2015年湖北省黄冈市中考数学试卷
一、选择题（共7小题，每小题3分，满分21分）
1．（3分）（2015?黄冈）9的平方根是（）
A．±3B．±C．3D．﹣3
2．（3分）（2015?黄冈）下列运算结果正确的是（）
A．x6÷x2=x3B．（﹣x）﹣1=C．（2x3）2=4x6D．﹣2a2?a3=﹣2a6
3．（3分）（2015?黄冈）如图所示，该几何体的俯视图是（）
A．
B．
C．
D．
4．（3分）（2015?黄冈）下列结论正确的是（）
A．3a3b﹣a2b=2
B．单项式﹣x2的系数是﹣1
C．使式子有意义的x的取值范围是x＞﹣1
D．
若分式的值等于0，则a=±1
5．（3分）（2015?黄冈）如图，a∥b，∠1=∠2，∠3=40°，则∠4等于（）
A．40°B．50°C．60°D．70°
6．（3分）（2015?黄冈）如图，在△ABC中，∠C=Rt∠，∠B=30°，边AB的垂直平分线
DE交AB于点E，交BC于点D，CD=3，则BC的长为（）
A．6B．6C．9D．3
7．（3分）（2015?黄冈）货车和小汽车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，小
汽车到达乙地后，立即以相同的速度沿原路返回甲地，已知甲、乙两地相距180千米，货车
的速度为60千米/小时，小汽车的速度为90千米/小时，则下图中能分别反映出货车、小汽
车离乙地的距离y（千米）与各自行驶时间t（小时）之间的函数图象是（）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
8．（3分）（2015?黄冈）计算：=．
9．（3分）（2015?黄冈）分解因式：x3﹣2x2+x=．
10．（3分）（2015?黄冈）若方程x2﹣2x﹣1=0的两根分别为x1，x2，则x1+x2﹣x1x2的值
为．
11．（3分）（2015?黄冈）计算÷（1﹣）的结果是．
12．（3分）（2015?黄冈）如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点
E．若∠CBF=20°，则∠AED等于度．
13．（3分）（2015?黄冈）如图所示的扇形是一个圆锥的侧面展开图，若∠AOB=120°，弧
AB的长为12πcm，则该圆锥的侧面积为cm2．
14．（3分）（2015?黄冈）在△ABC中，AB=13cm，AC=20cm，BC边上的高为12cm，则△ABC
的面积为cm2．
三、解答题（共10小题，满分78分）
15．（5分）（2015?黄冈）解不等式组：．
16．（6分）（2015?黄冈）已知A，B两件服装的成本共500元，鑫洋服装店老板分别以30%
和20%的利润率定价后进行销售，该服装店共获利130元，问A，B两件服装的成本各是多
少元？
17．（6分）（2015?黄冈）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC
上两点，且AE=CF，DF∥BE．
求证：四边形ABCD为平行四边形．
18．（7分）（2015?黄冈）在某电视台的一档选秀节目中，有三位评委，每位评委在选手完
成才艺表演后，出示“通过”（用√表示）或“淘汰”（用×表示）的评定结果，节目组规定：每
位选手至少获得两位评委的“通过”才能晋级
（1）请用树形图列举出选手A获得三位评委评定的各种可能的结果；
（2）求选手A晋级的概率．
19．（7分）（2015?黄冈）“六一”儿童节前夕，薪黄县教育局准备给留守儿童赠送一批学习
用品，先对浠泉镇浠泉小学的留守儿童人数进行抽样统计，发现各班留守儿童人数分别为6
名，7名，8名，10名，12名这五种情形，并将统计结果绘制成了如图所示的两份不完整的
统计图：
请根据上述统计图，解答下列问题：
（1）该校有多少个班级？并补充条形统计图；
（2）该校平均每班有多少名留守儿童？留守儿童人数的众数是多少？
（3）若该镇所有小学共有60个教学班，请根据样本数据，估计该镇小学生中，共有多少名
留守儿童．
20．（7分）（2015?荆门）如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处
朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截，红方行驶1000米
到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，
刚好在D处成功拦截蓝方，求拦截点D处到公路的距离（结果不取近似值）．
21．（8分）（2015?黄冈）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB
于点M，交BC于点N，连接AN，过点C的切线交AB的延长线于点P．
（1）求证：∠BCP=∠BAN
（2）求证：=．
22．（8分）（2015?黄冈）如图，反比例函数y=的图象经过点A（﹣1，4），直线y=﹣x+b
（b≠0）与双曲线y=在第二、四象限分别相交于P，Q两点，与x轴、y轴分别相交于C，
D两点．
（1）求k的值；
（2）当b=﹣2时，求△OCD的面积；
（3）连接OQ，是否存在实数b，使得S△ODQ=S△OCD？若存在，请求出b的值；若不存在，
