编者按俗话说：基础不牢，地动山摇．基础题掌握好了，难题无非是基础题的复杂化、
综合化．为此，本刊特约高中数学名师龙艳文，在2014．9期至2015．4期的栏目中，以连载的
形式，结合多年高三复习教学经验，为同学们提供最“骨架”的问题和其主要的方法、常用的
结论、基本的思路，名为《2015年高考数学基本题型、思路、方法和结论大梳理》，相当于笔记
本一样，为你今后解题提供可以回归的“固着点”．
2015年高考数学基本题型、思路、
方法和结论大梳理(一)
江苏省南京市教研室龙艳文
类型一：集合的表示
◆例判断下列集合的区别：A：{zy—
z2+1)，B一{yy—z2+1)，C={(z，y)ly—
z2+1)，D一{y=z2+1)．
◎注意集合中元素形式．
类型二：集合的关系
◆例1设集合A：{zI—zz+3z+10≥
0)，集合B={zm+1≤z≤2m一1)，若B∈
A，求实数m的取值范围．
饕羲将集合A改为A一{zl—zz+
3z+10<0)．
翕法与不等式有关的集合问题，画
数轴分析．
◎注意：①BCA，AnB一历时优先考
虑空集乃；②端点的取舍；③不等式间交或
并的关系．
◆例2设集合A一{zX2Dl—o}，集合
B={zI．7C2—2ax+1=0)，若B￡A，求实数n
的取值范围．
◎注意单元素集合要考虑△一0．
IlNewUniversityEntranceExamination
类型三：集合相等
◆例已知集合A：{z，zy，19(zy))，B
—I{0，lXl，Y)，若A=B，试求实数z，Y的值．
◎注意集合求解后一定要检验，如集合
中元素的互异性．
★集合的运算
类型一：集合的基本运算
◆例已知全集u={zIX2m3z+2≥o)，
A={xlx>3或z<1)，B2{zx--1}≥o}，
求AnB，CUA，Cu(AnB)，Cu(AUB)．
缌}掩Cu(ANB)=(CuA)U(CuB)，
Cu(AUB)一(CuA)N(CuB)．
类型二：集合运算的应用
◆例1设集合A={zzz一3z+2=o)，
B={zlX2+2(口+1)z+口2—5=0)．
(1)若AnB={2)，求实数口的值；
(2)若AUB=A，求实数以的值；
(3)若U=R，AnCuB—A，求实数n
的取值范围．
◎注意求解后要检验．
万方数据
黉舱A￡B甘AnB—A；A∈Be：CA
UB=B．
◆例2设集合A一{z11
tz≥口)．
(1)若AnB=乃，求实数口的取值
范围；
(2)若AnB≠够，求实数n的取值
范围；
(3)若AnB—A，求实数n的取值
范围；
(4)若CuAUB—CuA，求实数口的取
值范围．
囊武将集合B改为B={zlx
◎注意要树立端点意识，即对端点进行
检验(想到检验比如何检验更难)．
类型三：Venn图的应用
◆例已知全集u：{zlz≤10，zEN·)，
AnB={4，5)，AnCuB={1，2，3)，CuAn
CuB={6，7，8)，求CuAnB．
．翥濠利用Venn图的直观性．
★命题及其关系和充分、必要条件
类型一：四个命题的关系
◆例1写出下列命题的逆命题、否命题、
逆否命题，并判断它们的真假．
(1)若ab=0，则n=0或b=0；
(2)若z2+y2一o，则z，Y全为0；
(3)已知口，b，c为实数，若口c<0，则口z2
+6z+C----0有两个不相等的实数根；
(4)斜率乘积为一1的两条直线互相
垂直．
穷稔
原命题
羞p，则g
互为逆命题逆命题
若毋则p
互为否命题I互为》圣《命题l互为否命题
否命题
若j眵，则非g
互为逆命题逆否命题
若非g，则j印
◎注意(1)将命题形式先改写成“若p，
则口”的形式；
(2)常见语句的否定：
形式l都是I至少一个}至多一个lP或QP且Q
否定I不都是}一个没有l至少两个I，P且，Ql，P或，Q
◆例2判断下列命题的真假．
(1)已知厂(z)在R上为增函数，若厂(口)
+厂(6)≥厂(-a)+厂(--b)，贝0口+6≥0；
(2)若口6≠0，则口+co且6_圭0．
方法原命题与逆否命题等价．如果
原命题的正确性难以判断，可以转化为判断
其逆否命题的正确性．
类型二：充分、必要条件
■例1(1)“sinA—sinB，，是“A—B，，的
条件5
(2)“m一÷”是“直线(仇+2)z+3my+
1=0与直线(m一2)z+(m+2)y一3=0相
互垂直”的条件；
(3)设甲是乙的充分不必要条件，乙是
丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，
