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| 第5讲 复数 |
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结束放映返回概要获取详细资料请浏览：www.zxjkw.com【2014年高考会这样考】考查复数的基本概念、复数相等的充要条件、复数的代数形式的运算．第5讲复数抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考活页限时训练复数的有关概念复数的几何意义复数的运算考向一考向二考向三助学微博考点自测A级【例2】【训练2】【例1】【训练1】【例3】【训练3】复数的代数运算复数的有关概念复数的几何意义B级灵活掌握复数的几何意义单击标题可完成对应小部分的学习，每小部分独立成块，可全讲，也可选讲选择题填空题选择题填空题考点梳理考点梳理一条规律助学微博三个充要条件两个性质考点自测单击图标显示详解答案显示单击题号显示结果BADA12345【审题视点】解考向一复数的有关概念【方法锦囊】【审题视点】解考向一复数的有关概念【方法锦囊】考向二【审题视点】解析复数的几何意义【方法锦囊】解析考向三复数的代数运算[审题视点][方法锦囊]解析解析热点突破29——灵活掌握复数的几何意义揭秘3年高考揭秘3年高考【教你审题】【反思】在复数z＝a＋bi中，如果没有注明a，b∈R，而只是个形式上的复数，就要看其中a，b满足什么条件，然后根据这些条件把实部和虚部分别求出，把复数表示成标准的代数形式，才可以使用复数的几何意义．揭秘3年高考解一、选择题单击显：题干/详解点击题号出答案题号1234CDAAA级基础演练单击转5-6题一、选择题单击显：题干/详解点击题号出答案题号56AD单击转1-4题A级基础演练二、填空题单击显：题干/详解点击题号出答案题号78910-44A级基础演练一、选择题单击显：题干/详解点击题号出答案题号1234CBDCB级能力突破结束放映返回概要获取详细资料请浏览：www.zxjkw.com＝＝3＋5i.【解答】
【训练3】已知复数z1，满足(z1－2)(1＋i)＝1－i，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，则z2＝________.
(a＋c)＋(b＋d)i复数a＋是实数而不是纯虚数充分性不成立；
＝－i，
3．(201·日照一模)在复数集C上的函数f(x)满足f(x)＝则f(1＋i)等于()．
A．2＋iB．－2C．0D．2
【例1】?(2012·陕西)设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的()．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
化为a＋bi(a，b∈R)的形式，根据纯虚数的定义求解．
【训练1】复数为纯虚数，则实数a为()．
A．2B．－2C．－D.
1．解析＝＝＝2－i.答案B
2．解析z＝＝＝－1－i.答案A
3．解析由题意知z＝＋i＝＋i＝2＋2i.
答案D
4．解析由于z＝＝＝，其在复平面对应点坐标为，位于第一象限，故选A.答案A
5．解析＝＝＝1－2i.答案1－2i化简复数，结合复数的几何意义求解．
4．(2012·辽宁)复数＝()．
A.－iB.＋iC．1－iD．1＋i
z2＋z14．(201·长沙质检)已知i为虚数单位，a为实数，复数z＝(1－2i)(a＋i)在复平面内对应的点为M，则“a>”是“点M在第四象限”的()．
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
a＝cb＝－d(1)一个复数为实数、虚数、纯虚数的充要条件；
(2)两个复数互为共轭复数的充要条件；
(3)两个复数相等的充要条件．虚部
1．复数的有关概念
(1)复数的概念
形如a＋bi(a，bR)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和若b＝0，则a＋bi为实数，若b≠0，则a＋bi为虚数，若，则a＋bi为纯虚数．
(2)复数相等：a＋bi＝c＋di(a，b，c，dR)．
(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭(a，b，c，dR)．
(4)复数的模
向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，bR)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝.
2．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，bR)．
(2)复数z＝a＋bi(a，bR)平面向量.
10．(2012·湖南)已知复数z＝(3＋i)2(i为虚数单位)，则|z|＝________.
＝z＝
∴1·z2＝(1－i)(2i－1)＝1＋3i，
＝＝－1＋i，
故其在第一象限．
3．复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，如果|z1|<|z2|，则实数a的取值范围是()．
A．－11
C．a>0D．a<－1或a>1
任意两个复数全是实数时能比较大小，其他情况不能比较大小．
，
若ab＝0，则a＝0或b＝0，
注意弄清复数x＋yi(x，y∈R)为纯虚数的充要条件是“x＝0且y≠0”．充分与必要的实质还是集合的包含关系，站在子集的角度往往顺畅一些，由于{a＝0或b＝0}{a＝0且b≠0}，所以“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的必要不充分条件．
当b＝0时，
∴z1＝2－i.设z2＝a＋2i(aR)，
∴z2＝4＋2i.
它在复平面内对应的点在第四象限，
1．(2012·新课标全国)下面是关于复数z＝的四个命题：
p1：|z|＝2；p2：z2＝2i；p3：z的共轭复数为1＋i；p4：z的虚部为－1.
其中的真命题为()．
A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p4
2．(201·西安质检)已知复数z满足z(1＋i)＝1＋ai(其中i是虚数单位，aR)，则复数z在复平面内对应的点不可能位于()．
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
复数的实部对应着点的横坐标，而虚部则对应着点的纵坐标，只要在复平面内找到这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．
注意弄清复数x＋yi(x，y∈R)为纯虚数的充要条件是“x＝0且y≠0”．充分与必要的实质还是集合的包含关系，站在子集的角度往往顺畅一些，由于{a＝0或b＝0}{a＝0且b≠0}，所以“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的必要不充分条件．
6
【试一试】设i为虚数单位，复数z1＝1＋i，z2＝2i－1，则复数1·z2在复平面上对应的点在()．
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
2．(2012·广东)设i为虚数单位，则复数＝()．
A．6＋5iB．6－5i
C．－6＋5iD．－6－5i
【训练2】(2012·临沂模拟)已知复数z的实部为－1，虚部为2，则(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在的象限为()．
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
依题意得
＝
二审：
1＝1－i，
3．复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，dR)，则
加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝；
减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝；
乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝；
除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．
(2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3C，有z1＋z2＝，(z1＋z2)＋z3＝＝，
位于第三象限，选C.
