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。。『≮o，1
2015年高考数学基本题型、思路、
方法和结论大梳理(五)
，-不等式的解法
龙艳文
类型一：解不等式
渗例1解下列不等式：(1)一3x244x+
4>0；(2)百1z2+2244>0；(3)(2x+1)(z
一3)>3(z2+2)．
@注意先把二次项系数化为正的形式．
嗲例2设不等式以z2+bx+c>O的解集
为(a，卢)，其中胗a>O，求不等式cz24bx+
a
方法若不等式口z2+624f>O的解
集为(口，卢)，则口，卢为方程a．X24bx4c一0的
两根．
@注意解集的形式与二次项系数正负
的关系．
莎例3解下列不等式：(1)}i>o；(2)警≤2．
方法(1)等安>o等价于厂(z)．
gLzJ
。
g(z)>o；船
㈤船≥。等价于瞄筌孑?劾’
器≤。等价于㈣舅<0’
@注意考虑分母不为0的情况．麟舭设溅s(x)=tl笔篓
则使得f(x)≥1的自变量z的取值范围为
方法分类(或分段)求解不等式，最
后取并集．
口、。二
》例5解下列不等式：(1)lg(x2—3)<
0；(2)4。一3·2I+寺一8≤0．
@注意对数函数的定义域为(0，4CXD)，
指数函数的值域为(0，+。。)．
^。!
诊例6(1)若对任意z∈R，有(m--2)x2
—2(m一2)z一4<0恒成立，则实数m的取
值范围是；
(2)若对任意z>0，有mx2—2x一1<0
恒成立，则实数优的取值范围是；
(3)若对任意一1≤m≤1，有mx2—2x
+1一m<0恒成立，则实数32的取值范围是
方法(1)二次不等式恒成立问题：
①结合二次函数图象分析；注意二次项系数
为0的情况和正负(开口方向)，△的正负与
0．②分离参数求解．
(2)一次不等式恒成立问题：①若不等
式ax4b≥o对任意z∈Em，卵]恒成立，则有
惯3宝’②若不等式讲6<0对任意z
∈Ira,．]恒成枷。有∽鬻’
@注意比较例6的(2)和(3)，辨别主元
的不同．
类型二：解不等式的分类讨论
渗例(1)解关于z的不等式：z2一a(口
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+1)z+乜3>0；
(2)解关于z的不等式：az2一日z+1
<0；
(3)解关于z的不等式：丛兰jP>1(口
>0)．
方法一元二次不等式分类讨论依次
从四个方面考虑：
(1)二次项系数的符号情况(系数为0
或正或负)；
(2)二次方程根的存在与否情况(优先
用十字相乘法求根)；
(3)二次方程根的大小关系情况；
(4)二次不等式的不等号方向情况．
，I基本不等式
类型一：基本不等式求最值
{，k7
诊例1(1)已知z>3，求函数Y—z+
—≮的最小值；
Z——0
(2)已知o
3x)的最大值；
(3)设n，b为实数，且口+b一3，则2。+26的最小值是——；
(4)函数y一1—4z+F兰石(z<})的最大值是——5
(5)函数Y—z2+丽1的最小值为
方法基本不等式及其变形：口，bE
(o，+。。)，口+6≥2“万或ab≤(尘笋)2，当
且仅当t2一b时取等号．当和为定值时，可求
积的最值；当积为定值时，可求和的最值．
@利用基本不等式求最值，要注意“一
正、二定、三等号”．
参例2已知n>o，b>O，且满足n6一口+
b+3．
35NewUniversityEntranceExamination
(1)求n6的最小值；
(2)求口+b的最大值．
方法式子中含有口+b，ab两种形
式，可利用基本不等式转化为其中一种
形式．
澎例3(1)已知x>O，y>0，且{+号一吟例3(1)已知，，且÷+÷一
2，求z+y的最小值；
(2)已知z>0，y>0，且z+2y一2，求
土+兰的最小值．
工≯
方法形如：①已知口z+by—M，求
里+旦最值；②已知旦+旦一M，求mz+靠y
上)上)
最值，考虑两式相乘展开后用基本不等式．
基零想法三个不等式：(1)口，bER，
n2+b2≥2ab，当且仅当口一b时取等号；
(2)n，bE(0，+。。)，n+6≥2~／n6，当且仅
当口一6时取等号；(3)口，b∈R，生妻堡≥
(生笋)2，当且仅当口一6时取等号．它们揭
示了n2+b2，ab，(口+b)2三者之间的不等
关系．
类型二：厂(z)一z+导型函数
例求下列函数的值域：㈩f(x)--蒜；
(2)厂(驯=x+～a--，z∈[1，2]．
方法对于
，(z)一z+导，当
口≤0时，f(z)在
(一。。，0)，(0，+
。。)上为增函数；
当口>0时，f(z)
在(一。o，√口)，
，
＼／
2J石．—＼／
府
压j
∥。一2J石
(石，+。。)上为增函数；在(一√i，o)，(o，√i)
万方数据
．!!!
