2015年高考数学基本题型、思路、
方法和结论大梳理(二)
江苏省南京市教研室龙艳文
★函数的性质——奇偶性、单调性、
I对称性、周期性
类型一：判断函数奇偶性
彭例1判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)一(1一z)√嵩；
n士1f
(2)，(z)2万．---玎]．；
(3)f(zh(击+丢)．
方法1定义法：先判断定义域是否
关于原点对称，再判断f(z)与f(一z)的
关系．
够例2判断函数，(护Mx(11蚓--x)((zx><≯O)
的奇偶性．
方法2图象法：通过图象的对称性
判断．
基本想法优先考虑利用图象法，利
用定义法之前先判断定义域是否关于原点
对称．
◎注意证明奇偶性只能利用定义法．
类型二：已知函数奇偶性求值
彭例1若，(z)=生紫为奇函
数，求口的值．
1ZNewUniversityEntranceExamination
方法1若函数为奇函数且0在定义
域内，则，(0)一O．
彭例2若，(z)一西；F而为奇
函数，求n的值．
方法2利用特殊值法，如奇函数用
，(一1)一一，(1)，偶函数用厂(一1)一，(1)．
彭例3若厂(z)一zz+Iz+口l为偶函数，
求口的值．
方法3定义法，即奇函数用，(一z)
一--f(x)，偶函数用厂(-x)=，(z)，化成方
程恒成立的形式．
基本想法优先用方法1，再用方法
2，注意检验．但如果是解答题，必须用定义
证明其奇偶性．
类型三：判断函数单调性
彭例1求下列函数的单调区间：
(1)厂(z)=--2x+l；
(2)f(x)=一z2--X；
(3)化)一猪．
变式设函数厂(z)一面ax+l在区间
(一2，+oo)上单调增，求口的取值范围．
方法1图象法．
◎注意单调区间不能写成并集形式．
参例2求下列函数的单调区间：
万方数据
(1)厂(z)一22—1；
(2)，(z)一log{(z2—2x)；
(3)，(z)一厂乏i盯．
方法2复合函数法，即fig(x)-I单
调性的判断方法：设复合函数y—fig(x)]，
其中z￡一g(z)，A是y—fig(x)]定义域的
某个子区间，B是U—g(z)在A上的值域，
①若M—g(z)在A上是增(或减)函数，而y
一厂(“)在B上也是增(或减)函数，则函数y
一尢g(z)]在A上是增函数；②若“一g(z)
在A上是增(或减)函数，而y一厂(扰)在B上
是减(或增)函数，则函数Y—fig(z)]在A
上是减函数．
口诀：同增异减．
◎注意单调区间必须在定义域内．
!参例3求下列函数的单调区间：
(1)，(z)一z3—222+1；
(2)，(z)一lnz一222．
方法3导数法：若函数y一厂(z)在
定义域内的某个区间上可导，①若f7(z)>
0，则，(z)在这个区间上是增函数；②若
f7(z)
◎注意单调区间之间要用“，”或“和”
连接．
●置、，‘J
淞例4证明函数厂(z)一z+÷在区间
(o，√2)上单调减．
方法4定义法，通过作差或作商
判断．
◎注意定义法的表达格式，作差后一般
化成因式的积的形式，才能判断其符号．
基本想法判断函数的单调性优先考
虑定义域，方法选择上，可先考虑图象法，再
考虑复合函数法，关键时候利用导数法，别
忘了定义法．
◎注意证明单调性只能利用导数法和
定义法．-
类型四：奇偶性、单调性的应用
嗲例1(1)若厂(z)是定义在R上的奇
函数，且当x>O时，厂(z)一1+√z，则厂(z)2——；
(2)若厂(z)是定义在R上的偶函数，
且当z≥0时，f(z)一1+√z，则厂(z)一
方法先设z
一z>0(已知区间)，再利用奇偶性代人已知
的解析式求解．
◎注意(1)若函数为奇函数，且0在定
义域内，考虑厂(O)一0的情况．
(2)函数写成分段函数形式．
陟例2若厂(z)是定义在R上的偶函数，
且在(一∞，o)上单调减，又，(2)一0，则使得
，(z)
方法1(抽象函数处理方法1)特
殊化，即找到满足条件的特殊函数(或
图象)．
方法2分类讨论利用单调性求解．
方法3若函数，(z)是偶函数，则
厂(z)一，(IzI)．
结论奇(偶)函数y轴两侧单调性口
诀：奇同偶反．
若厂(z)是偶函数，则厂(z)一厂(IzI)．
庐、“．
渗例3设，(z)是定义在(o，+∞)上的
增函数，厂(2)一1，且f(xy)一厂(z)+厂(y)，
求满足不等式厂(z)+厂(z一3)≤2的z的取
值范围．
方法(抽象函数处理方法2)代换，即
