第三节 二次函数图像中的几何问题

第三节二次函数图像中的几何问题

知识要点

1、“函数及其图像”关系的基本思想是：函数图像上点的坐标满足函数解析式，反过来，坐标满足函数解析式的点在函数图像上。

2、在坐标平面上处理几何问题的主要方法有：

（1）用两点距离公式求线段的长；

（2）用勾股定理的逆定理判定直角三角形（即判定直线垂直）；

（3）用一次函数中x的系数k相等判定直线平行，等等。

一、抛物线中的线段和角

坐标平面上的几何问题很多，先来看一道在二次函数图像中，根据角相等确定相关点的坐标问题.

例题精讲

例1、已知二次函数的图像经过A（－3，6），与轴交于点B（-1，0）和点C，顶点为P。

（1）求该二次函数的解析式；

（2）设点D为线段OC上的一点，满足∠DPC=∠BAC，求点D的坐标。



















小结：解题过程是点的坐标→确定解析式→确定其他点的坐标→角的关系、线段的长→线段比例式→点的坐标。整个过程中，数（坐标、解析式）形（角相等、三角形相似、线段成比例）之间相互转化，数形结合思想得到充分的体现。

举一反三

下面的问题是在二次函数图像中求角的三角比

1-1、已知二次函数的顶点为P，与y轴交于点A.求∠OPA的正切值。











1-2、已知直角坐标平面上有A（-1，0）、B、C（0，3）三点，点B在x轴正半轴上，且∠ABC=45°，点C关于上述二次函数图像对称轴的对称点是D，AD交BC于点E.

（1）求图像经过A、B、C三点的二次函数的解析式；

（2）求













对于一个含有参数的二次函数解析式，都可以在给定的条件下求出该参数的值。

1-3、已知二次函数的解析式为，m为常数.

（1）求证：这个二次函数图像与x轴必有公共点，且其中有一个点是定点；

（2）设这个二次函数图像与x轴相交于A、B两点（点A在B的左侧），与y轴相交于点C，

当BC=时，求m的值.













小结：以坐标轴为背景的题目，也经常会进行分类讨论。例如“已知点在x轴（或y轴）上”需要考虑在原点的左边还是右边（或上面还是下面）；已知图形的面积求点的坐标时，由于列主程加了绝对值符号，所以一般都有两解；直线可能要考虑截距有正负，与x轴的夹角可能是锐角也可能是钝角；双曲线要考虑图像在第一、三象限还是第二、四象限；二次函数要考虑图像开口向上还是向下，等等.

二、抛物线的内接三角形

以抛物线上的三个点为顶点的三角形称为抛物线的内接三角形。已知内接三角形的三个顶点的坐标可以求出抛物线的表达式.

例题精讲

例2、已知抛物线与x轴交于点A（-3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，-3），抛物线顶点为D，联结AD、AC、CD.

（1）求该抛物线的表达式；

（2）△ACD与△COB是否相似？如果相似，请给予证明；如果不相似，请说明理由;

（3）抛物线的对称轴与线段AC交于点E，求△CED的面积.















小结：抛物线的内接三角形是常见的函数几何问题，主要题型有：

（1）由内接三角形顶点坐标求二次函数解析式；

（2）求内接三角形的面积；

（3）求三角形各顶点坐标

（4）判定内接三角形之间的特殊关系（全等或相似）或由内接三角形之间的特殊关系求三角形各顶点坐标

（5）判定特殊的内接三角形的形状（等腰或直角）或求特殊内接三角形的顶点坐标，等等.

举一反三

2-1、抛物线与x轴的左交点为A，与y轴的交点为B，将△AOB绕着点O逆时针旋转90°后到△A’OB’,且抛物线过点A’、B’.

（1）求A、B两点的坐标；

（2）求抛物线的表达式；

（3）点D在x轴上，若以点B、B’、D为顶点的三角形与△A’BB’相似，求点D的坐标.













点评本题中图形运动、相似三角形等几何内容与二次函数解析式相结合，是一道内容新颖的代数与几何的综合问题．

下面这题将探讨抛物线内接三角形的面积问题．

2-2、已知抛物线与x轴交于A、B两点，其中点A位于点B的左侧，与y轴交于点C，顶点为P.

（1）求A、B、C、P的坐标；

（2）求下列各三角形的面积：（1）△ABC；（2）△POC；（3）△PBC；（4）△PAC。





















小结：已知顶点坐标求三角形面积的一般方法是：

（1）当三角形的两边落在坐标轴上时，可采用直接计算；

（2）当三角形的一边落在坐标轴上时，可以这边为底，以第三个顶点的横坐标或纵坐标的绝对值为高即可；

（3）当三角形的三边都不在坐标轴上时，可通过作坐标轴的垂线，化为情况（1）或（2），先求出直角三角形或直角梯形的面积，再通过“割”或“补”的方法计算出所求三角形的面积.