JET_为顾幽甄，则图．
@注意在解答题中，利用函数厂(z)=z
+詈的单调性时，需要利用导数进行证明．类型三：厂(z)一塑等(或，(z)一
i糍i)型函数
‘k，
诊例求下列函数的值域：㈩y一并(z>丢)；
(2)y一≯xi--再1(z≥1)．
方法对于厂(z)一箜擀(或
厂(z)一五_dix+丽e)，令dz+e=f进行换
元，转化为厂(z)．一z+导的问题．
，●简单线性规划问题
类型一：线性规划区域
麟例1用三条直线工一2y=2，3工+j，一
3，z一3y+3—0围成一个三角形，则该三角
形内部(不包含边界)可用不等式表示为
fl、’‘
》例2(1)在平面直角坐标系中，求不
fz+了一2≥0，
等式组
【z≤2
(1)z一3z+4y的最值；
(2)z—z+2y的最值；
(3)z一2z+5y的最值；
(4)z一2z—y的最值；
(5)z—z2+y2的最值；
(6)2一z2+2z+y2的最值；
(7)z一上的最值；
工
(8)z一—b的最值．上l世
方法将目标函数的最值转化为截
距、距离、斜率等的最值．
@注意这八个问题的对比，发现它们之
间的联系和区别，考虑直线的偏转程度(斜
率的大小)、截距前系数的正负、点的位置对
最值的影响．
1氧。／
忪例2某运输公司有12名驾驶员和19
名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和
7辆载重量为6吨的乙型卡车．接到任务，需
将至少72吨的货物运往A地，派用的每辆
车需满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡
车需配2名工人，运送一次可得利润450元；
派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一
次可得利润350元．求该公司合理计划派用
两类卡车的数量并完成运输任务后可得的
最大利润．
方法将实际问题转化为线性规划问
题求最值．
，l导数的概念及运算
(2)在平面直角坐标系中，求不等式Iz
+JYJ≤4表示的区域的面积．
@注意考虑不等号方向与所对应区域》
^‘二
的关系(上方或下方)．
类型二：用线性规划区域求最值
莎钔飙y满足约束条一=鑫耋
【z≥1，
类型一：导数的运算
例求下列函数的导数：
(1)y—z3+3x2+5；
(2)y—e4sinz；
(3)y—tanz：
(4)Y—xlog。z+口1(口>0且以≠1)．
方法(1)常见函数的导数公式如下：
C7一O(C为常数)，(z”)7一卵z”，(sinz)7一
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COSz，(COSz)7一一sinz，(ez)7一e1，(n2)7一
以’lna，(1nx)7一了1，(109。z)7一÷109ne．
(2)两个函数四则运算的导数公式如
下：(“±到)7一蹦7±秽7，(“可)7一甜7到+“可7，(詈)7一半(训≠唬
类型二：导数的背景
渗例1位移s(m)与时间￡(s)的关系为
S一百1gf2．
(1)求t从1S到2S内的平均速度；
(2)求t一3S时的瞬时速度；
(3)求t一3S时的瞬时加速度．
方法S7(￡)表示瞬时速度口(￡)；可7(f)
表示瞬时加速度倪(z)．
渗例2(1)求曲线y=x3在点(一1，一1)
处的切线方程；
(2)求曲线y—z3—322+2z过点(O，0)
的切线方程．
方法求切线方程的步骤：(1)设切点
为(z。，y。)，则y。一厂(z。)；(2)切线斜率k一
厂7(z。)；(3)切线方程为Y—f(x。)一f7(z。)
·(z—zo)．
◎注意：(1)“在”与“过”的区别：“在”表
示该点为切点，“过”表示该点不一定为切
点；(2)切点的三个作用：①求切线斜率；②
切点在切线上；③切点在曲线上．
基本想法涉及函数图象的切线问
题，如果已知切点，则利用切点求切线；如果
不知切点，则先设切点横坐标求出切线方程
的一般形式，再利用已知条件确定切点横坐
标及切线方程．
利用导数研究函数性质
类型一：求单调区间
