结束放映返回目录获取详细资料请浏览：www.zxjkw.com【2014年高考会这样考】1．考查排列组合的概念及公式的推导．2．综合应用排列、组合知识解决简单的实际问题.第2讲排列与组合抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考活页限时训练排列组合考向一考向二考向三有限制条件的排列组合问题单击标题可完成对应小部分的学习，每小部分独立成块，可全讲，也可选讲助学微博考点自测A级【例1】【训练1】【例2】【训练2】【例3】【训练3】排列、组合的综合应用组合问题排列问题选择题填空题解答题B级选择题填空题解答题考点梳理1．排列(1)排列的概念：从n个元素中，任取m(m≤n)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．(2)排列数的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素的所有排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示．(3)排列数公式＝．(4)全排列数公式＝n(n－1)(n－2)…2·1＝n！(叫做n的阶乘)．不同顺序n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)考点梳理助学微博排列与组合，排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”．取出元素后交换顺序，如果与顺序有关是排列，如果与顺序无关即是组合．一个区别两个公式助学微博四字口诀求解排列组合问题的思路：“排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．”单击图标显示详解答案显示单击题号显示结果考点自测DBBB3612345[审题视点]这是一个排列问题，一般情况下，从受到限制的特殊元素开始考虑，或从特殊的位置开始讨论．考向一排列问题[审题视点]这是一个排列问题，一般情况下，从受到限制的特殊元素开始考虑，或从特殊的位置开始讨论．考向一排列问题[方法锦囊]解决排列类应用题时，对于相邻问题，常用“捆绑法”；对于不相邻问题，常用“插空法”(特殊元素后考虑)；对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“排除法”(特殊元素先考虑)．[审题视点]这是一个排列问题，一般情况下，从受到限制的特殊元素开始考虑，或从特殊的位置开始讨论．考向一排列问题[方法锦囊]解决排列类应用题时，对于相邻问题，常用“捆绑法”；对于不相邻问题，常用“插空法”(特殊元素后考虑)；对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“排除法”(特殊元素先考虑)．[审题视点]解组合问题时，常从特殊元素入手．考向二组合问题[审题视点]解组合问题时，常从特殊元素入手．考向二组合问题[方法锦囊]解决组合问题两类题型的方法(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题要谨防重复与漏解．通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．[审题视点]解组合问题时，常从特殊元素入手．考向二组合问题[方法锦囊]解决组合问题两类题型的方法(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题要谨防重复与漏解．通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．(1)可直接用分步乘法计数原理．(2)问题转化为：“4个球，三个盒子，每个盒子都要放球，共有几种放法？”(3)问题转化为：“4个球，两个盒，每个盒必放入球，有几种放法？”[审题视点]考向三排列、组合的综合应用排列、组合综合题目，一般是将符合要求的元素取出(组合)或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列．其中分组时，要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准．【方法锦囊】(1)可直接用分步乘法计数原理．(2)问题转化为：“4个球，三个盒子，每个盒子都要放球，共有几种放法？”