请说明理由．
23．（10分）（2015?黄冈）我市某风景区门票价格如图所示，黄冈赤壁旅游公司有甲、乙两
个旅游团队，计划在“五一”小黄金周期间到该景点游玩．两团队游客人数之和为120人，乙
团队人数不超过50人，设甲团队人数为x人．如果甲、乙两团队分别购买门票，两团队门
票款之和为W元．
（1）求W关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若甲团队人数不超过100人，请说明甲、乙两团队联合购票比分别购票最多可可节约
多少钱；
（3）“五一”小黄金周之后，该风景区对门票价格作了如下调整：人数不超过50人时，门票
价格不变；人数超过50人但不超过100人时，每张门票降价a元；人数超过100人时，每
张门票降价2a元，在（2）的条件下，若甲、乙两个旅行团队“五一”小黄金周之后去游玩，
最多可节约3400元，求a的值．
24．（14分）（2015?荆门）如图，在矩形ABCD中，OA=5，AB=4，点D为边AB上一点，
将△BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在边OA上的点E处，分别以OC，OA所在的直
线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．
（1）求OE的长及经过O，D，C三点抛物线的解析式；
（2）一动点P从点C出发，沿CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时动点Q从
E点出发，沿EC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停
止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，DP=DQ；
（3）若点N在（1）中抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，
使M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请
说明理由．
2015年湖北省黄冈市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共7小题，每小题3分，满分21分）
1．（3分）（2015?黄冈）9的平方根是（）
A．±3B．±C．3D．﹣3
考点：平方根．菁优网版权所有
分析：根据平方根的含义和求法，可得9的平方根是：±=±3，据此解答即可．
解答：解：9的平方根是：
±=±3．
故选：A．
点评：此题主要考查了平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个
正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
2．（3分）（2015?黄冈）下列运算结果正确的是（）
A．x6÷x2=x3B．（﹣x）﹣1=C．（2x3）2=4x6D．﹣2a2?a3=﹣2a6
考点：同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式；负整数指数幂．菁优网版权所有
分析：根据同底数幂的除法、幂的乘方、单项式的乘法计算即可．
解答：解：A、x6÷x2=x4，错误；
B、（﹣x）﹣1=﹣，错误；
C、（2x3）2=4x6，正确；
D、﹣2a2?a3=﹣2a5，错误；
故选C
点评：此题考查同底数幂的除法、幂的乘方、单项式的乘法，关键是根据法则进行计算．
3．（3分）（2015?黄冈）如图所示，该几何体的俯视图是（）
A．
B．
C．
D．
考点：简单组合体的三视图．菁优网版权所有
分析：根据从上面看得到的视图是俯视图，可得答案．
解答：解：从上面看是一个正方形，在正方形的左下角有一个小正方形．
故选：B．
点评：本题考查了简单组合体的三视图，从上面看的到的视图是俯视图．
4．（3分）（2015?黄冈）下列结论正确的是（）
A．3a3b﹣a2b=2
B．单项式﹣x2的系数是﹣1
C．使式子有意义的x的取值范围是x＞﹣1
D．
若分式的值等于0，则a=±1
考点：二次根式有意义的条件；合并同类项；单项式；分式的值为零的条件．菁优网版权所有
分析：根据合并同类项，可判断A；根据单项式的系数是数字因数，可判断B；根据二次根
式的被开方数是非负数，可判断C；根据分式的分子为零分母不为零，可判断D．
解答：解：A、合并同类项系数相加字母部分不变，故A错误；
B、单项式﹣x2的系数是﹣1，故B正确；
C、式子有意义的x的取值范围是x＞﹣2，故C错误；
D、分式的值等于0，则a=1，故D错误；
故选：B．
点评：本题考查了二次根是有意义的条件，二次根式有意义的条件是分式的分子为零分母不
为零，二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．
5．（3分）（2015?黄冈）如图，a∥b，∠1=∠2，∠3=40°，则∠4等于（）
A．40°B．50°C．60°D．70°
考点：平行线的性质．菁优网版权所有
分析：先根据平行线的性质求出∠1+∠2的度数，再由∠1=∠2得出∠2的度数，进而可得
