第三节解直角三角形的应用
知识要点
三角比的知识是人们在生活和生产中从事大量的测量实践活动而积累起来的，它有着
广泛的应用，我们可以从高度测量、距离测量和斜坡测量等几个方面进行阐述．
一、视角与高度的测量问题
仰角与俯角——在测量高度时，视线与水平线的夹角；当视线在水平线上方时称为仰角，当视线在水平线下方时称为俯角．
例题精解
已知仰角(或俯角)以及测量点与建筑物(或地面目标)的距离，即可求出建筑物(或测量点)的高．
例1(1)某中学升国旗时，一名学生站在离旗杆底部18米处行注目礼，当国旗升到旗
杆顶端时，该学生视线的仰角为30°，若他的双眼离地面1．3米，求旗杆的高度．(参考数据：≈1．732，结果精确到0．1米)
(2)从飞机舷窗看地面指挥塔台的俯角为40°，飞机高度为800米，求飞机到指挥塔台
的距离．(参考数据：sin40°=0．6428，结果精确到1米．指挥塔台看作一点，其高度忽略不计)
点评测高度时，不要忘了加上测量点与地面的距离(一般就是测角仪的高)．
举一反三
1—1如图2—2—3，为了测量塔高AB，选择与塔底B在同一水平面内，且在同一条直线上的C、D两点，用测角仪分别测得塔尖A的仰角为45°和30°．已知测角仪高度CE=DF=1．5米，CD=100米．求塔高AB．(参考数据：≈1．732；结果精确到1米)
点评本题也可以解读为“已知三角形两角夹边，求该边上的高”(注：其中一个角为锐角a，另一个角为钝角180°-．
在同一垂直平面内，由空中沿着一条水平直线上的两个测量点分别测得地面上某一目标的俯角以及两个测量点之间的距离，可以求出测量点的高度．这个问题的背景，相当于将
题1—1中的图形上下翻折．
1—2如图2—3—5，一架小型飞机沿水平方向匀速飞行，速度为150米／秒，在P处测得正前方地面目标K的俯角为a=15°，飞行32秒后到达Q处，测得K的俯角为=30°．
(1)飞机离地面的高度是多少米?
(2)从Q处算起，几秒钟后飞机可飞抵目标K的上空?
(参考数据：≈I．414，≈1．732；结果精确到0．1秒)
点评如果本题只要求第(2)小题，那∠飞机速度也不必知道，可改为“由P测得点K俯角a=15°，32秒后到达Q处，测得点K俯角=30°，问再过几秒钟可飞抵K的上空”．
下面的问题是利用一个气球来测量山高，是测量问题中的综合题．
1—3如图2—3—6，在小山的东侧A庄，有一热气球，由于受西风的影响，以每分钟3．5米的速度沿着与水平方向成75°角的方向飞行，40分钟时到达C处，此时气球上的人发现气球与山顶点P及小山西侧的B庄在一条直线上，同时测得B庄的俯角为30°．又在A庄测得山顶P的仰角为45°．求A庄与B庄的直线距离及山高．(结果保留根号)
点评在△PAC中，据分析得AC=140(米)，∠PAC=60°，∠PCA=45°，是“已知两角一边解三角形”的问题，可通过作高PD求出AP的长度，再在△PAB中，作高PE得到两个分别含45°和30°特殊角的直角三角形，直接用三角比的定义先后求出PE、AE、BE，得山高PE和AB=AE+BE．整个解题过程如层层蜕壳、步步探幽，细思颇有韵味．
二、方位角与距离的测量问题
方位角——为了说明地面上A、B两地之间的相对位置，在点A画出正北方向AN，联结BA，设∠NAB=n°．若点B在AN东侧，则称B在A的北偏东n°；若点B在AN西侧，则称B在A的北偏西n°．如图2—3—8，B在A的北偏东60°，C在A的南偏东30°．
在地平面上的测量问题中，首先确定正北方向为起始方向，由此计算图形中角的大小．
例2如图2—3—9，公路L与正北方向之间的夹角是60°，甲乙两校分别位于公路边的A、B两处，在甲校的正东方向3千米的C处有一雕像，乙校在该雕像的北偏东a的方向上．已知tana=，求甲乙两校的距离．(结果保留根号)
举一反三
航海问题是传统的三角测量题，可以说，近代的三角学正是航海测量孕育出来的一门学问，在航海问题中，角的大小毫无例外都是通过航向的方位角来获得
2—1一艘渔船从港口A向正东航行，途经小岛B后仍沿原来航向前进，到达C处时观察灯塔D在渔船的北偏西45°方向．已知AD=14海里，AB=6海里，BD=10海里．C处渔船与灯塔D相距多少海里?(参考数据：≈1．41，≈1．73，≈2．24，≈2．65；
