第3节数据的分布与波动水平的量
知识要点
1．方差与标准差．
①“数据的平均水平”研究的是数据数值的大小状况．“数据的波动水平”研究的则是数据数值的变化状况．
②衡量数据波动程度的量是方差和标准差．
方差;
标准差S=
可以看出,方差和标准差都用来衡量数据偏离平均数的程度．标准差是方差的非负平方根．
③从方差的定义可以看出，当且仅当x1=x2==x3=时，S2=0．也就是说只有各个数据的值都相等，方差和标准差的值才为零．
2．频数分布直方图和频率分布直方图．
①将数据从小到大排列。数值按等距离分为若干间隔，在每一间隔内的数据个数称为该组的组频数，频数与总个数的比称为组频率；显然，各个组频数的和等于数据的总数，各个组频率的和等于1．
②在频数分布直方图中，小长方形的高等于组频数；在频率分布直方图中，小长方形的
高等于组频率／组距．小长方形的面积等于组频率．
③在频数分布直方图和频率分布直方图中，横坐标上每个间隔都只含最小值，不含最大值；即在每个间隔内，若设数据的值为x，则“a≤x
④频数分布直方图各小长方形的高之和为数据总数，频率分布直方图各小长方形的面积之和等于1．
一、方差与标准差
a例题精解
例1计算下列各组数据的平均数、方差S2和标准差S．
(1){1，2，3，4，5}；
(2){101，102，103，104，105}；
(3){3，6，9，12，15}；
(4){21，23，25，27，29}．
点评已知一组数据{x1,x2，x3，…，xn}的平均数是，方差是S2，标；隹差是S，设另一组数据{ax1+b,ax2+b，ax3+b，…，axn+b}的平均数为，方差为，标准差为，则
，
.
举一反三
1—1甲乙两名铅球运动员近期5次测试情况如图2—3—1所示．
(1)分别求出两运动员得分的平均数与方差；
(2)根据图2—3—1和第(1)小题算得的结果，对两运动员的测试情况作出评价．
点评本题要求能读懂图，根据所给信恩作计算，并对计算结果作出评价，故对读图能力要求高．
1—2小明和小亮是校田径队员，在几次百米跑训练中，两人所测成绩如图2—3—2所
示，请根据图中提供的信息回答以下问题：
(1)补齐下面的表格：
(2)分别计算他们这几次成绩的平均数和方差，并对两人的成绩加以比较．
1—3解答下列各题．
(1)数据x1,x2,x3的平均数是3．方差是2．求数据x1,x2,x3,3的平均数以及方差．
(2)已知数据3，6，a，8的平均数是a的2倍．求这组数据的方差．
(3)已知数据x1,x2,x3,x4的平均数是3，方差为0．75．求数据2x1、2x2、2x3、2x4、6、6的标准差．
点评这里的一组三道题目涉及较多概念和公式．必须透彻理解和熟记这些公式，并且计算正确．才能稳操胜卷．
二、频数分布直方图和频率分布直方图
例题精解
例2某班同学进行数学测验，将所得成绩(得分取整数)进行整理后分成五组．并绘制成频数分布直方图(图2—3—3)．请结合直方图提供的信息，回答下列问题：
(1)该班共有多少名学生?
(2)这次成绩中的中位数落在哪个分数段?
(3)求这次测验的及格率和优良率．(60分以上为及格，80分以以上为优良)
(4)将该频数分布直方图改画成频率分布直方图．
点评①注意频数分布直方图与频率分布直方图之间的区别和联系；②横轴上的数据间隔不取整数而取分数．可以省略“每组数据只含最小值不含最大值”的说明．
举一反三
2—1有关部门想了解本区20000名初中生对世博知识掌握情况，对全区初中生进行
世博知识统一测试．在测试结果中随机抽取了400名学生的成绩进行分析，并将分析结果
(分数取整数)绘制了如下的频数分布表和频数分布直方图(图2—3—5)．
根据以上提供的信息，解答下列问题：
(1)补全频数分布表；
(2)补全频数分布直方图；
(3)样本中学生成绩的中位数位于频数分布表中分数段内；
(4)若90分及以上为优秀，则估计该区有名学生测试成绩为优秀
点评第(4)小题中若回答优秀人数为400×o．25—100(人)就错了，这是样本中的优秀人数，而不是总体中的优秀人数．
2—2某校九年级260名学生进行了一次数学测验，随机抽取部分学生的成绩进行分析，这些成绩整理后分成五组，绘制成频率分布直方图(如图2—3—7)，从左到右前四个小组的频率分别为0．1、0．2、0．3、0．25，最后一组的频数为6．根据所给的信息回答下列问题：
(1)共抽取了多少名学生的成绩?