则甲是丁的条件；
(4)已知命题户：X≠2或y≠3，命题q：
z+y≠5，则夕是q的条件．
方法如果户≥q，且qj乡，那么称户
是q的充分必要条件，简记为户是q的充要
叁堡；如果p≥q，且q参户，那么称户是q的
充分不必要条件；如果户参q，且qjp，那么
称p是q的必要不充分条件；如果户参q，且
q参户，那么称p是q的既不充分又不必要
釜笪．
◎注意(1)找特殊情况(反例)来否定命
题(结论)；(2)利用原命题与逆否命题等价，
即“若户jg，则，q≥，夕”判断推导关系．
◆例2(1)若2x+m
>O的充分条件，则实数m的取值范围是——；
(2)已知户：(z+2)(z一6)≤0，q：(z+
NewUniversityEntranceExamination111
万方数据
m)(z一1—2m)≤0，若，P是，q的必要不
充分条件，求实数lift的取值范围．
翥蘧从集合的观点看，已知夕：z∈
A，q：z∈B，若A∈B，则夕是q的充分条件，
q是户的必要条件；若A=B，则P，q互为充
要条件．
◆例3求证：关于z的方程zz+(2口一
1)z-t-口2—0有两实数根，且两根均小于2的
充要条件是n<一2．
方法证明命题条件的充要性时，既
要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要
证明它的逆命题成立(即条件的必要性)．
★逻辑联结词与量词
类型一：逻辑联结词
◆例已知命题户：方程X2-4-mx+1：o
有两个不等的负实根，命题q：方程422+
4(优一2)z+1—0无实根．若P或q为真，P
且q为假，求实数m的取值范围．
赏法“且”在两个均为真的情况下为
真，“或”在其中一个为真的情况下为真．
◎注意求取值范围时区间端点的情况．
类型二：量词
◆例写出下列命题的否定，并判断
真假：
(1)Vz∈R，z2+4z+4≥0；
(2)jz∈R，z2～4=0；
(3)存在质数是偶数；
(4)菱形是平行四边形．
方法(1)先判断是否为存在性或全
称命题．
全称量词：“所有的”、“任意一个”等，用
V表示．全称命题P：Vz∈M，P(z)；全称命
题夕的否定、P：3x∈M，、p(z)．
存在量词：“存在一个”、“至少有一个”
等，用了表示．存在性命题P：3z∈M，户(z)；
存在性命题p的否定，p：Vz∈M，、户(z)．
¨NewUniversityEntranceExamination
(2)求原命题的否定的另一形式是求原
命题对应集合的补集．
★函数的概念
类型一：同一函数判断
◆例以下四组函数中，表示同一函数的
有．
①，(z)=Izl，g(z)=~／z2；②，(z)=
仃，g(z)=(石)2；③厂(z)一署，g(z)
一z+1；④，(z)=~／z+l·~／z一1，g(z)
一、，乞[_．
方法判断是否为同一函数，看是否
满足定义域、解析式均相同．
类型二：分段函数
◆例，已知函蝴护昆㈣，塞
则，(一2)=，fEf(一1)]=．
方法对分段函数求值问题，要依据
自变量范围确定对应的函数解析式．对于复
合函数求值问题，常由内向外求．
◆例2已知函蝴护{芝：搂≥
若厂(口)=口，求口的值．
方法已知分段函数的函数值，求自
变量问题，一般采用分类讨论的方法．
■例3已知函蝴护出罩4，羞
(1)若厂(z)≥2，求z的取值范围；
(2)求厂(z)在区间[一1，3]上的最值．
方法1(1)先分类讨论各段z的取
值范围，再对各类范围取并集；
(2)分段函数求最值问题，先分段求最
值，再比较各段最值确定函数的最值；分段
函数求值域问题，先分段求值域，再对各段
值域取并集．
方法2结合图形整体分析．
万方数据
纂本想法对于分段函数：①分段处
理；②整体处理．
◎注意分段函数中自变量z的分段区
间不重复、不遗漏．
类型三：解析式求法
一例1若厂(z+1)Xz一5x+4，求
厂(z)．
羹羲，’若，(z+÷)．Z2+专，求
厂(z)．
变式2若f(x2+1)=z2，求，(z)．
方法换元法、配凑法，适用于已知
fig(x)]，求，(z)问题．
◎注意换元法、配凑法要考虑元的范
围，即函数的定义域．
◆例2已知f[-，(z)]一9+4z，且厂(z)
是一次函数，求．厂(z)．
方法待定系数法，适用于已知函数
类型的问题．
补充等式(方程)恒成立问题，如z2
+如+f=0对任意X∈R恒成立，则n=b—
c=0．(注意与解方程z2+bx+f=0的
区别．)
结论一次函数一般设为：厂(z)一ax
+b(a≠0)
