第一章相似三角形与平面向量
第1节比例线段的计算
平行线分线段成比例的相关定理：
(1)两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例；
(2)平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
一、线段比值的计算
在“比例线段”中，有关线段比值的计算内容包括：由已知线段的长求有关线段的比，由已知线段的比求其他线段的比，由面积比求线段比，以及与黄金分割有关的计算．
例1△ABC中，点D在直线AB上，点E在直线AC上，且DE∥BC．
(1)若AD=2DB，求DE：BC的值；
(2)若AD=DB，求DE：BC的值．
举一反三
1—1如图1—1—5，平行四边形ABCD中，E是边BC上的点，AE交BD于点F．如
果，那么=
1—2如图1—1—6，AC∥FD，AD、CF、BE相交于M，写出图中值相等的线段比．
1—3如图1-1-7,△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，，
求的值
点评本题利用了“等高的三角形面积之比等于底边之比”，把面积比转化为线段比．也可以用相似三角形的性质来解
下面看有关黄金分割的一组问题：
点P把线段AB分割成AP和PB(AP>PB)两段，如果AP是AB和PB的比例中项，那么这种分割称为黄金分割，点P称为线段AB的黄金分割点，比值称为黄金分割数，≈O．618．注意一条线段有两个黄金分割点，且这两个点关于线段中点对称．
例2如图1—1—8，P、Q是线段MN的两个黄金分割点，求的值．
点评这个结果说明，点P也是线段MQ的黄金分割点；同样地，点Q也是线段PN
的黄金分割点．
举一反三
2—1一把尺长度为20厘米，这把尺的黄金分割点的刻度为多少?(精确到o．1厘米)
解设尺长MN＝20厘米，点尸是黄金分割点(MP＞PN)，则
2—2如图1—l—9，正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DE上，EG交FH于点K，四边形AEKH和CGXF都是正方形，且求
2—3如图1—1—10，矩形ABCD中，AB一2AD．以D为圆心、DA为半径作圆弧交BD于Q，以B为圆心、BQ为半径作圆弧交AB于P．求证：点P是线段AB的黄金分割点．
点评本题提供了求线段黄金分割点的一种尺规作图方法．
二、线段长度的计算
利用线段的比例式求线段的长，例如，在比例式式；中，若已知a、b、c，则得,称为求第四比例项．为了书写过程简洁，经常用x表示未知线段的长，将比例式化为关于x的方程求解.
例题精解
例3△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，DE∥BC，DF∥AC，AC=8，BC=6．若四边形CEDF的一组邻边之比为1：2．求四边形CEDF的周长．
解由题意知四边形CEDF是平行四边形，DE=FC，DF=EC
举一反三：
3—1如图1—1—13，△ABC中，点D在边BC上，DE∥AB，DF∥AC，DE、DF分别AC、AB于点E、F，已知，AF=3，求BF的长
点评需要注意：当DE∥AB，DF∥AC时，得到的结果是，而不是
引申如果DE∥AB，DF∥AC，那么满足什么条件才能得到?
3—2如图1—1—14，矩形CEDF内接于Rt△ABC，AE=4，BF=3，求矩形CEDF
的面积．
点评本题中，将DE·DF看作一个整体，恰好等于AE·BF，若将DE、DF分开来，是无法单独求出它们的长度的．例3和题3—1、3—2这三道题目的图形结构相同，都是从三角形的一边上的一点作另外两条边的平行线．
下面换成以四边形为背景来进行线段比例式的计算．
3—3如图1—1—15，菱形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、CD的中点，联结DE、EF、FB分别交AC于M、P、Q，且DE=4，求PQ的长．
解如图1—1—15，作DGJ-AB，AH上DC，垂足分别为G、H．
接下来将研究三条平行线段之间的一种特殊的数量关系——倒数关系．
例4如图1—1—16，两根电线杆AB、CD直立于地面，每根电线杆的顶端与另一根电线杆的底端用缆绳AD、BC相连，已知AB＝4米，CD＝6米，求AD、BC的交点E离地面的高度EF.