(3)问题转化为：“4个球，两个盒，每个盒必放入球，有几种放法？”[审题视点]考向三排列、组合的综合应用排列、组合综合题目，一般是将符合要求的元素取出(组合)或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列．其中分组时，要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准．【方法锦囊】热点突破25有限制条件的排列组合问题【命题研究】通过对近三年高考试题分析，可以看出有限制条件的排列组合问题，高考每年必考，主要考查以下问题：选派问题、抽样问题、几何问题、集合问题、分组问题等，题型多是选择题与填空题，预测2014年高考对本部分内容的考查仍会保持运用排列、组合解决实际或数学问题的思路，涉及数据不大，难度较易，可能会与概率问题结合．揭秘3年高考一、选择题单击问号出详解单击题号出题干1234A级基础演练二、填空题单击问号出详解单击题号出题干56A级基础演练三、解答题单击问号出详解单击题号出题干78A级基础演练一、选择题单击问号出详解单击题号出题干12B级能力突破结束放映返回目录获取详细资料请浏览：www.zxjkw.com【例2】某课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长．现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？
(1)只有一名女生；(2)两队长当选；
(3)至少有一名队长当选；(4)至多有两名女生当选；
(5)既要有队长，又要有女生当选．
解(1)一名女生，四名男生．故共有C·C＝350(种)．
(2)将两队长作为一类，其他11人作为一类，故共有C·C＝165(种)．
【训练2】汽贸公司有甲、乙、丙三种不同型号的汽车分别为20辆，10辆，10辆，某运输公司要从中购买5辆，问下列情况下分别有多少种选购方式？(每两辆汽车都视为不同元素)(1)选购甲2辆，乙2辆，丙1辆．(用数字表示)
(2)选购甲至少2辆．(用组合数表示即可)
(3)选购每种型号的汽车至少1辆．(用组合数表示)
解(1)从20辆甲型车中选2辆有C种选法；从10辆乙型车中选2辆有C种选法；从10辆丙型车中选1辆有C种选法；共有选购方式：C·C·C＝85500种．
(2)从40辆车中任选5辆共有C种，没有甲型汽车的选法为C种，只有1辆甲型汽车的选法CC种，至少有2辆甲型汽车的选法为：C－C－CC种．
(3)分三类：第1类：甲型车只有1辆时，选法为：
CCC＋CCC＋CCC种，
第2类：甲型车只有2辆时，选法为：
CCC＋CCC种，
第类：甲型车有3辆时，选法为CCC种，
共有选法：2CCC＋2CCC＋CCC＋CCC种．
【例3】有4个不同的球，四个不同的盒子，把球全部放入盒内．(1)共有多少种放法？(2)恰有一个盒不放球，有多少种放法？(3)恰有两个盒不放球，有多少种放法？
解(1)一个球一个球地放到盒子里去，每个球都可有4种独立的放法，由分步乘法计数原理，放法共有44＝256(种)．
(2)为保证“恰有一个盒子不放球”，先从四个盒子中任意拿出去1个，即将4个球分成2,1,1的三组，有C种分法；然后再从三个盒子中选一个放两个球，其余两个球，两个盒子，全排列即可．由分步乘法计数原理，放法有CCCA＝144(种)．
(3)先从四个盒子中任意拿走两个有C种，问题转化为：“4个球，两个盒子，每盒必放球，有几种放法？”从放球数目看，可分为(3,1)，(2,2)两类．第一类：可从4个球中先选3个，然后放入指定的一个盒子中即可，有CC种放法；第二类：有C种放法．因此共有CC＋C＝14(种)．由分步乘法计数原理得“恰有两个盒子不放球”的放法有C·14＝84(种)．
1.解析从8个点中任选3个点有选法C种，因为有4点共圆所以减去C种再加1种，即有圆C－C＋1个．
答案D
2.解析原式＝(C＋C)＋C＋…＋C－1
＝(C＋C)＋…＋C－1＝(C＋C)＋…C－1
…＝C＋C－1＝C－1.
答案B
解析当司机只安排1人时，有CCA＝108种；当司机安排2人时有CA＝18种．由分类加法计数原理知不同安排方案的种数是108＋18＝126种．
答案B
解析分两种情况：选2本画册，2本集邮册送给4位朋友有C＝6种方法；选1本画册，3本集邮册送给4位朋友有C＝4种方法，所以不同的赠送方法共有6＋4＝10种，故选B.