二次函数一般设为：(1)一般式：厂(z)
一口z2+6z+f(口≠O)；
(2)顶点式：．厂(z)一a(z—h)2+k(口≠
O)；
(3)零点式：f(x)=a(z—z1)(z—z2)
(n≠0)．
■例3(1)已知定义在R上的函数厂(z)
满足厂(z)+3f(--x)=3x，求厂(z)；
(2)已知f(x)为奇函数，g(z)为偶函
数，，(z)+g(z)=z2+2x一1，求厂(z)，
g(z)；
(3)已知函数，(z)满足2f(z)+厂(丢)
一z，求，(z)，／‘(2)．
纛蒗方程组法，适用于上述三种形
式的问题．
■例4动点P从边长为1的正方形
ABCD的顶点A出发，顺次经过B，C，D，再
回到A．设z表示点P走过的路程，Y表示
PA的长，求Y关于z的函数解析式．
◎注意求实际问题中的函数解析式，首
先要考虑实际情境中的自变量范围；分段函
数的书写格式要规范和分段区间的端点不
能重复．
★函数的定义域、值域
类型一：定义域求法
一例1-4)o的定义域是——．
方法自然型：给出解析式的函数的
定义域是使解析式有意义的自变量的取值
集合．
◎注意(1)函数定义域必须写成集合或
区间的形式．
(2)常见的考查定义域的函数有：，(z)
一石，，(z)=珏，厂(z)=2”拓，，(z)=专．，
，(z)=≯，f(X)=log。X(a>0且a≠1)，
，(z)一tanz．
■例2已知厂(z)的定义域为[1，2]，求
函数j，2厂(z2)及y2f(2x)+厂(z+号)的
定义域．
方法已知f(z)的定义域为D，求
fig(x)]的定义域问题，由g(z)∈D，解得z
的范围，即为fig(x)]的定义域．
对比已知f(x+1)的定义域为[1，
2]，求函数y=，(z)的定义域．
方法已知厂[g(z)]的定义域为D，
求厂(z)的定义域问题，由z∈D，求出g(z)
NewUniversityEntranceExaminationIIi
万方数据
的范围，且p为／。(z)的定义域．
◆例3已知厂(z)：19(a--1)zz+(nz
一1)z+n+1]的定义域为R，求口的取值
范围．
方法(1)定义域为R问题转化为不
等式恒成立问题；
(2)处理形如口z2+bx+c>0对任意z
∈R恒成立问题的方法：①优先考虑二次项
系数为0的情况，②结合二次函数图象分
析，③注意二次项系数的正、负和判别式△
的正、负．
类型二：值域求法
■例1求下列函数的值域：
(1)y=x2-x+2，z∈[一1，1]5
(2)y=Si…z∈睁料
方法图象法，适用于能作出图象的
基本函数或基本函数变换后的函数．(要体
会到“一切尽在图形中”，即具有优先利用图
形分析解决问题的意识．)
，例2求下列函数的值域．
(1)y=以=万--X；
(2)y=(丢)2一…∈[-1''2]．
方法单调性法，适用于能判断出单
调性的函数．
◆例3求下列函数的值域：(1)y一万蒜’
(2)y----log{(z2+2z+2)5
(3)y=Sin2z+号)灰[o，甜
方语复合函数法，即fig(z)]值域
的求法：先求g(z)的值域，再以g(z)的值域
作为，(z)的定义域，求出厂(z)的值域即可．
(体验将复杂函数转化为基本函数的神奇．)
◆例4求下列函数的值域：
I‘NewUniversityEnti''anceExamination
㈩y=鞲(z≠一詈)；
(2)y2器．
方法部分分式法，适用于分子、分母
次数相同的分式函数，如厂(z)。云axj+刁b
(z≠一手)的形式，先化为厂(z)2詈+
6一一ad，云南(z≠一孚)的形式j再结合图象求解．
，例5求下列函数的值域：(1)y—z+厄，
(2)y----COS2x+sinz．
方法换元法：对复杂形式或特定形
式进行换元．
◎注意换元法要考虑元的范围．
◆例6求下列函数的值域：
(1)厂(z)一z2+南；
(2)厂(z)一万x--而1(z>1)．
方法基本不等式法，适用于能化成
厂(z)一z+詈形式的函数．
结论对勾函数，(z)一z+导(n>o)
的图象与性质．
◆例7求函数厂(z)=zl眦的值域．
方法导数法(导数法并不是最优先
的方法，但是在前面的方法均不可行的情况
下，要想到导数法．可形象地比喻为：导数法
是最后的救命稻草，不要上来就用，也不要
在关键时刻忘记用)．
基本想法处理函数值域(最值)问
题，优先考虑图象法或单调性法，然后观察
函数的特征能否使用前6种方法，若不能，
则考虑能否转化后使用前6种方法，最后别
忘了导数法．
万方数据
|
|