出结论．
解答：解：∵a∥b，∠3=40°，
∴∠1+∠2=180°﹣40°=140°，∠2=∠4．
∵∠1=∠2，
∴∠2=×140°=70°，
∴∠4=∠2=70°．
故选D．
点评：本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．
6．（3分）（2015?黄冈）如图，在△ABC中，∠C=Rt∠，∠B=30°，边AB的垂直平分线
DE交AB于点E，交BC于点D，CD=3，则BC的长为（）
A．6B．6C．9D．3
考点：含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有
分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等可得AD=BD，可得∠DAE=30°，易
得∠ADC=60°，∠CAD=30°，则AD为∠BAC的角平分线，由角平分线的性质得
DE=CD=3，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BD=2DE，得
结果．
解答：解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠DAE=∠B=30°，
∴∠ADC=60°，
∴∠CAD=30°，
∴AD为∠BAC的角平分线，
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=CD=3，
∵∠B=30°，
∴BD=2DE=6，
∴BC=9，
故选C．
点评：本题主要考查了垂直平分线的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直
角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键．
7．（3分）（2015?黄冈）货车和小汽车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，小
汽车到达乙地后，立即以相同的速度沿原路返回甲地，已知甲、乙两地相距180千米，货车
的速度为60千米/小时，小汽车的速度为90千米/小时，则下图中能分别反映出货车、小汽
车离乙地的距离y（千米）与各自行驶时间t（小时）之间的函数图象是（）
A．
B．
C．
D．
考点：函数的图象．菁优网版权所有
分析：根据出发前都距离乙地180千米，出发两小时小汽车到达乙地距离变为零，再经过两
小时小汽车又返回甲地距离又为180千米；经过三小时，货车到达乙地距离变为零，
而答案．
解答：解：由题意得
出发前都距离乙地180千米，出发两小时小汽车到达乙地距离变为零，再经过两小时
小汽车又返回甲地距离又为180千米，经过三小时，货车到达乙地距离变为零，故C
符合题意，
故选：C．
点评：本题考查了函数图象，理解题意并正确判断辆车与乙地的距离是解题关键．
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
8．（3分）（2015?黄冈）计算：=．
考点：二次根式的加减法．菁优网版权所有
分析：先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可得出答案．
解答：解：
=3﹣
=2．
故答案为：2．
点评：本题考查二次根式的减法运算，难度不大，注意先将二次根式化为最简是关键．
9．（3分）（2015?黄冈）分解因式：x3﹣2x2+x=x（x﹣1）2．
考点：提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有
分析：首先提取公因式x，进而利用完全平方公式分解因式即可．
解答：解：x3﹣2x2+x=x（x2﹣2x+1）=x（x﹣1）2．
故答案为：x（x﹣1）2．
点评：此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关
键．
10．（3分）（2015?黄冈）若方程x2﹣2x﹣1=0的两根分别为x1，x2，则x1+x2﹣x1x2的值为
3．
考点：根与系数的关系．菁优网版权所有
专题：计算题．
分析：先根据根与系数的关系得到x1+x2=2，x1x2=﹣1，然后利用整体代入的方法计算．
解答：解：根据题意得x1+x2=2，x1x2=﹣1，
所以x1+x2﹣x1x2=2﹣（﹣1）=3．
故答案为3．
点评：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，
x1+x2=﹣，x1x2=．
11．（3分）（2015?黄冈）计算÷（1﹣）的结果是．
考点：分式的混合运算．菁优网版权所有
专题：计算题．
分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约
分即可得到结果．
解答：解：原式=÷=?=，
故答案为：．
点评：此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．（3分）（2015?黄冈）如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点
