP＋m＝，kAP＝＝－，
又|AM|＝|AN|，AP⊥MN.
则－＝－，即2m＝3k2＋1，
将代入得2m>m2，解得0
由得k2＝>0，解得m>，
故所求的m的取值范围是.
(ii)当k＝0时，|AM|＝|AN|，
AP⊥MN，m2<3k2＋1，解得－1
综上，当k≠0时，m的取值范围是，
当k＝0时，m的取值范围是(－1,1).
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