第三章二次函数
第一节二次函数的图像与性质
知识点
二次函数的图像时抛物线，开口方向、顶点坐标、对称轴和增减性显示了它的基本特征。抛物线的平移运动、抛物线与坐标轴的位置关系为代数知识与几何知识的相互交融提供了新的平台
一、二次函数图像的基本特征
1．二次函数了的图像是对称轴平行于y轴的抛物线．当a>0时，开口向上，当a<0时，开口向下．
2．如果对一般式进行配方，可将化为，因而，其顶点坐标为，对称轴是直线
3．对于函数，若a>0，则当x≤一m时y随z的增大而减少，当x≥-m．时y随x的增大而增大；若a<0，则x≤一m时y随x的增大而增大，当z≥一m时,y随z的增大而减少．简言之，a>0则左减右增，a<0则左增右减．
其实，从图像上看，这个性质是一目了然的(如图3—1—1中的①和②)．
1、开口方向2、顶点坐标、对称轴3、增减性
例题精讲
例1、已知关于x的函数(m为常数).
（1）写出函数及其图像的名称。无论m为何值，这些函数图像有什么共同性质？
（2）当m=0，m=2时，分别写出图像的开口方向、顶点坐标和对称轴.
点评只有当a≠0时关于x的函数才表示二次函数；当a=0，b≠0时y=bx+c表示x的一次函数；当a=b=0时y=c表示常值函数．抛物线的顶点是x轴上的点(一m，0)，对称轴是直线x=一m．
举一反三
1-1、写出以下各二次函数图像的顶点坐标、对称轴以及与y轴交点的坐标：
（1）；（2）；
（3）；（4）。
1-2、已知抛物线的对称轴是直线，且该抛物线经过点A（－1，y1）和B（2，y2）,试比较y1和y2的大小.
点评解题时，可以边读题边画出函数图像的草图，通过观察图像来说理．
1-3、如果抛物线经过A（1，）、B（5，）、C（0，）三点，那么该抛物线是否一定经过点D（6，）？试说明理由.
点评以上解法是利用二次函数图像的对称性直接进行判断．判断抛物线是否经过某点通常的解法是：根据抛物线经过已知点A、B、C，求出该抛物线的二次函数解析式，再将点D代入该解析式．若满足解析式，则点D在该抛物线上；若不满足，则点D不在该抛物线上．显然，利用对称性的解法要省力得多．
二、图像的平移
抛物线与抛物线、以及的开口方向、开口大小都相同，不同的只是位置，经过平移后可以相互重合．
(1)从出发：①上下平移个单位(k>0时向上，k<0时向下)，得的图像；②左右平移个单位(m>0时向左，m<0时向右)，得的图像；③复合平移，先上下平移个单位(方向同①)，再左右平移个单位(方向同②)，得的图像．
(2)从出发：先上下平移个单位(k>0时向下，k<0时向上)，得的图像；再左右平移个单位(m>0时向右，m<0时向左)，得的图像．
抛物线平移什么不变？改变什么？如何改变？
1、上下平移2、左右平移3、复合平移
例题精讲
例2、已知抛物线C1：.
（1）将抛物线C1向左向下分别平移2个单位，求所得的抛物线C2的表达式；
（2）若抛物线C1经过上下、左右各一次平移得到抛物线C3的表达式为，写出平移的过程；
（3）若抛物线C1是由抛物线C4：经过上下、左右各一次平移得到，写出平移的过程.
举一反三
2-1、已知直线与抛物线，设该直线与x轴、y轴分别相交于点A、B，把抛物线经过两次平移，使之经过A、B两点，求平移后抛物线的顶点坐标和对称轴，并写平移过程.
2-2、已知抛物线.
（1）沿着与y轴平行的方向平移，使它经过点（0,3），求所得抛物线的函数表达式；
（2）沿着与x轴平行的方向平移，使它经过点（0,3），求所得抛物线的函数表达式.
2-3、直角坐标系中，点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，，二次函数的图像经过点A、B.
（）求这个二次函数的解析式；
（）将△OAB绕点A顺时针旋转90°，点B落到点C的位置，将上述二次函数的图像沿y轴向上或向下平移后经过点C，请直接写出点C的坐标，并求平移后图像的表达式.