以下我们来探究以抛物线的顶点为顶点的内接等腰三角形的顶角与判别式的数量关系。

2-3、（1）已知抛物线与x轴相交于A（-1，0）、B（3，0），与y轴相交于C（0，），顶点为P，∠APB=a,求Δ=的值及a的大小；

（2）已知抛物线与x轴相交于A、B两点，顶点为P，∠APB=90°，求Δ=的大小；

（3）已知抛物线与x轴相交于A、B两点，顶点为P，∠APB=60°，求Δ=的大小；

（4）已知抛物线与x轴相交于A、B两点，顶点为P，∠APB=a，用含a的三角比的式子表示Δ=；



















小结：结果显示抛物线的顶点与交x轴的两点组成的等腰三角形的顶角a的大小只与Δ=的值有关。Δ=.

三、抛物线与四边形

例题精讲

例3、已知抛物线与x轴交于点A（-2，0）、B（6，0），与y轴交于点C.

（1）求出此抛物线的表达式，并写出顶点坐标；

（2）在抛物线上有一点D，使四边形ABDC为等腰梯形，写出点D的坐标，并求出直线AD的表达式；

（3）若第（2）小题中的直线AD交抛物线的对称轴于点M，抛物线上有一动点P，x轴上有一动点Q，使四边形AMPQ为平行四边形，求出点Q的坐标.



















小结：由于抛物线是轴对称图形，如果内接四边形也是轴对称图形（如第（2）小题中的等腰梯形），则可以利用两者的一致性---对称性，由四边形的一个顶点求出另一个顶点。在第（3）小题中，求点P的机横坐标时，不要忘了有两解（点M左右各有一点）.

引申：如果将第（3）小题改为“以A、M、P、Q为顶点的四边形为平行四边形”，那么还要考虑点Q在x轴下方的情况。

举一反三

抛物线的顶点、抛物线与x轴的两个交点、与y轴的交点，求这四点构成的内接四边形的面积也是常规的计算问题。

3-1、抛物线的顶点为D，与x轴交于点A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，求四边形ABCD的面积.

















小结：在坐标系中计算多边形的面积，一般采用“分割法”：利用坐标轴或作与坐标轴垂直的直线将该多边形分割成若干个直角三角形或直角梯形，分别求得它们的面积再相加。

下面的两个问题，都涉及特殊四边形的三个顶点在抛物线上。

3-2、已知抛物线的开口向上，顶点在A（-2，0），与y轴交点为B（在y轴正半轴），过点B作BC//x轴交抛特线于点C（在第二象限），作CD//AB交x轴于点D.

（1）求点D的坐标；

（2）试探索：AC与BD能否互相垂直？如果能，请求出以这条抛物线为图像的二次函数的解析式；如不能，请说明理由.



















小结：本题中利用抛物线的对称性求出BC=4和根据顶点在A（-2，0）写出抛物线的表达式，是解题的关键.

3-3、二次函数的图像与x轴的负半轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），一次函数的图像经过点B，与y轴正半轴相交于点C.

（1）求A、B两点的坐标；（用m的代数式表示）

（2）如果平行四边行ABCD的顶点D在上述二次函数的图像上，求m的值.











四、综合问题

函数图像中的几何问题已成为历年中考的热门考题，而二次函数的图像与几何图形的结合更是考查的重点，因此，熟悉这类问题的解题思路是必须具备的能力.

下面的例题是抛物线与平行四边、相似三角形的综合.

例题精讲

例4、在平面直角坐标系中，O为坐标原点.二次函数的图像与x轴交于点A（-1，0），与y轴交于点C，顶点为D，DN⊥x轴于点N，且与直线AB交于点M，点B与点C关于该抛物线的对称轴对称.

（1）求这个二次函数的解析式及点B的坐标.

（2）若点P在直线AB上，PQ⊥x轴，与该抛物线交于点Q，且满足以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标.

（3）若直线AB交y轴于点E，在直线AB上找点F，使△CEF∽△AOM，求点F的坐标.

















小结：本题涉及的几何图形是：内接于抛物线与直线之间的平行四边形和相似三角形。解题的关键是：（1）函数图像上的点的坐标可以表示为P（x,f(x)），即用解析式来代替纵坐标；（2）用垂直于x轴的直线去截函数和图像，则截得的线段长PQ=∣f(x)-g(x)∣(其中x为点P或点Q的横坐标).