黪例1求下列函数的单调区间：
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(1)／’(z)=z3+3x2+1；
(2)，(z)一2x2一lnx．
方法对于函数y一，(z)，如果在某
个区间上厂7(z)>o，那么，(z)为该区间上
的增函数；如果在某个区间上f7(z)
么厂(z)为该区间上的减函数．反之不成立．
口诀：原函数看增减，导函数看正负．
◎注意：(1)求单调区间前优先求定义
域；(2)单调区间不能用“U”，应该用“，”或
“和”；(3)单调区间开闭均可，除求单调区间
外的其他问题则一定要考虑端点情况(如求
参数的取值范围问题)．
类型二：求函数极值(或最值)
渗例1求下列函数的极值：
(1)y一÷z3一寺z2—2x+2；
(2)，(z)一xlnx．
方法①求函数的定义域；②求
f7(z)一0在定义域(或给定区间)内的根；
③研究极值点两侧导数的正负情况，确定是
不是极值点以及是极大值点还是极小值点．
◎注意：(1)．厂(z)在z—z。处取极值≥
，7(z。)一o；(2)f7(z。)一0：参，(z)在z—oZ"o
处取极值．所以确定极值时必须研究f7(z)
的零点两侧的正负性．
i卜0
》例2求下列函数在所给区间上的最大
值和最小值：
(1)，(z)一；X甭--I，xEEo，4-1；
(2)厂(d—sin．z一专z，z∈【一号，号1．
方法求厂(z)在闭区间[以，6]上最值
的步骤为：(1)求f(x)在区间(盘，6)上的极
值；(2)将求得的极值与两端点处的函数值
进行比较，得到最值．
类型三：单调性与极值的应用
A。7
渗例1(1)若函数，(z)一日z3+3x2—
2z恰有三个单调区间，则n的取值范围为
万方数据
；
(2)若函数厂(z)一盘z3+3x2—2x存在
极值，则n的取值范围为；
(3)若函数厂(z)一血z3+z在(0，1)上
存在极值，则口的取值范围为．
方法将f(x)有极值或单调性问题
转化为f7(z)一0有解问题．
◎注意原函数存在极值等价于厂(z)一
0有解且解的两侧厂(z)的值异号．
gL’，
侈例2(1)若函数厂(z)一z34-mz2+
mz+1在R上单调递增，求m的取值范围；
(2)若函数厂(z)一z3+工2+mz+1在
(0，1)上单调递减，求m的取值范围．
方法若厂(z)在区间D上为增函数，
则f7(z)≥O在区间D上恒成立；若，(z)在
区间D上为减函数，则f7(z)≤0在区间D
上恒成立．反之不成立．
◎注意考虑到f7(z)一0的情况．
对比若函数．厂(z)一工3+z2+m工+1
／1、
的单调减区间为(一1，了J-)，求m的值．
、J，
方法若函数，(z)的单调增(或减)
区间为(n，6)，则f7(z)一0有两解为以，b．
，、<，导数的应用
类型一：极值(或最值)的分类讨论
^。7
惨例已知函数f(x)一nz2—1nT一1(口
∈R)，求厂(工)的极小值．
变式1已知函数厂(工)一nz2一lnx
一1(口∈R)，求厂(z)在[1，e]上的最小值．
变式2已知函数，(z)一nz2一lnx
一1(口∈R)，求厂(z)在[1，+。。)上的最值．
对比求函数．厂(z)一z2一alnx+(2
--a)x的单调区间．
变式求函数f(x)一z2一alnx+(口
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—2)工的单调区间．
方法用导数求极值(或最值)的分类
讨论步骤：
1．令f7(z)一0(通分为分式的形式利
于求解和判断f7(z)的正负)；
2．求方程的解(优先用十字相乘法)；
3．根据方程的解求极值(或最值)，按如
下顺序分类：
(1)方程无解时，f’(工)≥0(或≤0)，所
以厂(z)递增(或递减)；
(2)方程有解时，比较解的大小和舍解；
①所有解在开区间左侧时，f’(z)≥0
(或≤O)，所以厂(z)递增(或递减)；
②有解在开区间内时，通过列表判断
厂(z)的单调性；
③所有解在开区间右侧时，f7(z)≥0
(或≤o)，所以．厂(z)递增(或递减)．
