2015年重庆市中考数学黄金预测卷（一）
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）
1．（4分）（2015?重庆模拟）在0，﹣2.5，2，﹣3这四个数中，最小的数是（）
A．2B．﹣3C．﹣2.5D．0
2．（4分）（2015?重庆模拟）下列计算正确的是（）
A．a3?a2=a6B．x2+x2=x4
C．（﹣2a2b）3=﹣6a6b3D．2﹣2=
3．（4分）（2015?重庆模拟）计算﹣=（）
A．6B．C．2D．
4．（4分）（2013?本溪）如图，直线AB∥CD，直线EF与AB，CD分别交于点E，F，EC⊥EF，
垂足为E，若∠1=60°，则∠2的度数为（）
A．15°B．30°C．45°D．60°
5．（4分）（2013?衡阳）如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠AOC等于（）
A．50°B．80°C．90°D．100°
6．（4分）（2012?大连）甲、乙两班分别有10名选手参加学校健美操比赛，两班参赛选手
身高的方差分别是=1.5，=2.5，则下列说法正确的是（）
A．甲班选手比乙班选手身高整齐
B．乙班选手比甲班选手身高整齐
C．甲、乙两班选手身高一样整齐
D．无法确定哪班选手身高更整齐
7．（4分）（2015?重庆模拟）若△ABC∽△DEF，相似比为1：2，且△ABC的面积为2，则
△DEF的面积为（）
A．16B．8C．4D．2
8．（4分）（2013?益阳）分式方程的解是（）
A．x=3B．x=﹣3C．x=D．x=
9．（4分）（2015?重庆模拟）已知正比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点（2，1），则k的
值为（）
A．2B．﹣2C．D．﹣
10．（4分）（2015?重庆模拟）下列图形都是由同样大小的圆按一定的规律组成，其中，第
（1）个图形中一共有2个圆；第（2）个图形中一共有7个圆；第（3）个图形中一共有16
个圆；第（4）个图形中一共有29个圆，…，则第（8）个图形中圆的个数为（）
A．121B．113C．92D．191
11．（4分）（2015?重庆模拟）清明节假期的某天，小米骑车从家出发前往革命烈士陵园扫
墓，行驶一段时间后，因车子出现问题，途中耽搁了一段时间，车子修好后，加速前行，到
达烈士陵园扫完墓后匀速骑车回家．其中x表示小米从家出发后的时间，y表示小米离家的
距离，下面能反映y与x的函数关系的大致图象是（）
A．
B．
C．
D．
12．（4分）（2015?重庆模拟）已知如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点A，
B在第一象限，AB∥x轴，∠B=90°，AB+OC=OA，OD平分∠AOC交BC于点D．若四边
形ABDO的面积为4，反比例函数y=的图象经过点D，点A，则k的值是（）
A．8B．6C．3D．4
二、填空题：（本题共6小题，每小题4分，共24分）
13．（4分）（2015?重庆模拟）计算：实数﹣3的相反数是．
14．（4分）（2015?重庆模拟）函数y=中自变量的取值范围．
15．（4分）（2015?重庆模拟）某小区20户家庭的日用电量（单位：千瓦时）统计如下：
日用电量（单位：千瓦时）4567810
户数136541
这20户家庭日用电量的众数、中位数分别是．
16．（4分）（2013?重庆）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以AB为直径的半圆与对
角线AC交于点E，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）
17．（4分）（2015?重庆模拟）在﹣2、﹣1、0、1、2、3这六个数中，随机取出一个数，记
为a，那么使关于x的方程（a+2）x2+2ax+1=0有解，且不等式组无解的概率
为．
18．（4分）（2015?重庆模拟）如图，正方形ABCD的边长为3，延长CB到点M，使BM=1，
连接AM，过点B作BN⊥AM，垂足为N，O是对角线AC、BD的交点，连接ON，则ON
的长为．
三、解答题：（本大题共2个小题，每小题7分，共14分）
19．（7分）（2015?重庆模拟）解方程：（1﹣）=﹣x+1．
20．（7分）（2015?重庆模拟）先化简，再求值：，其中
x是不等式组的整数解．
四、解答题：（本大题共个4小题，每小题10分，共40分）
21．（10分）（2015?重庆模拟）如图，河流的两岸MN、PQ互相平行，河岸PQ上有一排间
隔为50m的电线杆C、D、E…某人在河岸MN的A处测得∠DAN=38°，然后沿河岸走了120
米到达B处，测得∠CBN=70°．求河流的宽度CF（结果精确到0.1，参考数据sin38°≈0.62，