(2)估计这次数学测验成绩超过80分的学生人数约有多少名?
(3)如果从左到右五个组的平均分分别为55分、68分、74分、86分、95分，那么估计这次数学测验成绩的平均分约为多少分?
2—3某中学对九年级准备选考1分钟跳绳的学生进行测试，测试结果如下表：
请回答下列问题：
(1)此次测试成绩的中位数落在第组中．
(2)如果成绩达到或超过180次／分的学生可获满分，那么本次测
试中获得满分的人数占参加测试人数的．
(3)已知该校九年级参加体育测试的总人数为200人，若要绘制一
张统计该校各项目选考人数分布的扇形图，图2—3—8中A所在的扇形
表示参加选考1分钟跳绳的人数占测试总人数的百分比，则该扇形的圆
心角应为．
(4)如果此次测试的平均成绩为171次／分，那么这个成绩是否可用来估计该校九年级
学毕跳绢的平均水平？为什么？
三、应用实例
例题精解
例3在一次科技知识竞赛中，甲乙两个班级学生成绩统计如下表所示：
(其中，90分及其以上即为优秀水平)
已经算得甲乙两个班级的平均分都是80分．
(1)请你根据所学过的统计知识，进一步判断这两个班级的竞赛成绩谁优谁次，并说明理由．
(2)如果由一个班级的学生组成一个15人的代表团代表学校参加区里的科技知识竞赛，你认为应当选择哪个班级组团参赛?
点评虽然比较众数、80分以上人数和方差，甲班的平均水平和稳定性都优于乙班．但是如果选择少数人参赛，还是应当选择乙班，原因恰恰也正是缘于乙班成绩的波动性较大，两极分化”较严重．
举一反三
3一l甲乙两台包装机同时包装质量为200克的糖果，从中各抽出10袋。测得其实际质量分别如下：(单位：克)
(1)分别计算两个样本的平均数与方差．
(2)从计算结果看，哪台包装机包装的10袋糖果的平均质量更接近200克?哪台包装机包装的10袋糖果的质量比较稳定?
点评本题利用样本的平均数与方差解决一个实际问题。在第(1)小题计算的基础上．第(2)小题要求学生能运用所学知识从不同角度进行评价，方差越大，说明这组数据对平均数的偏离程度越大．
3—2经市场调查，某种质量为(5±0．25)kg的优质西瓜最为畅销．为了控制西瓜的质量，农科所采用A、B两种种植技术进行试验．现从这两种技术种植的西瓜中各随机抽取20颗，记录它们的质量如下(单位：kg)：
A：4．14．85．44．94．75．04．94．85．85．2
5．04．85．24．95．25．04．85．25．15．0
B：4．54．94．84．55．25．15．04．54．74．9
5．45．54．65．34．85．05．25．35．05．3
(1)若质量为(5±0．25)kg的为优等品，根据以上信息完成下表：
优等品数量（个） 平均数 方差 A 4.990 0.103 B 4.975 0.093 (2)请分别从优等品数量、平均数与方差三方面的A、B两种技术作出评价；从市场销售的角度看，你认为推广哪种种植技术较好?
点评B种植技术种植的西瓜平均数离标；隹值较远，方差又较小，说明在“低水平上保持稳定”．这种稳定性未必是好事．
3—3某风景区对5个旅游景点的门票价格进行了调整，据统计．调价前后各景点的游
客人数基本不变，有关数据如下表所示：
景点 A B C D E 原价（元） 10 10 15 20 25 现价（元） 5 5 15 25 25 平均日人数（千人） 1 1 2 3 2 (1)该风景区称调整前后5个景点门票的平均收费不变，平均日收入持平，问风景区是
怎样计算的．
(2)另一方面．游客认为调整收费后风景区的平均日总收入相对于调价前，实际上增加
了9．4％，问游客是怎样计算的．
(3)你认为风景区和游客哪一个说法较能反映整体实际?
