第4节相似三角形的性质
知识要点
相似三角形对应边的比称为这两个三角形的相似比，相似比用字母k来表示．如△ABC∽△A/B/C/，则．相似比具有方向性，若写作△A/B/C/∽△ABC，则相似比为
根据合比容易得到“相似三角形的周长比等于相似比”，记△ABC和△A/B/C/的周长分别为C△ABC和C△A/B/C/，则C△ABC：C△A/B/C/=k．
一、相似比与周长比
在有关相似三角形的计算问题中，通过对应边的比例式建立方程是常用的方法．
例题精解
例1如图1—4—1，已知等边三角形ABC的边长为6，过重心G作DE∥BC，分别交
AB、AC于点D、E．点P在BC上，若△BDP与△CEP相似，求BP的长．
点评这是一类常见的有关三角形相似的分类讨论题．图中只能确定一组相等的角(∠B=∠C)为对应角，但“这个角的两组夹边对应成比例”的比例式排列顺序还不能完全确定，因此要分为两种情况进行讨论．
举一反三
1—1如图1—4—2，△ABC中，CD是角平分线，E在AC上，CD2=CB·CE．
(1)求证：△ADE∽△ACD；
(2)如果AD=6，AE=4，DE=5，求BC的长．
点评先根据判定定理2得到ABCD∽ADCE，再根据判定定理1得到ADE∽△ACD，这种类似于“二次全等”的“二次相似’’是证明三角形相似常用的方法．
1—2如图1—4—3，△ABC中，DE∥BC，分别交AB于D，交AC于E．已知AB=7，BC=8，AC=5，且△ADE与四边形BCED的周长相等．求DE的长．
点评无论是以相似比k作未知量，还是以DE=x作未知量，目的都是为了把其他的量用k或x来表示，根据题设的等量关系列方程．这一解题思路可称为“方程思想”，这是用代数方法解决几何问题的基本思想．
1—3如图1—4—4，正三角形ABC的边长为1，点E、F分别在边AB、AC上，沿EF将△AEF翻折，使点A恰好落在BC上的点D．已知AE：AF=5：4，求BD的长．
二、相似比与对应线段之比
如图1—4—5，△ABC∽△A/B/C/，相似比为k，若AH、AM、AE和A/H/、A/M/、A/E/分别是△ABC和△A/B/C/的高、中线和角平分线，则．
广义地说，所谓“对应线段”应当包括两个相似三角形对应位置上的所有对应线段，如图1—4—5中的BE和B/E/、ME和M/E/等；而相似三角形对应位置上的所有三角形也都是相似三角形，如图中的△ABE∽△A/B/E/、△AME∽△A/M/E/等．(这些拓广知识在解题时需要重新证明)
●例题精解．
例2如图1—4—6，△ABC中，D在BC上，∠DAC=∠B，角平分线CE交AD于F．已知BD=1，DC=3．求CF：EF的值．
点评本题考查了相似三角形中对应角平分线的相似比问题．
举一反三
2—1如图1—4—7，∠BAE=90°，AB=AC=CD=DE，F是BC的中点，联结BE、BD、DF．
(1)找出图中的相似三角形并说明理由；(2)求DF：DB的值．
2—2如图1—4—8，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，DE上AC，DF上BC，垂足分别为E、F．求证：DE2：DF2=AD：DB．
点评解题思路从相似三角形的面积比入手．=方面，相似三角形的面积比等于相似比的平方；另一方面，等高的三角形面积之比等于相应的边长之比，从而建立起与线段平方比有关的比例式．
2—3一块直角三角形木板的两条直角边AB长为1．5米，BC长为2米，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲乙两位同学进行设计加工方案，甲设计方案如图1—4—9，乙设计方案如图1—4—10．你认为哪位同学设计的方案中正方形面积较大?试说明理由．(加工损耗忽略不计，计算结果中可保留分数)
三、相似比与面积比
相似三角形的面积之比等于相似比的平方．例如，如图1—4—12，△ABC中，D、E和F、G分别是AB和AC的三等分点，则△ADF、△AEG、△ABC的周长比是1：2：3，面积比是1：4：9，而DF、EG将△ABC分成的三部分面积之比为1：3：5．
另外，两个有公共高的三角形的面积之比等于对应的底边之比．例如，如图1—4—13，△ABC中，∠C=90°，CD是高，则△ADC∽△CDB,，另外，CD是它们的公共高，故，这样我们就很容易得到一个比例式：．这种证明方法称为“面积法”．
例题精解
例3如图1—4—14，△ABC中，过重心G作DE∥BC分别交AB、AC于点D、E，作DF∥AC交BC于点F．求证：S△ADE=S四边形DECF．
点评这个结果说明，三角形ADE与四边形DECF面积相等，这种等积变换很难通过画平行线的方法验证，只有利用相似三角形的性质通过计算来验证．
举一反三
3—1如图1—4—15，△ABC中，点D在BC上，∠DAC=∠B．求证：AB2：AD2=
BC：DC．
3—2如图1—4—16，梯形ABCD中，AD∥BC，AC交BD于O．