点评这一结果表明，EF的长度只与AB、CD的长度有关，而与AB、EF、CD之间的相对距离无关，换句话说，左右移动AB、CD的位置，EF不变．本题可以看成是几何中的定值问题．
下题说明线段的这种倒数关系会出现在以三角形为背景的图形中．
4—1如图1—1—18，△ABC中，点D在BC上，点E在AC上，点F在AB上，且四边形AFDE是菱形．已知AC=b，AB=C．求菱形AFDE的边长．
下题说明线段的这种倒数关系也会出现在以梯形为背景的图形中．
4—2如图1—1—19，梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别是AD、BC的中点，AN交BM于点E，DN交CM于点F，联结EF．已知AD=a，BC=b，求EF的长．
4—3如图l一1—20，梯形ABCD中，AD∥BC，又EF∥AD分别交AB、DC于E、
F，交BD于M，且EM=MF．已知AD=a，BC=b．求EF的长．
引申本题也可以换一个背景：如图1—1—21，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于M，过M作EF∥BC分别交AB、BD于E、F，求证：．(请自己证明一下)
一般地，对于正数a和b，我们把满足数x叫做a和6的调和平均数，显然x=．
三、利用中间比过渡
利用平行线分线段成比例定理进行计算的前提是要有平行直线．在有的图形中，虽然没有平行线，但也出现了线段成比例关系，这时往往需要添置平行线，找到作为过渡性质的中间比．
例5如图1—1—22，△ABC中，点D在BC延长线上，CD=BC，点E在AB上，
举一反三
5—1如图1—1—24，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AD
于点G．求GD：AG的值．
5—2如图1—1—25，△ABC中，D在BC上，五B西D=5,E是AD的中点，BE交AC
于F．求的值．
5—3如图1—1—26，□ABCD中，BC=a，AB=b，延长BC到E，使CE=C，AC交BD于O，OE交CD于F．求CF的长．
点评本题中，构造一个以CF为“平行截线”的三角形是关键，方法一中的△OEG和方法二中的△HEB就是这样的三角形．
四、重心定理的应用
三角形的三条中线交于一点，这点叫做三角形的重心．
重心定理：三角形的重心到一个顶点的距离等于它到这个顶点对边
中点距离的两倍．
相关性质：如图1—1—29，△ABC中，若G是重心，则可以得到如下结论：
例6如图1—1—30，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，BH交DE于M，BG交DF于N，求的值．
点评联结BD，把四边形MBND与四边形ABCD分别分割成两个三角形，用重心定理求出△MBD与△ABD的面积的倍数关系，同理写出△NBD与△CBD的面积的倍数关系，最后合并成四边形MBND与四边形ABCD的面积的倍数关系，体现了“化整为零”的转化思想．
6—1Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=9，求重心G到边AB的距离．
6—2如图1一l一32，延长矩形ABCD的边BC到E，使CE=BC，联结AE交CD于F,BF交AC于G，且BG=BC，求矩形两邻边之比AB：BC的值
点评本题的关键条件是BG=BC，难点是找出BG与AB、BC的关系，“设AB=m，BC=n”能使过程得以简化；得到用m、n表示BG的代数式后，代入等式BG=BC解出m、n的关系，这可以看作是方程思想的体现．
6—3如图1—1—33，四边形ABCD中，E为BC的中点，AE与BD相交于F．若DF=BF，AF=2EF，求S△ACD：S△ABC：S△ABD．
点评由“E为BC的中点，AF=2EF”容易联想到点F是△ABC的重心，这是重心定理的逆命题，也是正确的，但仍需要先证明一下．这里是通过“作一个重心F7，证明F与F7重合”来证明F就是△ABC的重心，这个方法称为“同一法”；又通过“两点确定一条直线”解决了B、F、G、D四点共线．以上这些，对于严格的证明步骤都是必不可少的．
内容提炼
1．计算比例线段的依据有两条：①平行线分线段成比例定理；②相似三角形的性质．
本节内容所运用的是第①条
2．已知条件是“平行于三角形一边的直线”，往往还要看该直线是“与其他两边相交”，还是“与其他两边的延长线(或反向延长线)相交”，在条件不确定时则需要分类讨论．在已知条件中，注意所给的条件是“边”还是“射线”，或是“边所在的直线”并作出相应的对策，如例1所示．
3．本节的难点是正确地添置辅助线，并利用中间比来转移线段比．平行线是最常见的辅助线．若构成比例式的四条线段在同一条直线上，则必须把其中两条线段的比转移到另两条与之不共线的线段比．
4．本节的重点是灵活地进行线段比例式的变换和计算，并由此得出所需的结果．在例4知识要点中线段之间存在倒数关系：，虽然从几何意义上很难理解一条线段的倒数是什么，但从代数运算的角度看这个结果显示了一种对称美．我们也经常通过线段比例式的运算得出新的线段比例式，例如(其中a、b、c表示线段长，k1、k2为常数)：
习题精练
1·如图，在△ABC中，若DE∥BC，EF∥CD，AE=2EC，则AF：FD：DB等于（）
(A)4：2：3；(B)3：2：4；(C)4：3：2；(D)6：3：4．
2·如图，梯形ABCD中，E、F分别在AB、CD上，AD∥EF∥BC，若，则AD：EF：BC为()
(A)2：3：4；(B)3：4：6；(C)4：5：8；(D)5l7：10．
3．如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，如果王华的身高是1．5米，那么路灯A的高度AB等于()
(A)4．5米；(B)6米；(C)7．2米；(D)8米．
4.在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，CD平分么ACB，DE∥BC，若AC=10，AE=4，则BC=．
5.如图，在□ABCD中，BC=16，DE=6，EB交AC于F．若AF=12，则AC=
6．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=6，则内接正方形CFDE的边长是．
7．如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD交CE于F．若BC=10，CD=5，则CF=
8.如图，□ABCD中，AB=2，BC=3，对角线AC交BD于O，点E在BA延长线上，OE交AD于F．若AF=1，则AE=．
9．如图，梯形ABCD中，AD∥EF∥BC．若，AD=4，BC=7，则EF=．
10．如图，AC∥BD，AB交CD于E，EF∥BD交AD于F．已知BD=6，EF=2，求AC
的长．
11．如图，一座塔的塔基截面为等腰梯形ABCD，上底DC=25米，下底AB=30米，腰长AD=6．5米．求该塔塔尖P到地面(AB)的距离．
12．如图，CD是△ABC的中线，AF是△ACD的中线，延长AF，与BC相交于点E，求．
互动探究
在△ABC中，D为边BC的中点，E为边AC上任意一点，BE交AD于点O．某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：
(1)当时，有(图①)；
(2)当时，有(图②)；
(3)当时，有(图③)．
在图④中，当时，参照上述研究结论，请你猜想的一般结论，并给出证明．(其中n为正整数)
2015/7/15
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