1．(2012·天津)i是虚数单位，复数＝()．
A．2＋iB．2－IC．－2＋iD．－2－i
2．(2012·福建)若复数z满足zi＝1－i，则z等于()．
A．－1－iB．1－IC．－1＋iD．1＋i
3．(2012·安徽)复数z满足(z－i)(2－i)＝5，则z＝()．
A．－2－2iB．－2＋2iC．2－2iD．2＋2i
4．(2013·济宁一模)复数z满足(1＋i)2·z＝－1＋i(i为虚数单位)．则在复平面内，复数z对应的点位于()．
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
5．(2012·上海)计算：＝________(i为虚数单位)．
答案A一审：
若复数a＋为纯虚数，
＝0，a＝2.
【】?(2011·山东)复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为()．
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
答案A
那么ab＝0必要性成立．答案B
＋i，
6．(201·上海徐汇能力诊断)若＝1－bi，其中a，b都是实数，i是虚数单位，则|a＋bi|＝________.
5．(201·泰州质检)设复数z1＝1－i，z2＝a＋2i，若的虚部是实部的2倍，则实数a的值为________．
10
＝
故其对应的点的坐标是(－1,1)．
【例3】?(2012·山东)若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)，则z为()．
A．3＋5iB．3－5iC．－3＋5iD．－3－5i
利用复数的乘除运算可求
a＝c且b＝dz1＋(z2＋z3)．化为a＋bi(a，b∈R)的形式，根据纯虚数的定义求解．
∵z1·z2∈R.∴a＝4.
1．(2012·全国)复数＝()．
A．2＋iB．2－iC．1＋2iD．1－2i
6．(2012·浙江)已知i是虚数单位，则＝()．
A．1－2iB．2－i
C．2＋iD．1＋2i
【例2】?在复平面内，复数对应的点的坐标为___．
【命题研究】通过近三年的高考试题分析，复数主要考查复数的概念和代数形式的四则运算，几乎每套高考试题中都有一个小题，并且一般在前三题的位置上，难度较小
(a－c)＋(b－d)i由(z1－2)(1＋i)＝1－i得z1－2＝＝－i，∴z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.
答案4＋2i把复数z化为形如a＋bi(a，bR)的形式．
则a＝0且b≠0，
＝
＝
(1)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(各式中nN)．
(2)(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i.
在做复数的除法时，要注意利用共轭复数的性质：若z1，z2互为共轭复数，则z1·z2＝|z1|2＝|z2|2，通过分子、分母同乘以分母的共轭复数将分母实数化．
复数z＝a＋bi(a，bR)的几何表示就是点Z(a，b)．
＝
因此该复数在复平面内对应的点的坐标是
(ac－bd)＋(ad＋bc)iz＝5．(2012·湖北)方程x2＋6x＋13＝0的一个根是()．
A．－3＋2iB．3＋2i
C．－2＋3iD．2＋3i
7．(2013·佛山二模)设i为虚数单位，则(1＋i)5的虚部为________．
由纯虚数的概念知：
答案A
a＝0且b≠08．(2013·青岛一模)已知复数z满足(2－i)z＝1＋i，i为虚数单位，则复数z＝________.
9．(2012·重庆)若(1＋i)(2＋i)＝a＋bi，其中a，bR，i为虚数单位，则a＋b＝________.
其在复平面内对应的点的坐标为(1,3)．
解析＝1＋2i，故选C.
答案C
解析＝＝＝－6－5i.
答案D
解析|z1|＝，|z2|＝，<，－1
答案A
解析＝＝＝＝－i.
答案A
解析Δ＝62－4×13＝－16，x＝＝－3±2i.
答案A
解析＝＝＝1＋2i.
答案D
解析因为(1＋i)5＝(1＋i)4(1＋i)＝(2i)2(1＋i)＝－4(1＋i)＝－4－4i，所以它的虚部为－4.
答案－4
解析(2－i)z＝1＋i，z＝＝＝＝＋i.
答案＋i
解析(1＋i)(2＋i)＝a＋bi1＋3i＝a＋bi，?a＋b＝4.
答案4
解析z＝(3＋i)2＝8＋6i，|z|＝＝10.
答案10
解析z＝＝＝－1－i，所以|z|＝，p1为假命题；z2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i，p2为真命题；＝－1＋i，p3为假命题；p4为真命题．故选C.答案C
解析由条件可知：z＝＝＝＋i；当<0，且>0时，a，所以z对应的点不可能在第二象限，故选B.答案B
解析1＋iR，f(1＋i)＝(1－i)(1＋i)＝2.
答案D
解析z＝(1－2i)(a＋i)＝(a＋2)＋(1－2a)i，若其对应的点在第四象限，则a＋2>0，且1－2a<0，解得a>.即“a>”是“点M在第四象限”的充要条件．答案C
解析a∈R，z1＝1－i，z2＝a＋2i，
＝＝＝＝＋i，依题意＝2×，解得a＝6.答案6
解析a，bR，且＝1－bi，
则a＝(1－bi)(1－i)＝(1－b)－(1＋b)i，
∴
∴|a＋bi|＝|2－i|＝＝.答案＋i
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