cos38°≈0.79，tan38°≈0.78，Sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）．
22．（10分）（2015?安顺）某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目：A．篮
球B．乒乓球C．羽毛球D．足球，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部
分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有人；
（2）请你将条形统计图（2）补充完整；
（3）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中
任选两名参加乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）
23．（10分）（2015?重庆模拟）今年年初以来，受H7N9禽流感影响，家禽销量大幅下滑．为
维护家禽养殖户的利益，政府部门出台了一项补贴政策：自4月1日起，按销量向家禽养殖
户每千克补偿2元．3月份，“嘉祥”养鸡场售出了3000千克鸡；4月补贴政策出台后，“嘉
祥”养鸡场按3月份的每千克售价打八折加紧促销，仍然比3月份少销售了500千克鸡，加
上政府补贴，3、4月份共获销售收入80000元．
（1）“嘉祥”养鸡场3月份出售的鸡的售价是每千克多少元？
（2）去年5月“嘉祥”养鸡场销售收入为52000元，今年5月以来，家禽销售形势更严峻，
政府进一步出台补贴政策：除现有的政府补贴外，根据家禽养殖户的规模，每月每户再一次
性给予一定数量的政府补贴．这样，按4月的方式销售的同时，“嘉祥”养鸡场每月还可获得
5000元补贴，则5月份至少要销售多少千克鸡，才能使5月份总收入不低于去年5月收入
的一半？
24．（10分）（2013?黔西南州）阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+=
（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b=（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b=m2+2n2+2mn．
∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b=，用含m、n的式子分别表
示a、b，得：a=，b=；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：+=
（+）2；
（3）若a+4=，且a、m、n均为正整数，求a的值？
五、解答题：（本大题共2个小题，每小题12分，共24分）
25．（12分）（2015?重庆模拟）如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、AB上两点，
且BE=BF，过点B作AE的垂线交AC于点G，过点G作CF的垂线交BC于点H延长线
段AE、GH交于点M．
（1）求证：∠BFC=∠BEA；
（2）求证：AM=BG+GM．
26．（12分）（2012?河南）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1与抛物线y=ax2+bx﹣
3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上一
动点（不与A、B点重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．
（1）求a、b及sin∠ACP的值；
（2）设点P的横坐标为m；
①用含有m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；
②连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形
的面积之比为9：10？若存在，直接写出m的值；若不存在，说明理由．
2015年重庆市中考数学黄金预测卷（一）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）
1．（4分）（2015?重庆模拟）在0，﹣2.5，2，﹣3这四个数中，最小的数是（）
A．2B．﹣3C．﹣2.5D．0
考点：有理数大小比较．菁优网版权所有
分析：有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；
④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