结果精确到l海里)
点评原题并没有给出图形，需解题者按题意画出图形．画图时遵照“上北下南左西右东”的规定，在图上标出正北的方向，标出已知角和已知距离的数值，便于对条件进行分析．
2—2如图2—3—12，一段笔直的公路AB长1000米，在公路的一侧有一观测点P，已知∠PAB=45°，∠PBA=30°．求点P与公路AB的距离．
2—3如图2—3—13，为了测量河宽，在河的一边沿岸选取A、B两点，对岸岸边有一块
石头C．在△ABC中，测得∠A=60°，∠B=45°，AB=60米．
(1)求河宽；
(2)如果对岸岸边有一棵大树D，CD∥AB，并测得∠DAB=45°，求C、D两点之间
的距离．(结果保留根号)
三、斜坡问题
坡角和坡度——在斜坡问题中，斜面与水平面的夹角叫做坡角，记作a，如图2-3-16：所示；坡面的铅直高度h和水平宽度l之间的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i，坡度常写成1:m的形式，即i==1：m．显然，坡角a和坡度i存在着如下的关系：i==tana．
堤坝的横断面是梯形，该梯形的两腰就是两个坡面，所以堤坝经常作为坡角和坡度计算的实际背景．
例3如图2—3—17，有一段防洪大堤，其横断面为梯形ABCD，AB∥CD，斜坡AD的坡度i1=1：1．2，斜坡BC的坡度i2=1：0．8，大堤顶宽DC为6米．为了增强抗洪能力，现将大堤加宽加高形成横断面为梯形ABFE(其中EF∥AB，点E、F分别在AD、BC的延长线上)的新大堤．当顶宽EF为3．8米时，大堤加高了几米?
举一反三
3一1某市为增强抗洪能力，准备加固一条长90米，高5米，坝顶宽4米，且迎水坡和背水坡的坡度都是1：1的横断面是梯形的防洪大坝，横断面如图2—3—19所示．要将大坝
加高1米，背水坡坡度改为1：1．5，若坝顶宽不变，则需要多少土方?(土方工程中，一土方即为1立方米)
3—2如图2—3—21，一水渠的横断面是等腰梯形，已知其迎水斜坡AD和BC的坡度都为1：0．6，现测得放水前的水面宽EF为1．2米，当水闸放水后，水渠内水面宽GH为2．1
米．求放水后水面上升的高度．
有些机器零件的设计图纸中也有梯形，同样可作为计算坡角和坡度的实际背景．
3—3某机床零件的截面如图2—3—23所示，燕尾槽ABCD的斜边AB、CD的坡度
都是1：0．75．已知该零件的横截面面积是20400平方毫米，求槽深AH．
点评(1)注意“坡角”与“坡度”的区别：坡角a是斜面与水平面的夹角，单位是“度”；
而坡度i是一个比值，它没有单位，它的大小等于坡角的正切值，i=tana，它是衡量斜坡倾
斜程度的量，i越大，斜坡越陡．(2)坡度i的表示法：一般写作i=1：m的形式．例如对于a=30°，则i=1：，而不是写成i=．
四、其它问题
例4如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160米．假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪声的影响，那拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？如果不受影响，请说明理由；如果受影响，已知拖拉机的速度为18千米／时，那受影响的时间为多长？
A和直线MN的两个交点分别为C、D，从而将问题转化为弦长问题．
举一反三
下面是一道台风移动路径的实际问题．
4—1A市气象台测得台风中心在A市正东方向300千米的B处，台风正以10千米／时的速度向北偏西60°的BF方向移动，已知距台风中心200千米的范围是受台风严重影响的地区．
(1)A市是否将受到这次台风严重影响?为什么？
(2)如A市受到这次台风严重影响，求A市受严重影响的时间．(参考数据：≈1．732，≈2．236，,≈2．646；结果精确到1分钟)
4-1,A市气象站测得台风中心在A市正东方向300千米的B处，以10千米/时的速度向北偏西60°的BF方向移动，距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域.