对恒等式中的z，Y用数值、字母、式子等形式
代换．求解抽象函数形式的不等式，先化为
厂()<厂()的形式，再利用单调性求
解，注意定义域．
基本想法函数奇偶性的价值在于已
NewUniversityEntranceExamination3I
万方数据
知Y轴一侧的解析式(图象、单调性等)，可
得另一侧的解析式(图象、单调性等)，所以
处理一些函数问题，如图象、最值、不等式问
题等，可先分析函数的奇偶性，判断函数的
单调性．
类型五：奇偶性、对称性、周期性的综合
应用
—k。，
淞例设，(z)是定义在R上的奇函数，
且f(x+2)一一，(z)，当O≤z≤1时，厂(z)
2Z．
(1)求f(7．5)的值；
(2)求z∈[4，5]时，(z)的解析式；
(3)求z∈[4，6]时，(z)的解析式．
毒篱先设自变量在未知区间上，通
过加常数、取相反数等手段，得到含自变量
的式子在已知区间上，再利用奇偶性和对称
性(可以推出周期性)代入已知的解析式
求解．
变式设，(z)是定义在R上的偶函
数，且，(z+1)一，(1一z)，当o≤z≤1时，
厂(z)一2x+1．
(1)求f(5．5)，f(10．5)的值；
(2)求X∈．[-1，2]时，(z)的解析式；
(3)求xE[4，6]时，(z)的解析式．
方法1利用奇偶性、对称性可以推
出周期性．
方法2利用图象可以观察得出周
期性．
结论1关于周期性：①如果存在一
个非零常数T，使得对于函数定义域内的任
意z，都有，(z+T)=，(z)，则称，(z)为周
期函数；②若函数厂(z)满足厂(z+n)一
--f(x)，则f(z)的周期为2a；③若函数
，(z)满足厂(z+口)。7：茜，则，(z)的周期
为2a；④若函数f(z)满足f(z+口)一
lINewUniversityEntranceExamination
一刁杀，则，(z)的周期为2a．J…
结论2关于对称性：①若函数厂(z)
满足f(a+z)=厂(6一z)，则，(z)的图象关
于直线z=兰譬对称．如：若函数厂(z)满足
厶
，(口+z)一，(口一z)，则厂(z)的图象关于直
线z—Ct对称；若函数，(z)满足厂(z)一
厂(2口一z)，则，(z)的图象关于直线z一口对
称．②若函数厂(z)满足，(口+z)+，(6一z)
一仇，则厂(z)的图象关于点(_a-t厂-"b，罟)对称．．
基本想法①已知某个区间上的解
析式(或值)，求其他区间上的解析式(或值)
时，利用奇偶性(对称性)和周期性将自变量
转化到已知区间上．
②已知函数的对称性、奇偶性、周期性
三个性质中两个往往能得到另一个性质，可
以通过解决抽象函数问题的代换法推导，也
可以利用图象法判断．
★二次函数
类型一：求二次函数解析式
分例求满足下列条件的二次函数y=
，(z)的解析式：
(1)已知厂(z)满足f(O)=1，且对任意
z均满足，(z+1)--f(x)一2x；
(2)已知对任意z均满足，(2一z)=
f(2+z)，且最小值为一1，与Y轴交点坐标
为(O，11)；
(3)已知不等式，ez)
2)，且函数y=厂(z)的图象过点(一1，2)．
方法二次函数一般设为三种形式：
(1)一般式：f(z)一aX2+bx+c(n≠0)；
(2)顶点式：厂(z)一口(z—h)2+k(口≠0)；
(3)零点式：，(z)一n(z—z1)(z—z2)(口≠o)．
基本想法合理根据条件选择二次函
万方数据
数解析式的表示形式．
类型二：二次函数在区间上最值的分类
讨论，
莎例1已知，(z)=z2+口z，xE[o，1]，
求厂(z)的最小值．
变式1已知厂(z)一z2+口z，xE[o，
1]，求，(z)的最大值．
变式2已知厂(z)=--X2+2x--2，z
∈Et，t+1]，若厂(z)的最小值为h(￡)，求
^(￡)．
‘■、’，
◇例2求厂(z)=aX2+6z+f(口>o)在
区间Em，规](优<咒)上的最值．
分析关键把握对称轴与区间的位置
关系，如下表：
位置①区间的左侧②区间的中间偏左
b／m<一乏≤字范围一五≮m
＼{／＼彳图象
＼I，”／：门一＼埘；爿i行一
≮∥＼i；0／一＼!／
Y…=，(")，Y…一f(”)，
最值蜘。可(一去)
Y…=厂(研)
位置③区间的中间偏右④区间的右侧
范围字<一乏<行／b订≮一百一
‘n
＼，／＼j／
图象埘i斡k／一脚：＼胛：／一
＼＼∥一＼∥一
Y。。。一厂(m)，y…=，(，订)，
最值