解答：解：根据有理数大小比较的方法，可得
﹣3＜﹣2.5＜0＜2，
所以最小的数是﹣3．
故选：B．
点评：此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握．
2．（4分）（2015?重庆模拟）下列计算正确的是（）
A．a3?a2=a6B．x2+x2=x4
C．（﹣2a2b）3=﹣6a6b3D．2﹣2=
考点：幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法；负整数指数幂．菁优网版权所有
分析：根据同类项、积的乘方、负整数指数幂和同底数幂的乘法计算判断即可．
解答：解：A、a3?a2=a5，错误；
B、x2+x2=2x2，错误；
C、（﹣2a2b）3=﹣8a6b3，错误；
D、，正确；
故选D．
点评：此题考查同类项、积的乘方、负整数指数幂和同底数幂的乘法，关键是熟练掌握公式
及法则进行计算．
3．（4分）（2015?重庆模拟）计算﹣=（）
A．6B．C．2D．
考点：二次根式的加减法．菁优网版权所有
分析：先把化简，再进行减法计算，即可解答．
解答：解：，
故选：D．
点评：本题考查了二次根式的化简，解决本题的关键是把化简．
4．（4分）（2013?本溪）如图，直线AB∥CD，直线EF与AB，CD分别交于点E，F，EC⊥EF，
垂足为E，若∠1=60°，则∠2的度数为（）
A．15°B．30°C．45°D．60°
考点：平行线的性质．菁优网版权所有
分析：根据对顶角相等求出∠3，再根据两直线平行，同旁内角互补解答．
解答：解：如图，∠3=∠1=60°（对顶角相等），
∵AB∥CD，EG⊥EF，
∴∠3+90°+∠2=180°，
即60°+90°+∠2=180°，
解得∠2=30°．
故选B．
点评：本题考查了两直线平行，同旁内角互补的性质，对顶角相等的性质，以及垂直的定义，
是基础题．
5．（4分）（2013?衡阳）如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠AOC等于（）
A．50°B．80°C．90°D．100°
考点：圆周角定理．菁优网版权所有
分析：因为同弧所对圆心角是圆周角的2倍，即∠AOC=2∠ABC=100°．
解答：解：∵∠ABC=50°，
∴∠AOC=2∠ABC=100°．
故选D．
点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这
条弧所对的圆心角的一半．
6．（4分）（2012?大连）甲、乙两班分别有10名选手参加学校健美操比赛，两班参赛选手
身高的方差分别是=1.5，=2.5，则下列说法正确的是（）
A．甲班选手比乙班选手身高整齐
B．乙班选手比甲班选手身高整齐
C．甲、乙两班选手身高一样整齐
D．无法确定哪班选手身高更整齐
考点：方差．菁优网版权所有
分析：根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表
明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
解答：解：∵=1.5，=2.5
∴＜=2.5
则甲班选手比乙班选手身高更整齐．
故选A．
点评：本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组
数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据
分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
7．（4分）（2015?重庆模拟）若△ABC∽△DEF，相似比为1：2，且△ABC的面积为2，则
△DEF的面积为（）
A．16B．8C．4D．2
考点：相似三角形的性质．菁优网版权所有
专题：计算题．
分析：根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方进行计算．
解答：
解：根据题意得=（）2，
所以S△DEF=4×2=8．
故选B．
点评：本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三
角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角
平分线、对应边上的高）的比也等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平
方．
8．（4分）（2013?益阳）分式方程的解是（）
A．x=3B．x=﹣3C．x=D．x=
考点：解分式方程．菁优网版权所有
专题：计算题．
分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分
