2015年高考数学基本题型、思路、
方法和结论大梳理(七)
★双曲线
龙艳文
类型一：双曲线方程的标准形式
，例1已知方程禹+禹一1表示
双曲线，则是的取值范围是．
方法对于曲线方程￡+筻一1，
(1)若表示双曲线，则仇竹
(2)若表示焦点在z轴的双曲线，则仇
>O，咒<0；
(3)若表示焦点在y轴的双曲线，则咒
>O，m<0．
■例2(1)已知双曲线2mzz一仇yz：2
的一条准线方程是y一1，则m一；
(2)已知双曲线等+÷=1的离心率P
∈(1，2)，则愚的取值范围是．
方法如果z2项的系数是正数，则焦
点在z轴上；如果y2项的系数是正数，则焦
点在y轴上．
基本想法涉及方程的标准形式时，
必须先设(或化)为方程的标准形式，并注意
区分焦点在哪个轴上．
类型二：基本量运算
◆例1若双曲线的渐近线方程为y：
±÷z，且焦距为10，则双曲线的方程为
lZNewUniVersityEntranceExamination
一例2(1)若双曲线的两个顶点三等分
两个焦点之间的线段，则双曲线的离心率为
(2)设双曲线≥一旁一1(o<口<6)的半口。D。
焦距为c，直线Z过(口，0)，(0，6)两点，已知原
点到直线z的距离为掣c，则双曲线的离心率
为；
(3)已知实系数一元二次方程nz2+6z
+c—O的系数n，6，f恰为一条双曲线的半
实轴、半虚轴、半焦距，且此方程无实根，求
双曲线离心率的取值范围．
方法涉及n，6，c的关系式时，利用
口2+62一c2消元，注意离心率的取值范围为
(1，+。。)．
类型三：定义应用
◆例1已知双曲线实轴长为2口，过一个
焦点F。交双曲线一支的弦AB长为6，Fz为
另一个焦点，则△ABF。的周长为．
◆例2如图1，
ABCDEF为正六边形，
则以F，C为焦点，且经过
A，E，D，B四点的双曲线
C
万方数据
■例4已知双曲线事一葶一1(口>。，6>
O)的两个焦点分别为F。，F。，若P为其上一
点，且PF。一2PF2，则双曲线离心率的取值
范围为．
方法涉及焦半径问题时，优先使用
定义(第一、二定义)，注意焦半径的取值
范围．
常用结论以焦点在z轴上的焦点三
角形为例．
∑么一
图形F?《弓一
定义lPFl—PF2l=2Ⅱ，FIF2—2c
FlF2离心率
8一IPF。一PF：l
三边与顶角F，F；一PF}+PF；一2PF。·PF：·
关系cos口：4c2
以左焦点F1为例，若P在左支上，则
焦半径范围PF1≥c—n；若P在右支上，则PF。≥
C1_Ⅱ
三角形面积s△FlPF2一÷PF。·PFzsin口一÷·
F1F2I弘I
★抛物线
类型一：方程形式
◆例1设口≠o，口∈R，则抛物线y一
4口z2的焦点坐标为．
◆例2抛物线的内接正三角形的一个顶
点与抛物线的顶点重合，已知该正三角形的
边长为8订，求抛物线的方程．
基本想法涉及方程的标准形式时，
必须先设(或化)为方程的标准形式，注意区
分开口方向和焦点在哪个轴上．
类型二：定义应用
■例1(1)已知抛物线zz一4y的焦点
为F，A是抛物线上的一点，且AF=4+
2√2，则AF所在直线的方程是；
(2)已知抛物线的顶点为原点，焦点在
y轴上，抛物线上的点(优，一2)到焦点的距
离为4，则优等于
■例2(1)已知定点A(3，2)，F是抛物线
扩一2z的焦点，P是抛物线上的动点，当PA
+PF最小时，点P的坐标为；
(2)已知AB为抛物线)l2—2夕z(p>O)
的焦点弦，Z是抛物线的准线，则以AB为直
径的圆与Z的公共点的个数是．
■例3(1)已知AB羔过抛物线yz一4z
焦点F的弦，A，B两点的横坐标分别是z。
和z2，且zl+z2=6，则AB等于；
(2)过抛物线y2—2pz(p>0)的焦点作
一条直线z，交抛物线于A(z。，y。)，B(z。，
yz溉点，则糍的值为
方法涉及焦半径问题时，优先使用
定义．
常用结论设过抛物线y2—2户z(p>
0)的焦点F的弦为AB，且A(z。，y。)，B(z2，
y2)，则有AB—z1+z2+户．
类型一：圆锥曲线上仅涉及一个点问题
■例1(1)点A是椭圆蒹+磊一1的左
顶点，点F是右焦点，若点P在椭圆上，且位
于z轴上方，满足PA上PF，求点P的坐标．
1—2．．2
(2)若点O和点F分别为椭圆等+寺
一1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意
一点，则茄·茚的最大值为．
◆例2已知椭圆c：蒜+甍一1的左顶
点为A，直线Z为椭圆的右准线，N为Z上一
NewUniVersityEntranceExaminationII
万方数据
l新高g数学
动点，且在z轴上方，直线AN与椭圆交于