‰。一厂(一万b)y…一厂(珂)
基本想法求二次函数最值，考虑对
称轴与区间的相对位置关系，即左、中偏左、
中偏右、右，再根据具体问题对四种情况进
行合并(或取舍)．
◎注意二次函数的开口方向．
类型一：作图
彭例1已知函数厂(z)=ln(2z+1)．
(1)将函数y=，(z)图象向右平移2个
单位后的函数解析式为
——；
(2)与函数y=，(z)图象关于Y轴对称
的函数的解析式为‘；
(3)将函数y一厂(z)图象上所有点的横
坐标变为原来的3倍，纵坐标保持不变后的
函数的解析式为．
◎注意所有与横坐标有关的变换只能
对z进行变化．
彭例2画出下列函数的图象．
(1)y一篇；
(2)y=ll092zI；
㈣y一(制“；
(4)y—l092Ix--2I．
方法(一)对称变换：①y=一，(z)
的图象与Y=，(z)的图象关于z轴对称；
②y=，(--x)的图象与y=，(z)的图象关
于Y轴对称；③y=一，(--x)的图象与Y=
厂(z)的图象关于原点对称．
(二)翻折变换：①‘(上下翻折)Y=
I厂(z)I：将y=，(z)在z轴上方的图象保留
不变，再将y=厂(z)在z轴下方的图象对称
NewUniversityEntranceExaminationIll
万方数据
翻折到z轴的上方，得到Y=I厂(z)I的图
象；②(左右翻折)y=，(IzI)：将y=，(z)
在Y轴右方的图象保留不变(将y一，(z)在
Y轴左方的图象擦去)，再将3，=厂(z)在Y轴
右方的图象对称翻折到Y轴左方，得到Y一
厂(IzI)的图象．注意，y一厂(IzI)是偶函数．
(三)平移变换：0(上下平移)y=，(z)
+口：将y=厂(z)的图象向上(口>o时)或向
下(口<0时)平移l口1个单位，得到Y一厂(z)
+n的图象；②(左右平移)Y=f(x+口)：将
y一厂(z)的图象向左(口>o时)或向右(口
时)平移J口1个单位，得到y=f(x+n)的
图象．
(四)伸缩变换：①y—Af(x)(A>o)：
将3『=，(z)图象上各点的纵坐标伸长(A>
1)或缩小(o
不变；②y一厂(∞z)(c|J>0)：将y=厂(z)图象
上各点的横坐标缩短(叫>1)或伸长(o<∞<
1
1)到原来的三倍，纵坐标不变．
c￡，
类型二：识图
{j、f，
协例已知Y2厂(z)与Y2g(z)的图象
如图，则函数F(z)=，(z)·g(z)的图象可
以是．
r-
yf(x)
／—、，一
，o＼／j
’’I
|。7一
弋／j
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，’。≮b]
、力
一
0／一
0T
入
I
|一
fpVi
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方法识图方法通常从下面几个方面
进行判断：①图象的定义域；②特殊点的位
置；③值域、单调性、奇偶性、对称性；④平
均变化率(即曲线的变化趋势)等．
类型三：用图(数形结合法)
够例求当m为何值时，方程／可一z
+Tit满足：
(1)有两个实数解；
(2)只有一个实数解；
(3)没有实数解．
方法数形结合法基本原理：厂(z)一
g(z)的解表示Y=厂(z)图象与Y—g(z)图
象交点的横坐标if(x)>g(z)的解集表示Y
=，(z)图象在Y=g(z)图象上方的部分对
应的z的范围；厂(z)
厂(z)图象在Y—g(z)图象下方的部分对应
的z的范围．
基本学海因为一切尽在图象中，所
以处理函数问题优先考虑函数的图象．即先
考虑定义域再考虑用图象变换法或结合函
数的部分性质作图，再利用函数的图象分析
函数的相关问题(如值域、性质、零点、不等
关系等)，达到数形结合，相互融通．
类型四：图象的对称问题
A0
渗例1(1)若函数Y—l092(z+2)的图
象与y=，(z)的图象关于直线z一1对称，
求y=厂(z)的解析式；
(2)设曲线C的方程是Y—z3一X，将C
沿z轴、y轴正方向分别平移t，s(t≠o)个单
位长度后得到曲线C，，证明曲线C与C。关
ff-,最A(号，专)对称．
蠢法相关点法，适用于由已知曲线
求未知曲线的问题．①设未知曲线上任意一
点P(X，Y)，已知曲线上与P相关的点为
万方数据
P7(z7，y7)；②列出P(x，y)与P7(z7，y1)的
关系式；③将(z7，yP)代入已知曲线化简．
◎注意此方法亦用于对称性证明．
^o-
嗲例2已知函数厂(z)=logzI口z+3I关