式方程的解．
解答：解：去分母得：5x=3x﹣6，
解得：x=﹣3，
经检验x=﹣3是分式方程的解．
故选B．
点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整
式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
9．（4分）（2015?重庆模拟）已知正比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点（2，1），则k的
值为（）
A．2B．﹣2C．D．﹣
考点：一次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
专题：计算题．
分析：直接把（2，1）代入y=kx可求出k的值．
解答：解：把（2，1）代入y=kx得2k=1，解得k=．
故选C．
点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数）
的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．直
线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．
10．（4分）（2015?重庆模拟）下列图形都是由同样大小的圆按一定的规律组成，其中，第
（1）个图形中一共有2个圆；第（2）个图形中一共有7个圆；第（3）个图形中一共有16
个圆；第（4）个图形中一共有29个圆，…，则第（8）个图形中圆的个数为（）
A．121B．113C．92D．191
考点：规律型：图形的变化类．菁优网版权所有
专题：压轴题；规律型．
分析：第（1）个图形中最下面有1个圆，上面有一个圆；第（2）个图形中最下面有2个圆，
上面有1+3+1个圆；第（3）个图形中最下面有3个圆，上面有1+3+5+3+1个圆，那
么可得第（8）个图形最下面有8个圆，上面有1+3+5+7+9+11+13+15+13+11+9+7+5+3+1
个圆，相加即可．
解答：解：第（1）个图形中最下面有1个圆，上面有1个圆共有2个；
第（2）个图形中最下面有2个圆，上面有1+3+1个圆共有7个；
第（3）个图形中最下面有3个圆，上面有1+3+5+3+1个圆共有16个；
…
第（n）个图形中共有（2n2﹣n+1）个圆；
第（8）个图形中共有2×82﹣8+1=121，
故选A．
点评：考查图形的变换规律；根据图形的排列规律得到最下面圆的个数与图形的序号相同，
上面圆的个数与n个连续奇数的和相关是解决本题的关键．
11．（4分）（2015?重庆模拟）清明节假期的某天，小米骑车从家出发前往革命烈士陵园扫
墓，行驶一段时间后，因车子出现问题，途中耽搁了一段时间，车子修好后，加速前行，到
达烈士陵园扫完墓后匀速骑车回家．其中x表示小米从家出发后的时间，y表示小米离家的
距离，下面能反映y与x的函数关系的大致图象是（）
A．
B．
C．
D．
考点：函数的图象．菁优网版权所有
分析：一开始是匀速行进，随着时间的增多，离家的距离也将由0匀速增加，停下来修车，
距离不发生变化，后来加快了车速，距离又匀速增加，扫墓时，时间增加，路程不变，
扫完墓后匀速骑车回家，离家的距离逐渐减少，由此即可求出答案．
解答：解：因为开始以正常速度匀速行驶﹣﹣﹣停下修车﹣﹣﹣加快速度匀驶﹣﹣﹣扫墓﹣
﹣匀速骑车回家，故离家的距离先增加，再不变，后增加，再不变，最后减少．
故选D．
点评：此题考查了学生从图象中读取信息的能力．解决此类识图题，同学们要注意分析其中
的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．
12．（4分）（2015?重庆模拟）已知如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点A，
B在第一象限，AB∥x轴，∠B=90°，AB+OC=OA，OD平分∠AOC交BC于点D．若四边
形ABDO的面积为4，反比例函数y=的图象经过点D，点A，则k的值是（）
A．8B．6C．3D．4
考点：反比例函数综合题．菁优网版权所有
分析：首先根据角平分线的性质得出DE=DC，进而利用HL定理得出Rt△ODE≌Rt△ODC
以及Rt△ADE≌Rt△ADB，求出A，D点坐标关系，进而得出k的值．
解答：解：过点D作DE⊥AO于点E，连接AD，
∵梯形ABCD的顶点A，B在第一象限，AB∥x轴，∠B=90°，
∴∠OCB=90°，
∵OD平分∠AOC交BC于点D，
∴DE=DC，
在Rt△ODE和Rt△ODC中，
，
∴Rt△ODE≌Rt△ODC（HL），
∴EO=CO，
又∵AB+OC=OA，
∴AE=AB，
在Rt△ADE和Rt△ADB中