（1）A市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；
（2）如果A市受这次台风影响，那受台风影响的时间有多长？
4—2某学校为了学生的安全，计划将楼梯的坡角由45°改为30°(即图2—3—26中=45°，=30°)，这样，铺设的材料将增加百分之几?(参考数据：≈1．732；结果精确到1％)
点评解决本题的关键是“化零为整”，即把一块块竖直的楼梯板拼成高度AC，把一块块水平的楼梯板拼成水平宽度BC，问题就简单明确了．
下面是一道以抗震救灾为背景的实际问题．
4—3如图2—3—27，汶川地震后，某处废墟堆成的斜坡AM的坡度为1：1，生命探测仪显示P处有生命迹象，估计点P距离斜坡上的B、C两点的距离均为5米．已知水平线
AN、直线AM与点P都在同一垂直平面上，且AB=3米，BC=6米，过点P作PQ上AN，，垂足为Q，试确定AQ和PQ的长度°
点评本题是以抗震救灾为背景的一道定位问题，即寻找生命迹象所在的点P的位置在何处．结论可以变式为(在原题设的背景下)“以点A为原点O，AN方向为X轴的正方向建立坐标系，求点P的坐标”．
内容提炼
1．数学来源于人类生产和生活的实践，土地面积的测量、建筑物高度和距离的测量、航海中船舶定位的测量……在数千年测量实践活动的基础上，形成了数学中实践性最强的一个分支——三角学．在中国古代的数学典籍中就积累了大量有关测量的问题，如《海岛算经》．
2．在解直角三角形应用中与角有关的专有名词有：
①仰角和俯角——从下往上看，视线与水平线的夹角为仰角；从上往下看，视线与水平
线的夹角为俯角．
②坡角——是斜坡与水平面的夹角，坡角的正切值等于坡度．
③方位角——说明地面上两地A、B之间的相对位置的角．常见描述有北偏东、北偏
西、南偏东、南偏西四种情况．
3．高度的测量是解直角三角形应用中一类典型的问题，它分为“底部可以到达”和“底
部不可到达”两种情况．
①对于“底部可以到达”这种情况(图2—3—29)，直接测出仰角口和到底部的距离a，建筑物高度DE—h+a·tan口．(其中h为测角仪的高度)
②对于“底部不可到达”又分为两个测点A、B在建筑物DE的同侧和异侧这两种情况．设从A、B测得顶部D的仰角分别为口、卢，A、B之间的距离为a，当A、B在DE的同侧时，如
习题精炼
1．如果在点A处观察点B的仰角为a，那∠在点B处观察点A的()
(A)俯角为a；(B)俯角为(90°-a)；(C)仰角为a；(D)仰角为(90°-a)．
2．如图，在山坡上种树，若∠A=30°，AC=3米，则相邻两株树的坡面距离AB是()
(A)6米；(B)米；(C)2米；(D)2米．
3．电视塔高为100米，如果某人在地面上点A处，测得电视塔尖的仰角为30°，沿水平方向向塔底前进到达点B处，又测得塔尖的仰角为60°，那么点A、B相距()
(A；(B)；(c)米；(D)()米．
4．某飞机在离地面1200米的上空测得地面控制点的俯角为60°，此时飞机与地面控制点的距离是米．
5．离旗杆20米处用测角仪测得旗杆顶的仰角是口，如果测角仪高为1．5米，那么旗杆高米．(用含a的三角比表示)
6．某山路的路面坡度i=1：，某人沿此山路向上前进200米，他升高了米．
7．如图，自动扶梯AB段的长度为20米，倾斜角A为a，高度BC为米．(结果用
含a的三角比表示)
8．如图，牵引电杆AD的两根缆绳AB、AC与地面的夹角分别为∠B=60°，∠C=45°
若AB=12米，则AC=米．
9．雷雨时，小明看见一个闪电的仰角为60°，6．25秒钟以后听到该闪电发出的雷声，该闪电离开地面的高度约为米．(已知声音在空气中传播的速度约为320米／秒，结果保留根号)
10．一段大堤截面为梯形ABCD，AB∥DC，斜坡AD的坡度i1=1：1．2，斜坡BC的坡度i2=1：0．8，大堤顶宽DC为6米，高为5米．求下底AB的宽．
11．如图，某地震救援队探测出一建筑物废墟下方点C处有生命迹象，已知废墟一侧地面上两探测点A、B相距3米，探测线与地面的夹角分别是a=30°，=45°，求点C的深度．(参考数据：石≈1．73；结果精确到0．1米)
12．如图，某船沿正北方向匀速航行，在A处测得灯塔C在北偏西30°，航行2小时到达B处，此时测得灯塔C在北偏西75°．当此船到达灯塔正东方D处时还需要航行多少时间?(参考数据：≈1．732；结果精确到1分钟)
互动探究
我们知道，每年冬至(12月22日前后)这天正午时刻太阳光线直射南回归线，北半球的
太阳光线最低(即与地平面夹角最小)．图①中，A、B在同一条经线上，B为南回归线上某一点，正午时A地太阳光线与天顶方向(即铅垂线朝上的方向)的夹角等于圆心角∠AOB，而∠AOB的大小等于两地的纬度之差．举例来说，冬至这天，太阳光线直射南回归线(南纬
23°27,)．上海在北纬31°15,．两者相差54°42,，因此冬至这天正午在上海的阳光与地平线的夹角是：90°一54°42’=35°18’．
问题：小张家居住的甲楼AB面向正南，现计划在他家居住的楼前修建一座乙楼CD(图②)．乙楼高度为18米．已知冬至这天，光线与地平面的夹角为35°18’
(1)如果乙楼的影子不影响甲楼，那∠甲乙两楼之间的距离至少是多少米?(结果精确
到0°01米)
(2)如果甲乙两楼的实际距离为18米(图③)，那∠甲楼的居民至少住在几楼，冬至这天才能晒到阳光?(假设每楼层高3米)
2014/12/2
第10页共10页84-96
|
|