点M，若AM—MN，求M点坐标．
方法
方法1：设点、代人方程、列式、消元；
方法2：求点、代人方程、列式、求解．
@注意考虑z。(或了。)的取值范围．
类型二：直线与圆锥曲线相交涉及两点
问题
■例1(1)已知椭圆的方程为丢+萼一
1，与右焦点F相应的准线Z与z轴相交于
点A，过点A的直线与椭圆相交于P，Q两
点．若砷·茄=o，求直线PQ的方程．
(2)已知椭圆方程为等+等一1，A为
(1，0)．若过点A的直线Z被椭圆截得的弦
长为等，求直线z的方程．
甲2．．2
(3)已知椭圆c的方程为彘+々一1，
椭圆上一点M(3√虿，厄)，过点M作两条直
线与椭圆C分别交于相异的两点A，B．若
么AMB的平分线与y轴平行，求证：直线
AB的斜率为定值．
方法1韦达定理法
设两点A(z。，y，)，B(z。，y：)，直线方程
与圆锥曲线方程联立，消去了得关于z的方
程Az2+Bz+C—o，由韦达定理得z。+z2
一一署，z。z。一署，代人已知条件所得式子
消去z。，z。(其中y。，y。通过直线方程化为
zl，z2)．
如：(1)能建立z1+z2和z1z2的关系
式，直接用韦达定理代人消去z，，z。；
(2)弦长问题．弦长公式lABl一厂—T
~／1+是2z·一zzl一√1+方ly，一yzI·
特别地，过焦点弦长用焦半径公式．如
椭圆过右焦点的弦长AB一2口一P(z，+工z)．
(3)若A，B中已知一个点坐标，则可以
利用韦达定理求出另一个点坐标．
¨NewUniversjtyEntranceExamination
特别地，若直线过原点，可以求出两点
坐标．
(4)与弦中点相关问题．
@注意：(1)设直线方程时讨论垂直于
z轴情况；(2)通过△判断交点个数；(3)根
据需要也可消去z得关于y的方程．
，例2(1)在平面直角坐标系z∞中，
已知双曲线c：车一等一1．设过点M(o，1)
的直线Z与双曲线C交于A，B两点，若AM
一2硫，求直线z的方程．
(2)已知椭圆的方程为荽+等一1，与右
焦点F相应的准线Z与z轴相交于点A，过
点A的直线与椭圆相交于P，Q两点．设Ap
—A茄(A>1)，过点P且平行于准线z的直
线与椭圆相交于另一点M，证明：
商一一A冠．
方法2两点代人解方程组法
设两点A(z。，y。)，B(z。，y：)，代入圆锥
曲线方程，如代人椭圆方程得
j霉+孝一1．’通过已知条件建立z。，y，与
l署+旁乩
z：，y：的关系，然后消去zz，yz，从而解关于
z。，y。的方程组．
如：适用于已知A，B与第三点的定比分
点关系．
一例3(1)已知椭圆方程为普+譬一1，
一条不与坐标轴平行的直线Z与椭圆交于不
同的两点A，B，且线段AB中点为(2，1)，求
直线Z的方程．
(2)已知椭圆方程为荽+等一1，过椭圆
的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线交椭
圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线Z交
z轴于点N，证明：篇是定值，并求出这个
定值．
万方数据
方法3点差法
设两点A(z。，y，)，B(z：，y：)，代人圆锥
曲线方程，如代人椭圆方程得
I堕+丝一1悟￡两式相减得糕一筹×
l堕一_丝一1．∞屯口【口2。62一
警，即是AB一一笔×旦，其中AB中点M
为(zo，帅)．
如：与弦中点，与弦的斜率相关的问题．
类型三曲线过定点问题
，例如图，已知椭圆等+譬一1的左、右
顶点为A，B．设过点丁(9，m)的直线Ⅸ，TB
与椭圆分别交于点M(∞，y1)，N(z2，y2)，其
中优>O，yl>0，y2
轴上的一定点(其坐标与优无关)．
l／
一一—一=夥，／
一＼0么乡B1＼
Ⅳ
图2
方法
方法1：特殊值法．先取特殊值求出定
点，再证明定点在曲线上．
特别地，证定点在直线时，可利用证三点共线的方法，如点№=愚坳或商与谳线．
方法2：方程恒成立法．先求出曲线方
程，再转化方程恒成立形式，从而由各项系
数均为O求得定点．
★线面及面面平行关系
类型一：证明线面平行及线线平行
一例1如图3，
在正四棱锥S—
ABCD中，P，Q分别
为BD，SC的中点，
求证。PQ{}睾A
图3
面SAD．
◆例2如图4，在直三棱柱ABc_A，B。C1
中，D，E分别是棱CC，，AB的中点，求证：
DE∥平面AB。C。．
．p
图4图5
D
—，例3如图5，已知ABcD是矩形，E，F
分别是AB，BC的中点，点G在AP上，试确
定点G的位置，使得EG∥平面PFD．
※证明线面平行
方法1构造三角形(中心投影)法，
转化为线线平行．寻找平面内平行直线的步