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADB（HL），
∴BD=ED，
∴BD=CD=ED，
∵反比例函数y=的图象过点D，点A，
∴设D点坐标为（a，b），则B（a，2b），
∴A（，2b），
即AB=AE=，CO=OE=a，
∵DE=b，则BD=b，
∴S四边形ABDO=S△ADO+S△ABD=b（a+a）+b×a=b×2a=ab=4，
∵D（a，b），
∴ab=k=4．
故选D．
点评：主要考查了全等三角形的判定性质以及反比例函数图象上点的坐标性质和角平分线
的性质等知识，根据题意得出A，D点坐标是解题关键．
二、填空题：（本题共6小题，每小题4分，共24分）
13．（4分）（2015?重庆模拟）计算：实数﹣3的相反数是3．
考点：实数的性质．菁优网版权所有
分析：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，据此解答即可．
解答：解：实数﹣3的相反数是﹣（﹣3）=3．
故答案为：3．
点评：此题主要考查了相反数的含义以及求法，要熟练掌握．
14．（4分）（2015?重庆模拟）函数y=中自变量的取值范围x≥2且x≠6．
考点：函数自变量的取值范围．菁优网版权所有
分析：根据二次根式有意义的条件和分母不为0，列出不等式，即可解答．
解答：解：根据题意得，x﹣2≥0且x﹣6≠0，解得x≥2，且x≠6，
所以自变量x的取值范围是x≥2且x≠6．
故答案为：x≥2且x≠6．
点评：本题考查了函数自变量的取值范围：使函数关系式成立，若函数关系中有分母则分母
不为0，若含二次根式，则二次根式中被开方数为非负数，然后建立不等式组，求出
不等式的解集得到自变量的取值范围．
15．（4分）（2015?重庆模拟）某小区20户家庭的日用电量（单位：千瓦时）统计如下：
日用电量（单位：千瓦时）4567810
户数136541
这20户家庭日用电量的众数、中位数分别是6，6.5．
考点：众数；中位数．菁优网版权所有
分析：根据众数和中位数的定义求解即可，众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处
于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数
据的平均数就是这组数据的中位数．
解答：解：这20户家庭日用电量的众数是6，
中位数是（6+7）÷2=6.5，
故答案为：6，6.5．
点评：本题考查了众数和中位数的定义，解题的关键是牢记定义，此题比较简单，易于掌握．
16．（4分）（2013?重庆）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以AB为直径的半圆与对
角线AC交于点E，则图中阴影部分的面积为10﹣π．（结果保留π）
考点：扇形面积的计算；正方形的性质．菁优网版权所有
分析：设AB的中点是O，连接OE．求得弓形AE的面积，△ADC的面积与弓形AE的面
积的差就是阴影部分的面积．
解答：解：设AB的中点是O，连接OE．
S△ADC=AD?CD=×4×4=8，
S扇形OAE=π×22=π，
S△AOE=×2×2=2，
则S弓形AE=π﹣2，
∴阴影部分的面积为8﹣（π﹣2）=10﹣π．
故答案是：10﹣π．
点评：本题考查了图形的面积的计算，不规则图形的面积可以转化为规则图形的面积的和或
差计算．
17．（4分）（2015?重庆模拟）在﹣2、﹣1、0、1、2、3这六个数中，随机取出一个数，记
为a，那么使关于x的方程（a+2）x2+2ax+1=0有解，且不等式组无解的概率为
．
考点：概率公式；根的判别式；解一元一次不等式组．菁优网版权所有
分析：首先求出使关于x的方程（a+2）x2+2ax+1=0有解的a的范围，再求出不等式组
无解的范围，进而得到同时满足这两个条件的a的取值范围，然后利用概
率公式求解即可．
解答：解：关于x的方程（a+2）x2+2ax+1=0有解时，
a+2=0或a+2≠0，且△=4a2﹣4（a+2）≥0，
解得a≤﹣1，或a≥2，
∵不等式组无解，
∴1﹣2a≥a﹣2，
∴a≤1．
由题意得a≤﹣1，
∴a=﹣2，﹣1，
∴使关于x的方程（a+2）x2+2ax+1=0有解，且不等式组无解的概率为=．
故答案为．
点评：此题考查了概率公式的应用、根的判别式以及解一元一次不等式组．用到的知识点为：
概率=所求情况数与总情况数之比．
18．（4分）（2015?重庆模拟）如图，正方形ABCD的边长为3，延长CB到点M，使BM=1，
连接AM，过点B作BN⊥AM，垂足为N，O是对角线AC、BD的交点，连接ON，则ON
的长为．
考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质．菁优网版权所有