E．若∠CBF=20°，则∠AED等于65°度．
考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
分析：根据正方形的性质得出∠BAE=∠DAE，再利用SAS证明△ABE与△ADE全等，再
利用三角形的内角和解答即可．
解答：解：∵正方形ABCD，
∴AB=AD，∠BAE=∠DAE，
在△ABE与△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴∠AEB=∠AED，∠ABE=∠ADE，
∵∠CBF=20°，
∴∠ABE=70°，
∴∠AED=∠AEB=180°﹣45°﹣70°=65°，
故答案为：65°
点评：此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质得出∠BAE=∠DAE，再利用全等
三角形的判定和性质解答．
13．（3分）（2015?黄冈）如图所示的扇形是一个圆锥的侧面展开图，若∠AOB=120°，弧
AB的长为12πcm，则该圆锥的侧面积为108πcm2．
考点：圆锥的计算．菁优网版权所有
分析：首先求得扇形的母线长，然后求得扇形的面积即可．
解答：解：设AO=B0=R，
∵∠AOB=120°，弧AB的长为12πcm，
∴=12π，
解得：R=18，
∴圆锥的侧面积为lR=×12π×18=108π，
故答案为：108π．
点评：本题考查了圆锥的计算，解题的关键是牢记圆锥的有关计算公式，难度不大．
14．（3分）（2015?黄冈）在△ABC中，AB=13cm，AC=20cm，BC边上的高为12cm，则△ABC
的面积为126或66cm2．
考点：勾股定理．菁优网版权所有
分析：此题分两种情况：∠B为锐角或∠B为钝角已知AB、AC的值，利用勾股定理即可求
出BC的长，利用三角形的面积公式得结果．
解答：解：当∠B为锐角时（如图1），
在Rt△ABD中，
BD===5cm，
在Rt△ADC中，
CD===16cm，
∴BC=21，
∴S△ABC==×21×12=126cm2；
当∠B为钝角时（如图2），
在Rt△ABD中，
BD===5cm，
在Rt△ADC中，
CD===16cm，
∴BC=CD﹣BD=16﹣5=11cm，
∴S△ABC==×11×12=66cm2，
故答案为：126或66．
点评：本题主要考查了勾股定理和三角形的面积公式，画出图形，分类讨论是解答此题的关
键．
三、解答题（共10小题，满分78分）
15．（5分）（2015?黄冈）解不等式组：．
考点：解一元一次不等式组．菁优网版权所有
分析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
解答：解：由①得，x＜2，由②得，x≥﹣2，
故不等式组的解集为：﹣2≤x＜2．
点评：本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；
大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16．（6分）（2015?黄冈）已知A，B两件服装的成本共500元，鑫洋服装店老板分别以30%
和20%的利润率定价后进行销售，该服装店共获利130元，问A，B两件服装的成本各是多
少元？
考点：二元一次方程组的应用．菁优网版权所有
分析：设A服装成本为x元，B服装成本y元，由题意得等量关系：①成本共500元；②
共获利130元，根据等量关系列出方程组，再解即可．
解答：解：设A服装成本为x元，B服装成本y元，由题意得：
，
解得：，
答：A服装成本为300元，B服装成本200元．
点评：此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关
系，列出方程组．
17．（6分）（2015?黄冈）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC
上两点，且AE=CF，DF∥BE．
求证：四边形ABCD为平行四边形．
考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
专题：证明题．
分析：首先证明△AEB≌△CFD可得AB=CD，再由条件AB∥CD可利用一组对边平行且相
等的四边形是平行四边形证明四边形ABCD为平行四边形．
解答：证明：∵AB∥CD，
∴∠DCA=∠BAC，
∵DF∥BE，
∴∠DFA=∠BEC，
∴∠AEB=∠DFC，
在△AEB和△CFD中，
∴△AEB≌△CFD（ASA），
∴AB=CD，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD为平行四边形．
点评：此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行
四边形．
18．（7分）（2015?黄冈）在某电视台的一档选秀节目中，有三位评委，每位评委在选手完
成才艺表演后，出示“通过”（用√表示）或“淘汰”（用×表示）的评定结果，节目组规定：每
位选手至少获得两位评委的“通过”才能晋级
（1）请用树形图列举出选手A获得三位评委评定的各种可能的结果；