(1)若S△AOD=8，S△BOC=18，求S△AOB；
(2)若S△AOD=m2，S△BOC=n2(m、n为正数)，试用m、n表示梯形ABCD的面积S．
点评在梯形中，两条对角线将梯形分为4个小三角形，其中分别以两底为边的两个小三角形是相似关系，它们不可能全等(因为两底是对应边，不可能相等)；另两个以腰为边的小三角形是等积关系(面积相等)，它们可能全等(当等腰梯形时)，但不可能是非全等的相似关系．
3—3如图l—4—17，□ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，联结EF、AC．
(1)求证：△ABC∽△EAF．
(2)若AB=3BE，AD=9，□ABCD的面积为36，求EF的长．
内容提炼
1．相似三角形的性质包括三个方面：
(1)由定义确定的性质——相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应边的比值称为相似比，用k表示；注意相似比的“方向性”，必须是排在前面的三角形边长除以排在后面的三角形边长．若△ABC∽△DEF，则当k>1时，说明由△ABC到△DEF是缩小的；当k<1时，说明由△ABC到△DEF是放大的；当k=1时，△ABC△DEF，因此，全等是相似的特殊情况．
(2)性质1：相似三角形对应线段的比等于相似比，“对应线段”包括对应角的角平分线、对应边上的中线和对应边上的高．实际上“对应线段”还可以推广到两个相似三角形对应位置上的任何一种对应线段，例如：两个相似三角形外接圆半径的比、内切圆半径的比都等于相似比．
(3)性质2：相似三角形面积的比等于相似比的平方，实际上还可以推广到两个相似三角形对应位置上的任何图形的面积比都等于相似比的平方，例如：两个相似三角形外接圆面积的比、内切圆面积的比都等于相似比的平方．
2．学习本节内容时要克服一些常见的错误．例如：
(1)在利用相似三角形的性质时，在书写过程中忘记交代“相似”这一条件，或是没有注意对应关系．
(2)误认为通过“两个三角形的周长比等于某一对应边的比”或“两个三角形的面积的比等于对应边的平方比”就可以判断这两个三角形相似．
(3)在运用性质2时忘记加平方，认为面积比等于相似比．
习题精练
1．如图，DF∥EG∥BC，AD；DE：EB=1：2：3，如果S1为△ADF面积，S2为梯形DEGF面积，S3为梯形EBCG面积，那么S1：S2：S3为()
(A)1：4：9；(B)1：9：36：(C)1：8：27；(D)1：7：19．
2·已知一个三角形的三边之比为3：4：5，与此三角形相似的另一个三角形最短边的边长为6Cm，则另一个三角形的周长为()
(A)12cm；(B)24cm；(C)36cm；(D)48cm．
3．若一个三角形的一条边长为6cm，平行于这条边的直线将该三角形分成面积相等的两部分，则该直线被这个三角形两边所截得的线段长为()
(A)3cm；(B)2cm；(C)3cm；(D)6cm．
4．若两个相似三角形面积之比为3：4，则它们的周长之比为．
5．如果两个相似三角形对应中线之比为2：3，其中较大的一个三角形的面积是36cm2，那么另一个三角形的面积是cm2．
6．如图，AB∥DC，AC交BD于O，过O作直线分别交AB、DC于M、N．若2OM=3ON，则△AOB与△COD的周长之比为．
7.如图，△ABC中，AB=3，AC=2，若将△ABC绕点A旋转到△AB/C/，则△ABB，与△ACC/的面积之比为．
8.梯形ABCD中，AD∥BC，且AD：BC=3：4，BA与CD的延长线相交于点P，若梯形ABCD的离是3cmI，则点P到BC的距离为cm．
9·如图，△ABC中，D在AC上，若AD=2DC，AB2=ACAD，则BD:BC的值等于
10．如图，△ABC中，AB=6，AC=9，DE∥BC分别交AB、AC于D、E，且DE=8，四边形DBCE的周长是25．求BC的长．
11．如图，将△ABC绕点A旋转后得△AB/C/，当AB/上BC时AC/∥BC，且点C恰好在B/C/上．求△ABB/与△ACC/的面积之比．
12．如图，△ABC中，∠C=2∠B，D在BC上，AC2=BC·DC，且∠BAD=90°，点E
是BD的中点．试判断△AEC的形状并说明理由．．
互动探究
(1)如图①，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于E，若AE·EC=BE·ED，四边形ABCD被AC、BD分成的4个小三角形之间有没有相似关系?请说明理由．
(2)在第(1)小题中，若延长对边DA、CD交于点F，则图②中还有没有其他的三角形相似关系?说明理由．
(3)如果第(1)小题的条件“AE·EC=BE·ED”改为AE·BE=DE·CE，那么四边形ABCD被AC、BD分成的4个小三角形之间有什么关系?请说明理由．
2015/8/2
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