第二章锐角的三角比
三角比的计算
知识要点：
三角比的计算包括已知锐角求三角比，反过来，已知三角比求锐角；尤其是特殊角的三角比，要牢记它们的数值
简单的三角比的计算
1．锐角三角比的概念：Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c．正弦sinA=，余弦cosA=，正切tanA=，余切cotA=．
2．锐角三角比的性质：1①tanA=；
②若∠A+∠B=90°，则cosB=sinA，cotB=tanA；
③若∠A是锐角，则tanA>0，cotA>0，0
例题精讲
例1△中，∠C＝°，AB=3，BC=1.求锐角∠A、∠B的四个三角比.
点评在直角三角形中，只要知道了两边，由勾股定理可求出第三边的长，根据锐角三角比的概念，就可求出每个锐角的四个三角比值．
举一反三
Rt△中，∠C＝°，，求∠A的正切、余切、余弦和∠B的正切、余切、余弦、余弦.
【点评】只要已知一个锐角的某一个三角比，就可以求出这个角的其余的三角比，这个方法叫做“三角形法”
1-2△中，若∠C＝°，,则cosA=,tanA=.
1-3已知∠A是锐角，cosA=0.8，求sinA、tanA的值.
点评已知直角三角形的两条边长求锐角三角比，已知锐角的某个三角比求它的其余三角比，这两类问题都可以用三角形法解决．
二、特殊角的三角比
1．30°、45°、60°的角称为特殊锐角，因为它们的三角比值(共有34=12个)只需要用
1、2、3、、这几个简单数字的组合都可以表示出来：
2．记忆方法：只要画2个特殊的直角三角形，标上角度和相应的边长，再根据三角比的定义，所有这些特殊的锐角三角比值都可以立即写出．如图2—1—1中的图①、②所示．
题精讲
例2△中，∠A、∠B都是锐角.
（1）sinA=sinB=，判断△的形状.
（2）sinA=scosB=，判断△的形状.
（3）cosA=cosB=，判断△的形状.
举一反三
2-1求值：
点评三角比的求值计算，一般都会涉及二次根式运算，计算过程中要注意分母有理化，注意符号的运算．
2-2在△中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，求该三角形的三条边之比.
2-3分别以三角形的三条边为一边作等边三角形，这三个等边三角形的面积之比为1：3：4，求该三角形的三个内角的大小.
点评30°、60°、90°这三个特殊角的三角比值在解直角三角形的问题中是使用率最高的数值，需要牢牢记住．
其它特殊的三角比
除了30°、45°、60°以外，我们还可以求出其他一些度数的锐角三角比的值，如，15°和75°，22．5°和67．5°，18°和72°，36°和54°等，根据余角的三角比关系；sin(90°-a)=cosa，cos(90°-a)=sina，tan(90°-a)=cota，cot(90°-a)=tana，因此由一个角的正(余)弦、正(余)切的值，很容易求出它的余(正)弦、余(正)切的值，所以，在上面的各对角中，只要求出其中一个角的三角比的值就可以得到它的余角的三角比值．
例题精讲
例3△中,∠C＝°，∠BAC＝°，延长CA到D，使AD=AB，利用这个图求出tan15°的值.
举一反三
3-1求sin15°的值.
3-2求tan22.5°值.
3-3如图△中，AB=AC，点D在BC上，DC=AC，且AD=BD.
（1）求的度数；
（2）求证：点D是线段BC的黄金分割点；
（3）利用上体结果求cos36°的值.
四、坐标系中的三角比
1.第一象限点M（x,y）,∠MOx=a是锐角，记OM=r=,则a的三角比为
2．已知点M在第一象限，OM=r，∠MOx=a．若设M的坐标为(x，y)，则x=r·cosa，y=r·sina．即点M的坐标为(r·cosa，r·sina)．
例题精讲
例4已知坐标平面上有点M（8,15），O为原点，∠MOx=a，求∠a的四个三角比的值.
举一反三
4-1已知直线与x轴、y轴分别交于A、B，点O是原点，求tan∠BAO的值.
4-2已知直线y=2x+6与x轴交于A，与y轴交于B，点C的坐标为（-2,7），求sin∠BAC的值.
点评∠ABC是否为直角必须经过勾股定理的逆定理(注意：不是勾股定理)加以验证，如果△ABC不是直角三角形，那∠还要再添垂线段进行计算．
再看一道坐标平面上利用三角比求点的坐标的问题．
4-3已知等边三角形OAB的顶点O是坐标原点，顶点B的坐标是（-3，0），求顶点A的坐标.
内容提要
1．有一个锐角相等的所有直角三角形都是相似三角形，所以在直角三角形中，如果一个锐角的大小不变，那∠它的任何两条边的比值都是常量．因此，直角三角形两条边的比值可以看作是它的某一个锐角的三角函数，在初中阶段，我们把它叫做锐角三角比．如：
tana，正切——对边比邻边；cota，余切——邻边比对边；
sina，正弦——对边比斜边；cosa，余弦——邻边比斜边．
其中正切和余切是互为倒数的关系，也就是
tana·cota=1——同角三角比关系式
2．因为一个直角三角形有两个锐角，它们是互余的关系，其中一个锐角的对边是另一个锐角的邻边，所以
—余角三角比关系式
3．一个锐角确定，它的三角比的值也就确定了，对于30°、45°、60°这三个特殊锐角，它们的三角比数值最简单，解题中用得也最多，必须牢记这些三角比的值并能熟练运用．我们还可以用几何方法求出其他一些特殊锐角的三角比，例如15°、18°、36°以及它们的余角三角比等，这些角的三角比计算只是作为练习，不需要记住这些三角比的数值．
4．已知一个锐角的某三角比的值，可以求这个锐角的大小(如果不是特殊角，可以查表或用计算器求解)，因此这个角的其他三角比也可以求得．事实上，已知一个锐角的某三角比的值，相当于已知一个直角三角形两条边的比，因此可以通过勾股定理求得与第三条边的比．
习题精炼
1.已知Rt△中，∠C＝°，AC=2，BC=3，下列各式中，正确的是（）
A．；B．；C．；D．．
2.在Rt△中，∠ACB＝°，CD是高，以下线段的比与∠A的余切不相等的是（）
A．；B．；C．；D．
3.如图，把一把含30°的三角板的直角顶点C朝下直立于桌面，锐角顶点A、B离桌面的距离分别是AE、BF，当∠BCF＝°时，BF:AE的值等于（）
A．；B．；C．；D．
4.计算：.
5．计算:.
6.在坐标平面内，O为原点，A（2,4），如果OA与x轴正半轴的夹角为a，那∠cosa=.
7.正方形ABCD中，∠ABD的余弦值等于.
8.Rt△中，∠ACB＝°，若BC=4，，则AB=.
9.矩形ABCD中，若AC=2AD，对角线AC与BD的夹角为a，则sina=.
10.计算：.
11.如图，已知Rt△中，∠ACB＝°，CD是边AB上的中线，AC=6，CD=4.5，求cos∠ACD的值.
12.如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC＝°，翻折梯形ABCD，是点B重合于点D，折痕分别交AB、BC于点F、E，已知AD=2，BC=8.
（1）求BE的长；
（2）求∠CDE的正切的值.
互动探究
如图，△中，∠BAC＝°，AB=AC，BD是角平分线，求证：点D是AC的黄金分割点.
利用第（1）小题的结果计算sin18°的值.
基本模板
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