答案B
解析分两步：先将四名优等生分成2,1,1三组，共有C种；而后，对三组学生全排三所学校，即进行全排列，有A种．依分步乘法计数原理，共有N＝CA＝36(种)．
答案36
[教你审题]由组成无重复数字的三位数且为奇数知，个位必是奇数，因此，个位优先排；又由于0不能放在首位和个位，因此应分选0和不选0两类进行讨论．
[解法]当从0,2中选取2时，组成的三位奇数的个位只能是奇数，十位百位全排列即可，共有CCA＝12个．当选取0时，组成的三位奇数的个位只能是奇数，0必须在十位，共有CC＝6个．综上，共有12＋6＝18个．
[结论]B
【真题探究】(2012·北京高考)从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为()．
A．24B．18C．12D．6
[备考]备考中要掌握解决排列与组合问题的解题思路、方法与思想：
思路、方法：(1)直接法：先满足特殊要求，再考虎其他元素，即“特殊元素优先”；
(2)间接法：先不考虑附加条件算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数．对于复杂问题不仅要分类还要分步求解，又要采用“整体或局部排除”方法：分类法与分步法；元素分析法和位置分析法；捆绑法和插空法；隔板法和有序分组与无序分组法等方法．
思想：分类讨论的思想、等价转化思想、特殊优先思想、正难则反思想．
【真题探究】(2012·北京高考)从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为()．
A．24B．18C．12D．6
1．一个平面内的8个点，若只有4个点共圆，其余任何4点不共圆，那么这8个点最多确定的圆的个数为()．
A．C·CB．C－CC．2C·C＋CD．C－C＋1
2．C＋C＋…＋C等于()．
A．CB．C－1C．C－1D．C
3．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是()．
A．152B．126C．90D．54
4．(2011·全国)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有()．
A．4种B．10种C．18种D．20种
5．(2013·宿州模拟)四名优等生保送到三所学校去，每所学校至少得一名，则不同的保送方案有________种．
【训练1】2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是()．
A．60B．48C．42D．36
解析从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A(A共有CA＝6(种)不同排法)，剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙，为使男生甲不在两端可分三类情况：
第一类：“捆绑”A和女生B在两端，男生甲、乙在中间，共有6AA＝24(种)排法；
第二类：“捆绑”A和男生乙在两端，则中间女生B和男生甲只有一种排法，此时共有6A＝12(种)排法；
第三类：女生B和男生乙在两端，同样中间“捆绑”A和男生甲也只有一种排法，此时共有6A＝12(种)排法．
综上，不同的排法种类有24＋12＋12＝48(种)．
答案B
2．组合
(1)组合的定义：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号C表示．
(3)组合数公式
C＝＝＝(n，mN，且m≤n)．特别地C＝1.
(4)组合数的性质：C＝C；C＝C＋C.
(1)排列数公式A＝
(2)组合数公式C＝利用这两个公式可计算排列问题中的排列数和组合问题中的组合数．
解决排列组合问题可遵循“先组合后排列”的原则，区分排列组合问题主要是判断“有序”和“无序”，更重要的是弄清怎样的算法有序，怎样的算法无序，关键是在计算中体现“有序”和“无序”．
要能够写出所有符合条件的排列或组合，尽可能使写出的排列或组合与计算的排列数相符，使复杂问题简单化，这样既可以加深对问题的理解，检验算法的正确与否，又可以对排列数或组合数较小的问题的解决起到事半功倍的效果．
【训练3】(2013·潍坊五校联考)数字1,2,3,4,5,6按如图形式随机排列，设第一行这个数为N1，N2、N3分别表示第二、三行中的最大数，则满足N1
解析由题意知6必在第三行，安排6有C种方法，第三行中剩下的两个空位安排数字有A种方法，在留下的三个数字中，必有一个最大数，把这个最大数安排在第二行，有C种方法，剩下的两个数字有A种排法，按分步计数原理，所有排列的个数是C×A×C×A＝240.
答案240
【例1】有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？(1)甲不在中间也不在两端；
(2)甲、乙两人必须排在两端；(3)男女相间．
解(1)法一(元素分析法)
先排甲有6种，其余有A种，故共有6·A＝241920(种)排法．
法二(位置分析法)
中间和两端有A种排法，包括甲在内的其余6人有A种排法，故共有A·A＝336×720＝241920(种)排法．(等机会法)
9个人的全排列数有A种，甲排在每一个位置的机会都是均等的，依题意，甲不在中间及两端的排法总数是A×＝241920(种)．
解析从左右对称入手考虑．
(1)4位回文数第1、4位取同一个非零数有C＝9(种)选法，第2、3位可取0，有10种选法，故有9×10＝90(个)，即4位回文数有90个．
(2)首位和末位不能取0，故有9种选法，其余位关于中间数对称，每两数都有10种选法，中间数也有10种选法，故2n＋1(nN＋)位回文数有9×10n个．
答案909×10n
【试一试】(2012·湖北)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22,121,3443,94249等．显然2位回文数有9个：11,22,33，…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则
(1)4位回文数有______个：
(2)2n＋1(nN＋)位回文数有______个．
法四(间接法)
A－3·A＝6A＝241920(种)．
(2)先排甲、乙，再排其余7人，共有A·A＝10080(种)排法．
(3)(插空法)
先排4名男生有A种方法，再将5名女生插空，有A种方法，故共有A·A＝2880(种)排法．
(3)至少有一名队长含有两类：只有一名队长和两名队长．故共有：C·C＋C·C＝825(种)或采用排除法：C－C＝825(种)．
(4)至多有两名女生含有三类：有两名女生、只有一名女生、没有女生．故选法为：C·C＋C·C＋C＝966(种)．
(5)分两类：第一类女队长当选：C；第二类女队长不当选：
C·C＋C·C＋C·C＋C.