点评这是一类“函数图像中包含几何图形的运动”问题，这类问题是历年中考试题中综合题的热门考题．
三、抛物线与坐标轴的位置关系
1．抛物线与x轴的交点有以下几种情况：
①当b2—4ac>0时，抛物线与x轴有两个公共点A(x1，0)、B(x2，0)，线段AB的垂直平分线x=是该抛物线的对称轴；
②当b2—4ac=0时，抛物线x轴有一个公共点，该公
点就是抛物线的顶点，其坐标为；
③当b2—4ac<0时，抛物线与x轴没有公共点，并且当a>0该抛物线都在x轴的上方，当a<0时，该抛物线都在x轴的下方．
2．抛物线与Y轴必定有一个交点，坐标是(O，c)．
1、抛物线与x轴的交点情况(由Δ决定)；
2、抛物线与y轴必定有一个交点，坐标是（0，c）.
例题精讲
抛物线与坐标轴的交点坐标、相关的图形面积，经常作为确定抛物线表达式的已知条件。
例3、已知抛物线.
（1）求证：该抛物线与x轴总有两个交点；
（2）若抛物线与x轴交于点A、B，且AB之间的距离为1，求抛物线的表达式；
（3）若抛物线与y轴交点为点C，在第（2）小题的前提下，求△ABC的面积.
举一反三
3-1、已知二次函数的图像与x轴交于点A、B，与y轴交于点C（0，），顶点为D，试判定△DAB的形状.
3-2、在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数的图像与x轴的负半轴交于点A，与x轴的正半轴交于点B，与y轴交于点C（0，-3），且BO=CO.
（1）求这个二次函数的解析式；
（）设这个二次函数图像的顶点为M，求AM的长.
下面这题根据抛物线的图像特征和平移结果来确定抛物线的表达式，解题方法带有一定的技巧性.
3-3、已知二次函数的图像与x轴有两个交点，且两个交点之间的距离为6.若将此二次函数的图像向下平移3个单位，则它与x轴仅有1个公共点；若将此二次函数的图像向上平移2个单位，则它经过点（1，－）.求原二次函数的解析式.
点评本题中，因为设点A(--m+3，o)在Y=a(x+m)2+3的图像上，所以将(--m+3，0)代入求得，同样再将(1，一)代入y=-(x+m)2+5，求得m=3或一5．函数解析式与函数图像之间的这种数形转化关系正是“待定系数法”的理论依据．
内容提炼：
1、二次函数的图像是抛物线，对称轴平行于y轴；但抛物线不一定是二次函数的图像，只有对称轴平行于y轴的抛物线才是二次函数的图像.类似地，一次函数y=kx+b（k≠0）的图像是直线，但直线不一定是一次函数的图像.
2、作为二次函数图像的抛物线，其基本特征是轴对称性，其对称轴是平行于y轴（或y轴）的一条直线；抛物线与对称轴的交点就是该抛物线的顶点；当a>0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a<0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点.
3、本节重点是二次函数解析式的配方运算，并根据配方式，确定二次函数图像（抛物线）的对称轴是直线，顶点坐标是（－m,k）.
4、将二次函数图像经过平移，或者沿着平行于坐标轴的直线（包括坐标轴）翻折、或者绕着某一点旋转180°，所得的曲线仍然是一个二次函数的图像；其中，二次函数图像的平移尤为重要，可以根据二次函数的解析式及平移的方式来确定平移后抛物线的表达式，或根据平移前后抛物线的表达式来确定平移的过程，顶点的平移过程代表了整个抛物线的平移过程.
习题精练：
1、若抛物线的顶点是此抛物线的最高点，则m的取值范围是（）
（A）（B）（C）（D）
2、把抛物线向下平移2个单位后得到的新抛物线的表达式为.
3、有以下几个二次函数：（1）（2）（3）
（4），它们图像的共同特征是（）
（A）有相同的开口方向（B）有相同的开口大小
（C）有相同的对称轴（D）与x轴有相同的交点
4、抛物线的对称轴是直线.
5、抛物线与y轴的交点坐标是.
6、若把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线
的表达式为.
7、已知抛物线，如果点P（－2，5）与点Q关于该抛物线的对称轴对称，那么点Q的坐标是.
8、请写出一个以直线为对称轴，且在对称轴左侧部分是上升的抛物线，这条抛物线的表达式可以是.
9、如果将抛物线向右平移a个单位后，恰好过点（3，6），那么a的值为.
10、已知二次函数.
（1）配方，并求此二次函数的图像的顶点坐标、对称轴方程；
（2）画出图像，并根据图像回答：当y≥0时x的取值范围.
11、已知抛物线的顶点为A，与y轴的交点为B，求过A、B两点的直线的表达式.
12、已知抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相并于点C.
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）若点D在x轴上，且∠CDA=∠ACB，求点D的坐标.
互动探究
将1、2、3、4、5、6这六个数随机地赋予二次函数中的系数m和n，问所得到的二次函数图像的顶点恰好在x轴上的概率是多少，并求出这种函数的解析式.
2014/11/30
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