分析：由条件可证得△ABN∽△BNM∽△ABM，且可求得AM=，利用对应线段的比相
等可求得AN和MN，进一步可得到，且∠CAM=∠NAO，可证得
△AON∽△AMC，利用相似三角形的性质可求得ON．
解答：解：∵AB=3，BM=1，
∴AM=，
∵∠ABM=90°，BN⊥AM，
∴△ABN∽△BNM∽△AMB，
∴AB2=AN×AM，BM2=MN×AM，
∴AN=，MN=，
∵AB=3，CD=3，
∴AC=，
∴AO=，
∵，，
∴，且∠CAM=∠NAO
∴△AON∽△AMC，
∴，
∴ON=．
故答案为：．
点评：本题主要考查三角形相似的判定和性质，由相似得到线段的比相等再证明相似是本题
的关键．
三、解答题：（本大题共2个小题，每小题7分，共14分）
19．（7分）（2015?重庆模拟）解方程：（1﹣）=﹣x+1．
考点：解一元一次方程．菁优网版权所有
专题：计算题．
分析：方程去括号，去分母，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
解答：解：方程去括号得：﹣=﹣x+1，
去分母得：10﹣5x﹣15=﹣21x+6，
移项合并得：16x=11，
解得：x=．
点评：此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（7分）（2015?重庆模拟）先化简，再求值：，其中
x是不等式组的整数解．
考点：分式的化简求值；一元一次不等式组的整数解．菁优网版权所有
分析：先把除法转化成乘法，再利用乘法的分配律进行化简，然后解不等式组，求出不等式
组的整数解，再把所得的结果代入即可．
解答：
解：=×﹣
×=1﹣=，
∵，
由①得：x≤2，
由②得：x＞﹣，
∴原不等式组的解集是：﹣＜x≤2
∴原不等式组的整数解是：﹣1，0，1，2，
又∵（x﹣1）（x+1）x≠0∴x≠±1且x≠0
∴x=2，
∴原式==．
点评：此题考查了分式的化简求值、一元一次不等式组，在化简时要注意简便方法的运用和
结果的符号，注意分式有意义的条件．
四、解答题：（本大题共个4小题，每小题10分，共40分）
21．（10分）（2015?重庆模拟）如图，河流的两岸MN、PQ互相平行，河岸PQ上有一排间
隔为50m的电线杆C、D、E…某人在河岸MN的A处测得∠DAN=38°，然后沿河岸走了120
米到达B处，测得∠CBN=70°．求河流的宽度CF（结果精确到0.1，参考数据sin38°≈0.62，
cos38°≈0.79，tan38°≈0.78，Sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）．
考点：解直角三角形的应用．菁优网版权所有
分析：过点C作CG∥DA交AB于点F，易证四边形AGCD是平行四边形．再在直角△CBF
中，利用三角函数求解．
解答：解：过点C作CG∥DA交AB于点G．
如图，
∵MN∥PQ，CG∥DA，
∴四边形AGCD是平行四边形．
∴AG=CD=50m，∠CGB=38°．
∴GB=AB﹣AG=120﹣50=70（m）．
∴tan38°==0.78，
在Rt△BFC中，
tan70°==2.75，
∴BF=，
∴=0.78，
解得：CF≈76.2（m）．
答：河流的宽是76.2米．
点评：此题主要考查了解直角三角形的应用，不规则图形可以通过作平行线转化为平行四边
形与直角三角形的问题进行解决．
22．（10分）（2015?安顺）某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目：A．篮
球B．乒乓球C．羽毛球D．足球，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部
分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有200人；
（2）请你将条形统计图（2）补充完整；
（3）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中
任选两名参加乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）
考点：条形统计图；扇形统计图；列表法与树状图法．菁优网版权所有
专题：计算题．
分析：（1）由喜欢篮球的人数除以所占的百分比即可求出总人数；
（2）由总人数减去喜欢A，B及D的人数求出喜欢C的人数，补全统计图即可；
（3）根据题意列出表格，得出所有等可能的情况数，找出满足题意的情况数，即可
求出所求的概率．
解答：解：（1）根据题意得：20÷=200（人），
则这次被调查的学生共有200人；
（2）补全图形，如图所示：
（3）列表如下：
甲乙丙丁
甲﹣﹣﹣（乙，甲）（丙，甲）（丁，甲）
乙（甲，乙）﹣﹣﹣（丙，乙）（丁，乙）