（2）求选手A晋级的概率．
考点：列表法与树状图法．菁优网版权所有
分析：（1）利用树状图列举出所有可能即可，注意不重不漏的表示出所有结果；
（2）列举出所有情况，让至少有两位评委给出“通过”的结论的情况数除以总情况数
即为所求的概率．
解答：解：（1）画出树状图来说明评委给出A选手的所有可能结果：
；
（2）∵由上可知评委给出A选手所有可能的结果有8种．并且它们是等可能的，对
于A选手，晋级的可能有4种情况，
∴对于A选手，晋级的概率是：．
点评：本题主要考查了树状图法求概率．树状图法可以不重不漏地列举出所有可能发生的情
况，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情
况数之比．
19．（7分）（2015?黄冈）“六一”儿童节前夕，薪黄县教育局准备给留守儿童赠送一批学习
用品，先对浠泉镇浠泉小学的留守儿童人数进行抽样统计，发现各班留守儿童人数分别为6
名，7名，8名，10名，12名这五种情形，并将统计结果绘制成了如图所示的两份不完整的
统计图：
请根据上述统计图，解答下列问题：
（1）该校有多少个班级？并补充条形统计图；
（2）该校平均每班有多少名留守儿童？留守儿童人数的众数是多少？
（3）若该镇所有小学共有60个教学班，请根据样本数据，估计该镇小学生中，共有多少名
留守儿童．
考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；加权平均数．菁优网版权所有
分析：（1）根据有7名留守儿童班级有2个，所占的百分比是12.5%，即可求得班级的总
个数；
（2）利用平均数的计算公式求得每班的留守儿童数，然后根据众数的定义，就是出
现次数最多的数确定留守儿童的众数；
（3）利用班级数60乘以（2）中求得的平均数即可．
解答：解：（1）该校的班级数是：2÷12.5%=16（个）．
则人数是8名的班级数是：16﹣1﹣2﹣6﹣2=5（个）．
；
（2）每班的留守儿童的平均数是：（1×6+2×7+5×8+6×10+12×2）=9（人），众数是
10名；
（3）该镇小学生中，共有留守儿童60×9=540（人）．
答：该镇小学生中共有留守儿童540人．
点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中
得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇
形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20．（7分）（2015?荆门）如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处
朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截，红方行驶1000米
到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，
刚好在D处成功拦截蓝方，求拦截点D处到公路的距离（结果不取近似值）．
考点：解直角三角形的应用-方向角问题．菁优网版权所有
分析：过B作AB的垂线，过C作AB的平行线，两线交于点E；过C作AB的垂线，过D
作AB的平行线，两线交于点F，则∠E=∠F=90°，拦截点D处到公路的距离
DA=BE+CF．解Rt△BCE，求出BE=BC=×1000=500米；解Rt△CDF，求出
CF=CD=500米，则DA=BE+CF=（500+500）米．
解答：解：如图，过B作AB的垂线，过C作AB的平行线，两线交于点E；过C作AB的
垂线，过D作AB的平行线，两线交于点F，则∠E=∠F=90°，拦截点D处到公路的
距离DA=BE+CF．
在Rt△BCE中，∵∠E=90°，∠CBE=60°，
∴∠BCE=30°，
∴BE=BC=×1000=500米；
在Rt△CDF中，∵∠F=90°，∠DCF=45°，CD=AB=1000米，
∴CF=CD=500米，
∴DA=BE+CF=（500+500）米，
故拦截点D处到公路的距离是（500+500）米．
点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，锐角三角函数的定义，正确理解方向
角的定义，进而作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
21．（8分）（2015?黄冈）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB
于点M，交BC于点N，连接AN，过点C的切线交AB的延长线于点P．
（1）求证：∠BCP=∠BAN
（2）求证：=．
考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
专题：证明题．
分析：（1）由AC为⊙O直径，得到∠NAC+∠ACN=90°，由AB=AC，得到∠BAN=∠CAN，
根据PC是⊙O的切线，得到∠ACN+∠PCB=90°，于是得到结论．
（2）由等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB，根据圆内接四边形的性质得到