骤如图6：①在直线和平面外寻找一点P；
②连结PA，交平面口于点M；③连结PB，
交平面a于点N；④连结MN，即为要找的
平行线．
P①P①
图6
方法2构造平行四边形(平行投影)
法，转化为线线平行．寻找平面内平行直线
的步骤如图7：①选择直线上两点A，B构造
两条平行直线，分别交平面口于两点M，N；
②连结M，N即为要找的平行线．
图7图8
NewUniVersityEntranceExamination3‘
万方数据
方法3构造面面平行．构造平行平
面的步骤如图8：①过点A作直线AC，平行
于平面口内的一条直线A7C7；②连结BC；
③平面ABC即为所要找的平行平面．
※证明线线平行
方法1：利用中位线；
方法2：利用平行四边形；
方法3：利用平行线分线段成比例；
方法4：利用平行公理；
方法5：利用线面平行性质定理；
方法6：利用线面垂直性质定理；
方法7：利用面面平行．
类型二：已知线面平行
，例如图9，在底面为平行四边形的四
棱锥S—ABCD中，P为SB的中点，Q为
AD上的一点，若PQ∥平面SDC，求值：
AQ：QD．
方法过直线z作平面口，交已知平面
口于直线m，则z∥阮
图9图lO
类型三：证明面面平行
■例如图10，在正方体ABcD—
A181C1D1中．
(1)求证：平面A1BD∥平面B，D。C；
(2)若E，F分别是A，A，C，C的中点，
求证：平面EB。D。∥平面BDF．
方法在一个平面内寻找两条相交直
线，证明它们与另一个平面平行．
注意证明面面平行必须先通过证明线
面平行，不可以直接通过证明线线平行．
3‘NewUniVersityEntranceExamination
，★线面及面面垂直关系
类型一：证明线面垂直及线线垂直
◆例1如图11，在正方体ABCD
A。B。C，D。中，M为棱CC。的中点，AC交BD
于o，求证：A10上平面MBD．
●，例2如图12，在四棱锥P—ABcD中，
△PBC为等腰三角形，BP—BC，若AB上平
1
面PBC，AB∥CD，AB一÷DC，且E为PD
中点．求证：AE上平面PDC．
图11图12
1※证明线面垂直
D
C
方法证明直线与平面内的两条相交
直线垂直．
※证明线线垂直
方法1：利用线面垂直；
方法2：利用线线平行；
方法3：利用勾股定理；
方法4：利用等腰三角形三线合一；
方法5：利用菱形对角线互相垂直；
方法6：利用矩形邻边互相垂直．
◆例3(1)在正方体ABcD—A。B。c。D，
中，求证：A1CJ-BCl5
(2)在正三棱柱ABC—A。B。C。中，所有
的棱长均相等，D为BB，的中点，求证：A。B
上CD．
方法要证f垂直于AB，构造垂面，
步骤如图13：①过点A找垂直于直线z的
万方数据
王正林
空间几何元素位置关系的计算和证明
是高考的必考内容，这类问题的解决常需要
添加辅助线．一些同学由于没有掌握添加辅
助线的基本方法，因此解题凭感觉、很盲目，
甚至以失败而告终．我认为，解答立体几何
问题时添加辅助线是有基本规律、基本方法
的．下面以线面平行的证明为例作介绍．
方法一，面面平行法：即经过已知直线
作一个平面，使其与已知平面平行，即可得
已知直线与已知平面平行．
方法二，线线平行法：即在已知平面内
找一条直线，使其与已知直线平行，即可得
已知直线与已知平面平行．
平面内的这条直线的找法如下：
找一条与已知直线和已知平面都相交
的直线，过该直线和已知直线作一个平面，
这个平面与已知平面的交线就是要找的直
线(如图1)；也可以分别过已知直线上两点
作与已知平面相交的两条平行直线，这两条
平行线与已知平面的交点的连线就是要找
直线AC；②连结BC；③证明BC垂直于Z，
则Z-L平面ABC．
o
图13
类型二：证明面面垂直
◆例如图14，在四棱锥P—ABcD中，
四边形ABCD是菱形，PB—PD，且E，F分
别是BC，CD的中点，求证：平面PEFj-平
面PAC．
毒潦关键是找到和一个平面垂直的
直线，转化为线面垂直：
找垂线的常见方法：
方法1：找(或作)两个平面交线的垂线；
方法2：分别在两个平面内找两条互相
垂直的直线，再判断其中一条直线垂直于另
一个平面．
C
圈14圈15
类型三：已知面面垂直
◆例如图15，已知VBJ_平面ABc，侧
面VAB上侧面ⅥC，求证：△VAC是直角
三角形。
商渗已知面面垂直时，优先在其中
一个平面内作两个平面交线的垂线，转化为
线面垂直．
NewUniversityEntranceExamination17
万方数据
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