举一反三

4-1、已知抛物线.

（1）求证：无论k为何实数值，抛物线与x轴总相交于一定点.

（2）设抛物线与y轴相交于点C，与x轴相交于点A（）、B（）两点，且满足，S△ABC=6，求此抛物线的表达式.

（3）在第（2）小题的条件下，y轴负半轴上是否存在点D，使得以A、C、D为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.















4-2、已知二次函数的图像经过一次函数的图像与x轴的交点A.

（1）求二次函数的解析式及二次函数图像与x轴的另一个交点C的坐标.

（2）设一次函数与二次函数图像的另一个交点为B，二次函数图像与y轴的交点为D，求四边形ABCD的面积.

(3)若平行于y轴的直线1将四边形ABCD的面积分成1：2的两部分，则直线z被四边形ABCD所截得的线段的长是多少?













4-3、如图，在平面直角坐标系中，现将一块等腰三角板ABC放在第二象限（∠ACB=90°，AC=BC），斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（-1，0），抛物线经过点B.

（1）求点B的坐标.

（2）求抛物线的表达式.

（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以

AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由.













内容提炼：

1、二次函数图像中的几何问题是涵盖代数和几何知识的综合问题，其基本框架是：以抛物线上或其他位置上的点为顶点，组成线、角、三角形、四边形等图形，研究它们的位置关系、数量关系、形状关系.

2、与一般几何图形不同的是，坐标平面及函数图像中的几何图形是受坐标特征及函数解析式制约的图形，因而与这些图形相关的点也是受制约的点，这些点的坐标必须满足一定的条件。例如，x轴上的点必须是纵坐标为O，可以设为（x,0）,同样，y轴上的点必须是横坐标为0，可以设（0,y）。更为重要的是，函数y=f(x)图像上的点的坐标（x,y）必须满足函数解析式y=f(x)，反过来，坐标满足函数解析式y=f(x)的点一定在该函数图像上，这是函数解析式与函数图像关系的基本思想。由这一点出发，我们可以把直线y=kx+b上的点直接设为（x,kx+b）,把抛物线上的点直接设为（x,）,等等.

3、线段是几何图形的基本元素，在坐标平面上求线段长度用的是两点距离公式AB=，其中A（x1,y1）、B（x2,y2）是线段AB的两个端点。当AB//x轴时，y1=y2,AB=∣x1-x2∣；当AB//y轴时，x1=x2,AB=∣y1-y2∣，若点A或点B在函数图像上时，y1或y2可以用通过相应的函数解析式表示成横坐标x的代数式，这样根据已知条件就可以建立起关于x的方程.

习题精炼：

1、若抛物线与x轴相交于点A、B，顶点为P，则△PAB是（）

（A）不等边三角形；（B）顶角为锐角的等腰三角形；

（C）顶角为钝角的等腰三角形；（D）等腰直角三角形。

2、抛物线与抛物线的位置关系是（）

（A）关于原点对称；（B）关于x轴对称；

（C）关于y轴对称；（D）关于直线x=1对称。

3、在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和函数（m是常数，且m≠0）









4、若抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，则△ABC的面积等于。

5、若抛物线的对称轴是直线x=2，与x轴交点为A、B，顶点为M，则tan∠MAB=

6、若二次函数的图像与x轴的一个交点坐标为（-5，0），则它与x轴的另一个交点坐标

为。

7、抛物线的顶点为M（2，3），且经过点A（0，-1），若该抛物线上另有点B（m,-1）,则m的值为。

8、若抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且△ABC是等腰直角三角形，则a、c之间的数量关系是。

9、若抛物线的顶点A在x轴上，且抛物线经过B（0，2），△AOB为等腰三角形，则该抛物线的表达式为。

10、已知二次函数图像与x轴交于A、B两点，在x轴上方的抛物线上有一点C，且△ABC的面积为10，求点C的坐标.











#11、已知抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.

（1）求A、B、C各点的坐标（可用含t的代数式表示）；

（2）设△ABC的面积为，求该抛物线的表达式.











12、已知抛物线的顶点坐标为M（1，4），且经过点N（2，3），与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.

（1）求抛物线的表达式及点A、B、C的坐标；

（2）若直线经过C、M两点，且与x轴交于点D，

求证：四边形CDAN是平行四边形.









互动探究：

（1）证明抛物线内接三角形的一个性质：抛物线与x轴交于A、B两点，P为抛物线上一点，且∠APB=90°，求证：(为点P的纵坐标).

（2）已知抛物线与x轴交于A、B两点，直线与抛物线在x轴的上方交于点P。

①求k取值范围；②若∠APB=90°，求k的值.



















































2014/11/30



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