∠PBC=∠AMN，证出△BPC∽△MNA，即可得到结论．
解答：（1）证明：∵AC为⊙O直径，
∴∠ANC=90°，
∴∠NAC+∠ACN=90°，
∵AB=AC，
∴∠BAN=∠CAN，
∵PC是⊙O的切线，
∴∠ACP=90°，
∴∠ACN+∠PCB=90°，
∴∠BCP=∠CAN，
∴∠BCP=∠BAN；
（2）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠PBC+∠ABC=∠AMN+∠ACN=180°，
∴∠PBC=∠AMN，
由（1）知∠BCP=∠BAN，
∴△BPC∽△MNA，
∴．
点评：本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，
圆内接四边形的性质，解此题的关键是熟练掌握定理．
22．（8分）（2015?黄冈）如图，反比例函数y=的图象经过点A（﹣1，4），直线y=﹣x+b
（b≠0）与双曲线y=在第二、四象限分别相交于P，Q两点，与x轴、y轴分别相交于C，
D两点．
（1）求k的值；
（2）当b=﹣2时，求△OCD的面积；
（3）连接OQ，是否存在实数b，使得S△ODQ=S△OCD？若存在，请求出b的值；若不存在，
请说明理由．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
专题：计算题．
分析：（1）根据反比例函数的图象上点的坐标特征易得k=﹣4；
（2）当b=﹣2时，直线解析式为y=﹣x﹣2，则利用坐标轴上点的坐标特征可求出C
（﹣2，0），D（0，﹣2），然后根据三角形面积公式求解；
（3）先表示出C（b，0），根据三角形面积公式，由于S△ODQ=S△OCD，所以点Q和
点C到OD的距离相等，则Q的横坐标为（﹣b，0），利用直线解析式可得到Q（﹣
b，2b），再根据反比例函数的图象上点的坐标特征得到﹣b?2b=﹣4，然后解方程即可
得到满足条件的b的值．
解答：解：（1）∵反比例函数y=的图象经过点A（﹣1，4），
∴k=﹣1×4=﹣4；
（2）当b=﹣2时，直线解析式为y=﹣x﹣2，
∵y=0时，﹣x﹣2=0，解得x=﹣2，
∴C（﹣2，0），
∵当x=0时，y=﹣x﹣2=﹣2，
∴D（0，﹣2），
∴S△OCD=×2×2=2；
（3）存在．
当y=0时，﹣x+b=0，解得x=b，则C（b，0），
∵S△ODQ=S△OCD，
∴点Q和点C到OD的距离相等，
而Q点在第四象限，
∴Q的横坐标为﹣b，
当x=﹣b时，y=﹣x+b=2b，则Q（﹣b，2b），
∵点Q在反比例函数y=﹣的图象上，
∴﹣b?2b=﹣4，解得b=﹣或b=（舍去），
∴b的值为﹣．
点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把
两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两
者无交点．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征和三角形面积公式．
23．（10分）（2015?黄冈）我市某风景区门票价格如图所示，黄冈赤壁旅游公司有甲、乙两
个旅游团队，计划在“五一”小黄金周期间到该景点游玩．两团队游客人数之和为120人，乙
团队人数不超过50人，设甲团队人数为x人．如果甲、乙两团队分别购买门票，两团队门
票款之和为W元．
（1）求W关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若甲团队人数不超过100人，请说明甲、乙两团队联合购票比分别购票最多可可节约
多少钱；
（3）“五一”小黄金周之后，该风景区对门票价格作了如下调整：人数不超过50人时，门票
价格不变；人数超过50人但不超过100人时，每张门票降价a元；人数超过100人时，每
张门票降价2a元，在（2）的条件下，若甲、乙两个旅行团队“五一”小黄金周之后去游玩，
最多可节约3400元，求a的值．
考点：一次函数的应用；一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．菁优网版权所有
分析：（1）根据甲团队人数为x人，乙团队人数不超过50人，得到x≥70，分两种情况：
①当70≤x≤100时，W=70x+80（120﹣x）=﹣10x+9600，②当100＜x＜120时，
W=60x+80（120﹣x）=﹣20x+9600，即可解答；
（2）根据甲团队人数不超过100人，所以x≤100，由W=﹣10x+9600，根据70≤x≤100，
利用一次函数的性质，当x=70时，W最大=8900（元），两团联合购票需120×60=7200
（元），即可解答；
（3）根据每张门票降价a元，可得W=（70﹣a）x+80（120﹣x）=﹣（a+10）x+9600，
利用一次函数的性质，x=70时，W最大=﹣70a+8900（元），而两团联合购票需120
（60﹣2a）=7200﹣240a（元），所以﹣70a+8900﹣（7200﹣240a）=3400，即可解答．
解答：解：（1）∵甲团队人数为x人，乙团队人数不超过50人，
∴120﹣x≤50，
∴x≥70，