于直线z=1对称，则实数n=．
方法已知函数对称轴(或中心对称
点)求值，可用特殊值法．
◎注意求值后进行检验(或证明)．
结论函数图象的对称性：
若，(n+z)=f(a—z)，则Y=f(x)的
图象关于z=口对称；
若厂(z)=f(2a—z)，则y=，(z)的图
象关于z=n对称；
若f(a+z)=，(6一z)，贝0y=，(z)的
图象关于z一雩竺对称；
厶
若，(z)+，(2a—z)=2b，则Y=，(z)
的图象关于(口，6)对称．，
★指数函数
类型一：指数幂的运算
够例1化简：16季+(沤)号+
+(8一号)一1．
y=(捂)『十2。的值域，
(2)已知9。一iO·32+9≤0，求函数Y
一(丢)一1—4·(专)7+2的最大值和最
小值．
变式已知9。一10·32+9≤0，求函
数y=a22一口2+1(口>o且口≠1)的最大值．
方法(1)指、对数方程与不等式问
题，关键是两边化同底．
(2)与指数函数有关的值域问题，方法
一：复合函数法，转化为利用指数函数的单
调性；方法二：换元法．
◎注意若底数为字母，则需考虑分类讨论．
类型一：对数式的运算
眵例(1)计算：(1。g：125+1。g。25+
l0985)(10952+l09254+logl258)；
(2)1925+1921950．
方法对数式化简可利用公式log。mb”
(刍)一号2磊n．109=b将底数和真数均化成最简形式·。
麟指数幂运算中通常将含根式形
式化成指数幂形式，将底数化为最简形式．
彭例2已知z专+z一专一3，求型牟的伍
巍藩利用z2+X-2一(z+z一1)2—2
和z+z一1一(z÷+z一÷)2—2．
类型二：指数函数定义域、值域、单调性
的应用
彭例(1)已知--z,求函数
结论192+195=1．
类型二：比较大小
彭例比较大小：．
(1)l0920．3，l0932，20一，l0920．1，20一；
(2)(109。m)2，log。m2，log。(109。m)，其
中n>m>1．
方法大小比较问题，先与特殊值(如
0，1，一1等)比较，再利用单调性比较．
类型三：对数函数定义域、值域、单调性
的应用
彭例1(1)方程l092x+log,(z一·3)一2
NewUniversityEntranceExaminationI，
万方数据
的解为；
(2)设l。g。了1<2，则实数口的取值范围惫里墼皇查堡
为——．
方法解指、对数不等式和方程关键
是两边化同底．化同底的方法：0一log,。1，1一
log．a=口o，^彳一log,aM一口1。g口M．
◎注意考虑定义域和a的分类讨论．
醚例2(1)函数y=l。g{(X2-2z+2)的
值域为．；
(2)已知函数，(z)=log．x在区间[n，
2a-]_l：的最大值是最小值的3倍，求a的值．瓣
利用对数函数单调性，注意底
数不确定时需讨论．
彭例3(1)已知函数y=log导(≯一优z
+2)的定义域为R，则实数m的取值范围为
——；
(2)已知函数y=log寺(z2一眦+2)的
值域为R，则实数m的取值范围为．
◎注意两个问题的区别．
彭例4(1)函数y=l。92(z2--4x--5)的
单调区间为：5
(2)已知函数y=log／-(z一口z)在区间
[o，1]上单调递减，则实数a的取值范围为
塑霭黼解决与指、对数有关的问
题，结合指、对数函数的图象分析，除考虑定
义域外，还要注意分类讨论．
凿例1(1)函数厂(z)=l酗一z零点的
个数为，
(2)函数，(z)=l弘一sinX零点的个数为——；
(3)函数厂(z)一2。一z2零点的个数为
溅利用函数零点与方程根的关系
进行转化，化为两个“恰当的函数’’，根据函
数图象交点的个数来判断函数零点的个数．
◎注意作出相对准确的函数图象和考
虑特殊情况．
彭例2函数厂(z)一2z+z一4零点所在
区间为()
A．(O，1)B．(1，2)
C．(2，3)D．(3，4)
滩若连续函数Y=，(z)在区间
(口，6)上有厂(口)，(6)<0，则厂(z)在(口，6)上
存在至少一个零点．‘反之不一定成立．
若二次函数y=，(z)在区间(口，6)上有
，(口)厂(6)
零点．
参例3如果二次函数y=z2+rex+(m
+3)在(o，+。。)上有两个零点，求m的取值
范围．瓣
将函数零点转化为方程根．
万方数据
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