丙（甲，丙）（乙，丙）﹣﹣﹣（丁，丙）
丁（甲，丁）（乙，丁）（丙，丁）﹣﹣﹣
所有等可能的结果为12种，其中符合要求的只有2种，
则P==．
点评：此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及列表法与树状图法，弄清题意是解本题的
关键．
23．（10分）（2015?重庆模拟）今年年初以来，受H7N9禽流感影响，家禽销量大幅下滑．为
维护家禽养殖户的利益，政府部门出台了一项补贴政策：自4月1日起，按销量向家禽养殖
户每千克补偿2元．3月份，“嘉祥”养鸡场售出了3000千克鸡；4月补贴政策出台后，“嘉
祥”养鸡场按3月份的每千克售价打八折加紧促销，仍然比3月份少销售了500千克鸡，加
上政府补贴，3、4月份共获销售收入80000元．
（1）“嘉祥”养鸡场3月份出售的鸡的售价是每千克多少元？
（2）去年5月“嘉祥”养鸡场销售收入为52000元，今年5月以来，家禽销售形势更严峻，
政府进一步出台补贴政策：除现有的政府补贴外，根据家禽养殖户的规模，每月每户再一次
性给予一定数量的政府补贴．这样，按4月的方式销售的同时，“嘉祥”养鸡场每月还可获得
5000元补贴，则5月份至少要销售多少千克鸡，才能使5月份总收入不低于去年5月收入
的一半？
考点：一元一次不等式的应用；一元一次方程的应用．菁优网版权所有
分析：（1）分别表示出3，4月的销售收入，进而得出等式即可；
（2）根据今年5月的售价以及销量结合政府补贴进而得出不等式求出即可．
解答：解：（1）设“嘉祥”养鸡场3月份出售的鸡的售价是每千克x元，根据题意得出：
3000x+2500×2+2500×x×0.8=80000
解得：x=15，
答：3月份出售的鸡的售价是每千克15元；
（2）设今年5月份要销售y千克鸡，根据题意得出：
y×15×0.8+5000+2y≥52000×，
解得：y≥1500，
答：5月份至少要销售1500千克鸡，才能使5月份总收入不低于去年5月收入的一半．
点评：此题主要考查了一元一次不等式的应用和一元一次方程的应用，得出正确等量关系是
解题关键．
24．（10分）（2013?黔西南州）阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+=
（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b=（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b=m2+2n2+2mn．
∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b=，用含m、n的式子分别表
示a、b，得：a=m2+3n2，b=2mn；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：4+2=（1+1
）2；
（3）若a+4=，且a、m、n均为正整数，求a的值？
考点：二次根式的混合运算．菁优网版权所有
分析：（1）根据完全平方公式运算法则，即可得出a、b的表达式；
（2）首先确定好m、n的正整数值，然后根据（1）的结论即可求出a、b的值；
（3）根据题意，4=2mn，首先确定m、n的值，通过分析m=2，n=1或者m=1，n=2，
然后即可确定好a的值．
解答：解：（1）∵a+b=，
∴a+b=m2+3n2+2mn，
∴a=m2+3n2，b=2mn．
故答案为：m2+3n2，2mn．
（2）设m=1，n=1，
∴a=m2+3n2=4，b=2mn=2．
故答案为4、2、1、1．
（3）由题意，得：
a=m2+3n2，b=2mn
∵4=2mn，且m、n为正整数，
∴m=2，n=1或者m=1，n=2，
∴a=22+3×12=7，或a=12+3×22=13．
点评：本题主要考查二次根式的混合运算，完全平方公式，解题的关键在于熟练运算完全平
方公式和二次根式的运算法则．
五、解答题：（本大题共2个小题，每小题12分，共24分）
25．（12分）（2015?重庆模拟）如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、AB上两点，
且BE=BF，过点B作AE的垂线交AC于点G，过点G作CF的垂线交BC于点H延长线
段AE、GH交于点M．
（1）求证：∠BFC=∠BEA；
（2）求证：AM=BG+GM．
考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
专题：证明题；压轴题．
分析：（1）根据正方形的四条边都相等，AB=BC，又BE=BF，所以△ABE和△CBF全等，
再根据全等三角形对应角相等即可证出；
（2）连接DG，根据正方形的性质，AB=AD，∠DAC=∠BAC=45°，AG是公共边，