①当70≤x≤100时，W=70x+80（120﹣x）=﹣10x+9600，
②当100＜x＜120时，W=60x+80（120﹣x）=﹣20x+9600，
综上所述，W=
（2）∵甲团队人数不超过100人，
∴x≤100，
∴W=﹣10x+9600，
∵70≤x≤100，
∴x=70时，W最大=8900（元），
两团联合购票需120×60=7200（元），
∴最多可节约8900﹣7200=1700（元）．
（3）∵x≤100，
∴W=（70﹣a）x+80（120﹣x）=﹣（a+10）x+9600，
∴x=70时，W最大=﹣70a+8900（元），
两团联合购票需120（60﹣2a）=7200﹣240a（元），
∵﹣70a+8900﹣（7200﹣240a）=3400，
解得：a=10．
点评：本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是根据题意，列出函数解析式，利用一
次函数的性质求得最大值．注意确定x的取值范围．
24．（14分）（2015?荆门）如图，在矩形ABCD中，OA=5，AB=4，点D为边AB上一点，
将△BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在边OA上的点E处，分别以OC，OA所在的直
线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．
（1）求OE的长及经过O，D，C三点抛物线的解析式；
（2）一动点P从点C出发，沿CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时动点Q从
E点出发，沿EC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停
止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，DP=DQ；
（3）若点N在（1）中抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，
使M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请
说明理由．
考点：二次函数综合题．菁优网版权所有
分析：（1）由折叠的性质可求得CE、CO，在Rt△COE中，由勾股定理可求得OE，设AD=m，
在Rt△ADE中，由勾股定理可求得m的值，可求得D点坐标，结合C、O两点，利
用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）用t表示出CP、BP的长，可证明△DBP≌△DEQ，可得到BP=EQ，可求得t
的值；
（3）可设出N点坐标，分三种情况①EN为对角线，②EM为对角线，③EC为对
角线，根据平行四边形的性质可求得对角线的交点横坐标，从而可求得M点的横坐
标，再代入抛物线解析式可求得M点的坐标．
解答：解：（1）∵CE=CB=5，CO=AB=4，
∴在Rt△COE中，OE===3，
设AD=m，则DE=BD=4﹣m，
∵OE=3，
∴AE=5﹣3=2，
在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2+AE2=DE2，即m2+22=（4﹣m）2，解得m=，
∴D（﹣，﹣5），
∵C（﹣4，0），O（0，0），
∴设过O、D、C三点的抛物线为y=ax（x+4），
∴﹣5=﹣a（﹣+4），解得a=，
∴抛物线解析式为y=x（x+4）=x2+x；
（2）∵CP=2t，
∴BP=5﹣2t，
在Rt△DBP和Rt△DEQ中，
，
∴Rt△DBP≌Rt△DEQ（HL），
∴BP=EQ，
∴5﹣2t=t，
∴t=；
（3）∵抛物线的对称为直线x=﹣2，
∴设N（﹣2，n），
又由题意可知C（﹣4，0），E（0，﹣3），
设M（m，y），
①当EN为对角线，即四边形ECNM是平行四边形时，
则线段EN的中点横坐标为=﹣1，线段CM中点横坐标为，
∵EN，CM互相平分，
∴=﹣1，解得m=2，
又M点在抛物线上，
∴y=×22+×2=16，
∴M（2，16）；
②当EM为对角线，即四边形ECMN是平行四边形时，
则线段EM的中点横坐标为，线段CN中点横坐标为=﹣3，
∵EN，CM互相平分，
∴=﹣3，解得m=﹣6，
又∵M点在抛物线上，
∴y=×（﹣6）2+×（﹣6）=16，
∴M（﹣6，16）；
③当CE为对角线，即四边形EMCN是平行四边形时，
则M为抛物线的顶点，即M（﹣2，﹣）．
综上可知，存在满足条件的点M，其坐标为（2，16）或（﹣6，16）或（﹣2，）．
点评：本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、全等三角形的判定和性质、折
叠的性质、平行四边形的性质等知识点．在（1）中求得D点坐标是解题的关键，在
（2）中证得全等，得到关于t的方程是解题的关键，在（3）中注意分类讨论思想的
应用．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
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