故选法共有：C＋C·C＋C·C＋C·C＋C＝790(种)．
1．(2012·全国)将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有()．A．12种B．18种C．24种D．36种
解析先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有A种不同的排法．再排第二列，其中第二列第一行的字母共有A种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法．因此共有A·A·1＝12(种)不同的排列方法．
答案A
2．A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边(A、B可以不相邻)，那么不同的排法共有()．
A．24种B．60种C．90种D．120种
解析可先排C、D、E三人，共A种排法，剩余A、B两人只有一种排法，由分步计数原理满足条件的排法共A＝60(种)．
答案B
3．如果n是正偶数，则C＋C＋…＋C＋C＝()．
A．2nB．2n－1C．2n－2D．(n－1)2n－1
解析(特例法)当n＝2时，代入得C＋C＝2，排除答案A、C；当n＝4时，代入得C＋C＋C＝8，排除答案D.故选B.
答案B
4．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为()．
A．42B．30C．20D．12
解析可分为两类：两个节目相邻或两个节目不相邻，若两个节目相邻，则有AA＝12种排法；若两个节目不相邻，则有A＝30种排法．由分类计数原理共有12＋30＝42种排法(或A＝42)．
答案A
5．(2013·汕头调研)如图，电路中共有7个电阻与一个电灯A，若灯A不亮，因电阻断路的可能性共有63种情况．
解析每个电阻都有断路与通路两种状态，图中从上到下的三条支线路，分别记为支线a、b、c，支线a，b中至少有一个电阻断路情况都有22－1＝3种；支线c中至少有一个电阻断路的情况有23－1＝7种，每条支线至少有一个电阻断路，灯A就不亮，因此灯A不亮的情况共有3×3×7＝63种情况．
答案63
6．(2013·郑州模拟)从－3，－2，－1,0,1,2,3,4八个数字中任取3个不同的数字作为二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c的取值，问共能组成个不同的二次函数．
解析a，b，c中不含0时，有A个；a，b，c中含有0时，有2A个．故共有A＋2A＝294个不同的二次函数．
答案294
7．(12分)7名男生5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种．(1)A，B必须当选；(2)A，B必不当选；(3)A，B不全当选；(4)至少有2名女生当选；
(5)选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任．
解(1)由于A，B必须当选，那么从剩下的10人中选取3人即可，故有C＝120种选法．(2)从除去的A，B两人的10人中选5人即可，故有C＝252种选法．
(3)全部选法有C种，A，B全当选有C种，故A，B不全当选有C－C＝672种选法．
(4)注意到“至少有2名女生”的反面是只有一名女生或没有女生，故可用间接法进行．所以有C－C·C－C＝596种选法．
(5)分三步进行；
第1步，选1男1女分别担任两个职务有C·C种选法．
第2步，选2男1女补足5人有C·C种选法．
第3步，为这3人安排工作有A方法．由分步乘法计数原理，共有CC·CC·A＝12600种选法．
8．(13分)直线x＝1，y＝x，将圆x2＋y2＝4分成A，B，C，D四个区域，如图用五种不同的颜色给他们涂色，要求共边的两区域颜色互异，每个区域只涂一种颜色，共有多少种不同的涂色方法？
解法一第1步，涂A区域有C种方法；第2步，涂B区域有C种方法；第3步，涂C区域和D区域：若C区域涂A区域已填过颜色，则D区域有4种涂法；若C区域涂A、B剩余3种颜色之一，即有C种涂法，则D区域有C种涂法．故共有C·C·(4＋C·C)＝260种不同的涂色方法．
法二共可分为三类：
第1类，用五色中两种色，共有CA种涂法；
第2类，用五色中三种色，共有CCCA种涂法；
第3类，用五色中四种色，共有CA种涂法．由分类加法计数原理，共有CA＋CCCA＋CA＝260种不同的涂色方法．