所以△ABG和△ADG全等，根据全等三角形对应边相等，BG=DG，对应角相等
∠2=∠3，因为BG⊥AE，所以∠BAE+∠2=90°，而∠BAE+∠4=90°，所以∠2=∠4，
因此∠3=∠4，根据GM⊥CF和（1）中全等三角形的对应角相等可以得到
∠1=∠BFC=∠2，在△ADG中，∠DGC=∠3+45°，所以DGM三点共线，因此△ADM
是等腰三角形，AM=DM=DG+GM，所以AM=BG+GM．
解答：证明：（1）在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=90°，
在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴∠BFC=∠BEA；
（2）连接DG，在△ABG和△ADG中，
，
∴△ABG≌△ADG（SAS），
∴BG=DG，∠2=∠3，
∵BG⊥AE，
∴∠BAE+∠2=90°，
∵∠BAD=∠BAE+∠4=90°，
∴∠2=∠3=∠4，
∵GM⊥CF，
∴∠BCF+∠1=90°，
又∠BCF+∠BFC=90°，
∴∠1=∠BFC=∠2，
∴∠1=∠3，
在△ADG中，∠DGC=∠3+45°，
∴∠DGC也是△CGH的外角，
∴D、G、M三点共线，
∵∠3=∠4（已证），
∴AM=DM，
∵DM=DG+GM=BG+GM，
∴AM=BG+GM．
点评：本题综合性较强，主要考查正方形的性质，三角形全等的判定，三角形全等的性质，
第二问中，证明三点共线是解题的关键．
26．（12分）（2012?河南）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1与抛物线y=ax2+bx﹣
3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上一
动点（不与A、B点重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．
（1）求a、b及sin∠ACP的值；
（2）设点P的横坐标为m；
①用含有m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；
②连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形
的面积之比为9：10？若存在，直接写出m的值；若不存在，说明理由．
考点：二次函数综合题．菁优网版权所有
专题：压轴题；数形结合．
分析：（1）已知直线AB的解析式，首先能确定A、B点的坐标，然后利用待定系数法确定
a、b的值；若设直线AB与y轴的交点为E，E点坐标易知，在Rt△AEO中，能求
出sin∠AEO，而∠AEO=∠ACP，则∠ACP的正弦值可得．
（2）①已知P点横坐标，根据直线AB、抛物线的解析式，求出C、P的坐标，由此
得到线段PC的长；在Rt△PCD中，根据（1）中∠ACP的正弦值，即可求出PD的
表达式，再根据所得函数的性质求出PD长的最大值．
②在表达△PCD、△PBC的面积时，若都以PC为底，那么它们的面积比等于PC边
上的高的比．分别过B、D作PC的垂线，首先求出这两条垂线段的表达式，然后根
据题干给出的面积比例关系求出m的值．
解答：解：（1）由x+1=0，得x=﹣2，∴A（﹣2，0）．
由x+1=3，得x=4，∴B（4，3）．
∵y=ax2+bx﹣3经过A、B两点，
∴
∴，
则抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣3，
设直线AB与y轴交于点E，则E（0，1）．
∵PC∥y轴，
∴∠ACP=∠AEO．
∴sin∠ACP=sin∠AEO===．
（2）①由（1）知，抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣3．则点P（m，m2﹣m﹣3）．
已知直线AB：y=x+1，则点C（m，m+1）．
∴PC=m+1﹣（m2﹣m﹣3）=﹣m2+m+4=﹣（m﹣1）2+
Rt△PCD中，PD=PC?sin∠ACP=[﹣（m﹣1）2+]?=﹣（m﹣1）2+
∴PD长的最大值为：．
②如图，分别过点D、B作DF⊥PC，BG⊥PC，垂足分别为F、G．
∵sin∠ACP=，
∴cos∠ACP=，
又∵∠FDP=∠ACP
∴cos∠FDP==，
在Rt△PDF中，DF=PD=﹣（m2﹣2m﹣8）．
又∵BG=4﹣m，
∴====．
当==时，解得m=；
当==时，解得m=．
点评：本题考查了二次函数的应用以及解析式的确定、解直角三角形、图形面积的求法等知
识，主要考查学生数形结合思想的应用能力．
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