4．判断单调性后就可解决函数的极值
(或最值)问题，所以求极值(或最值)实质是
判断函数单调性的延伸．
思维导图如下：
l仉尢用T子l
l相乘法求解lI}1燮卜
篓簧Hl鳖刚碰巫画砸
f吾程有解习
叫舍掉解．再比l峰氅．舟
基本想法我们将四类情况简称为
“无、左、中、右”．所有问题均从四种可能的
分类情况进行分析，根据解与区间的位置关
系对四种分类情况进行取舍(或合并)．
类型二：不等式恒成立问题
ft‘
岔例若不等式以z2>lnx+1对任意zE
(0，+。。)恒成立，求实数a的取值范围．
方法不等式／’(z)>g(z)(或，(z)
≥g(z))恒成立求参数范围问题．法一：分离
NewUniversityEntranceExamination39
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参变量法(优先)；法二：设F(z)一厂(z)一g
(z)，转化为F(z)的最值问题；法三：构造两
个函数的图象判断位置关系．
◎注意①树立端点意识；②可以通过
先取满足条件的特殊值来缩小变量的范围．
对比1已知函数厂(工)一nz2，g(z)
一lnz+1，若函数Y一厂(z)的图象恒在函数
y—g(z)的图象的上方，求实数n的取值
范围．
方法函数Y一厂(z)的图象恒在y—
g(z)的图象的上方(或下方)问题可转化为
不等式恒成立问题．
对比2求证：lnx+1≤z．
方法不等式证明问题转化为不等式
恒成立问题．
对比3已知厂(z)一z3—2x2+z+
1，对任意z。，z：∈[0，1]，恒有If(z。)一f
(z：)I≤m，求实数m的取值范围．
方法任意z。，z。∈D，lf(z。)一f
(z：)1≤厂(z)…一厂(z)…．
对比4已知函数f(x)一8x2+16x
--k，g(z)一2x3+5x2+4x，对任意zl，z2∈
[一3，3]，恒有f(x，)≤g(xz)，求实数k的取
值范围．
方法对任意的z。，z。∈[m，竹]，恒有
f(x。)≤g(z：)，可得[厂(z)]。。。≤[g(z)]。…
对比5若存在z。∈[1，8]，使得不等
式nz；>Inx。+I成立，求实数口的取值范围．
方法不等式厂(z)>g(z)(或厂(z)
≥g(z))有解问题．
方法1：分离变量法(优先)．
方法2：设F(z)一厂(z)一g(工)，转化F
(z)的最值问题．
方法3：构造两个函数的图象判断位置
关系．
◎注意①树立端点意识；②考虑与不
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等式恒成立问题的区别．
基本想法①不等式恒成立(有解)
问题优先利用分离参变量法(避免分类讨
论)，参变量无法分离或分离后情况很复杂
时，应考虑其他方法，如构造函数F(z)一
，(z)一g(z)．
②二次不等式恒成立(有解)问题也优
先利用分离参变量法，再考虑观察二次函数
的固定特征，如开口方向、对称轴不变、过定
点等，结合固定特征作出所有满足条件的图
象，由图象列出满足条件的式子．
③一次不等式恒成立问题采取如下方
法：az+6≥o对任意z∈m，行]恒成立§设
弛)=口m删∽芸’卅6≤0对任
意z∈[m，以]恒成立§设f(z)一口z+b，
啡蹇’
◎注意各种方法有时需与数形结合法
相结合．
类型三：方程有解(解的个数)问题
嗲例若方程az2一lnz一1—0有两解，
求实数口的取值范围．
变式1若函数厂(z)一nz2一lnx一1
的图象与z轴有两个交点，求实数以的取值
范围．
变式2若方程口z2一lnx一1—0有
解，求实数口的取值范围．
变式3若函数，(z)一az2的图象与
函数g(z)一lnz+1的图象有交点，求实数口
的取值范围．
基本想法方程有解(解的个数)问
题、函数图象交点问题、函数零点问题之间
可以相互转化．
方法1(优先)：分离参变量法；方法2：构
造函数F(z)一厂(z)一g(z)，转化为F(z)的
图象问题．两者均要充分利用数形结合．
万方数据
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