1．在1,2,3,4,5,6,7的任一排列a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中，使相邻两数都互质的排列方式共有()．
A．576种B．720种C．864种D．1152种
解析由题意，先排1,3,5,7，有A种排法；再排6，由于6不能和3相邻，故6有3种排法；最后排2和4，在不与6相邻的4个空中排上2和4，有A种排法，所以共有A×3×A＝864种排法．
答案C
2．(2012·山东)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为()．
A．232B．252C．472D．484
解析若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色则有C×C×C＝64种，若2张同色，则有C×C×C×C＝144种；若红色卡片有1张，剩余2张不同色，则有C×C×C×C＝192种，乘余2张同色，则有C×C×C＝72种，所以共有64＋144＋192＋72＝472种不同的取法．故选C.
答案C
3．(2013·深圳模拟)某人手中有5张扑克牌，其中2张为不同花色的2,3张为不同花色的A，有5次出牌机会，每次只能出一种点数的牌但张数不限，此人不同的出牌方法共有种．
解析出牌的方法可分为以下几类：(1)5张牌全部分开出，有A种方法；(2)2张2一起出，3张A一起出，有A种方法；(3)2张2一起出，3张A分3次出，有A种方法；(4)2张2一起出，3张A分两次出，有CA种方法；(5)2张2分开出，3张A一起出，有A种方法；(6)2张2分开出，3张A分两次出，有CA种方法．因此，共有不同的出牌方法A＋A＋A＋CA＋A＋CA＝860(种)．
答案860
4．小王在练习电脑编程，其中有一道程序题的要求如下：它由A，B，C，D，E，F六个子程序构成，且程序B必须在程序A之后，程序C必须在程序B之后，执行程序C后须立即执行程序D，按此要求，小王的编程方法有种．
解析对于位置有特殊要求的元素可采用插空法排列，把CD看成整体，A，B，C，D产生四个空，所以E有4种不同编程方法，然后四个程序又产生5个空，所以F有5种不同编程方法，所以小王有20种不同编程方法．
答案20
5．(12分)某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中：
(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？
(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？
(3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？
(4)队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？
解(1)只需从其他18人中选3人即可，共有C＝816(种)；
(2)只需从其他18人中选5人即可，共有C＝8568(种)；
(3)分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加，
共有CC＋C＝6936(种)；
(4)方法一(直接法)：
至少有一名内科医生和一名外科医生的选法可分四类：
一内四外；二内三外；三内二外；四内一外，
所以共有CC＋CC＋CC＋CC＝14656(种)．
方法二(间接法)：
由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数，得C－(C＋C)＝14656(种)．
6．(13分)在m(m≥2)个不同数的排列p1p2…pm中，若1≤i＜j≤m时pi＞pj(即前面某数大于后面某数)，则称pi与pj构成一个逆序，一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数．记排列(n＋1)n(n－1)…321的逆序数为an.如排列21的逆序数a1＝1，排列321的逆序数a2＝3，排列4321的逆序数a3＝6.(1)求a4、a5，并写出an的表达式；
(2)令bn＝＋，证明：2n＜b1＋b2＋…＋bn＜2n＋3，n＝1,2，….
(1)解由已知条件a4＝C＝10，a5＝C＝15，则an＝C＝.
(2)证明bn＝＋＝＋＝2＋2
b1＋b2＋…＋bn
＝2n＋2
＝2n＋2，
2n＜b1＋b2＋…＋bn＜2n＋3.
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