点评风景区的理由显然有点以偏概全，游客的说法则比较全面公正．不过，这里有个条件：“调价前后各景点的游客人数基本不变”，也可能实际情况是由于有的景点人数过分拥挤，风景区出于保护自然资源的考虑，适当提高“热门”景点的票价，同时降低其他景点的票价．达到分散游客、保护资源的目的，还是必要的．
内容提炼
1．本节内容可以概括为“两频”、“两差”和“两图”．
①两频：频数和频率．
频数——每个数据出现的次数；
频率——频数与数据总数的比(常表示为小数或百分数)，反映了该数据在总体中的分量．
②两差：方差和标准差．
方差——可以简单地理解为“差方的平均数”，即各数据与平均数之差的平方的平均数．计算方差时不要忘了除以数据个数n．
标准差——方差的非负平方根．
③两图——频数分布直方图和频率分布直方图，用来显示数据的分布情况．两图的区别仅在于纵轴的意义不同：频数分布直方图的纵轴表示频数，频率分布直方图的纵轴表示
2．几个有待明确的问题．
①既然提出了方差，为什么还要提出标准差?
首先是因为方差计算的是平方数，它把数据偏离平均数的程度从一次“夸大”为二次，
通过开方运算再使它“变回”一次；其次，方差的单位是数据单位的平方(例如k92)，往往不好理解，而标准差的单位就是数据单位，便于理解．
②利用直方图可以获得哪些信息?
直方图最重要的作用是可以形象地感知在从小到大、长度相等的每个间隔内各组数据的大致分布情况，数据分散还是集中，大部分数据集中在什么范围内，等等.
此外利用直方图：可以求出中位数在哪一组范围内，该组两端的平均值(称为“中值”)可以当作中位数的近似值；各组中值分别乘以该组的频率，再把这些乘积相加，可以作为平均数的近似值．
习题精练
1．下列说法中，错误的是()
(A)数据1，1，1，2，2的中位数是1；
(B)一1，0，1，2的方差是1．25；
(C)在频率分布表中，各组的频率之和等于1；
(D)频率分布直方图中，小长方形的高表示频率．
2．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均是9．2环，若方差分别为，，，，则成绩最稳定的是()
(A)甲；(B)乙；(C)丙；(D)丁．
3．小明调查了本班同学的身高情况，画出了频数分布图，下列结论中，不正确的是（）
(A)全班总人数37人；
(B)身高155厘米～160厘米的人数最多；
(C)学生身高的众数是14；
(D)体重在165厘米～170厘米的人数占全班总人数的兰．
4．一组数据3，4，5，5，8的方差是．
5．某校篮球队的五名主力队员的身高如下表所示：(单位：cm)
该队主力队员身高的标准差是cm．
6．若l，x,2，3的平均数是5，则这组数据的方差是．
7．甲乙两人比赛飞镖，甲5次成绩平均环数为8环，方差是3，乙5次所得环数为：8，8，5，9，10．的成绩较稳定(填“甲”或“乙”)．
8．某校有300名学生参加民防考试，随机抽取20人的考试成绩为样本．如果样本数据落在80分～85分之间的频率是0．25，那么可以估计这次考试成绩落在80分～85分之间的该校学生人数约为人．
9．为了画全班40名学生体重的频率分布直方图，了解到40名学生的体重在39kg～65kg之间．如果确定组距为4kg。那么共分为个组;如果第一组的取值范围是38．5kg～42．5kg，那么最后一组的取值范围是．
10．为了了解中学生的身高情况，对某中学同年龄的若干名女生的身高进行了测量，将所得数据整理后，画出如下的频率分布直方图，已知图中从左到右五个小组的频率分别是0．017，0．050，0．100，0．133，0．300，第三小组的频数为6．
(1)参加这次测试的学生数是多少?
(2)身高在哪个范围内的学生人数最多?这一范围内的人数是多少?
(3)如果本次测试身高在155cm以上的为良好，那么该校学生身高良好率是多少?
11．某校九年级学生共900人，为了解这个年级学生的体能，从中随机抽取部分学生进行1分钟的跳绳测试，并指定甲、乙、丙、丁四名学生对这次测试结果的数据作出整理．下面是这四名学生提供的部分信息：
甲：将全体测试数据分成6组绘成如下的直方图；
乙：跳绳次数不少于l05次的学生占96％；
丙：第①、②两组频率之和为0．12．且第②组与第⑥组频数都是12；
丁：第②、③、④组的频数之比为4：17：15．
根据这四名学生提供的材料,请解答如下问题：
(1)这次跳绳测试共抽取多少名学生?各组有多少人?
(2)如果跳绳次数不少于135次为优秀，根据这次抽查的结果，估计全年级达到跳绳优秀的人数为多少?
(3)以每组的组中值(每组的中点对应的数据)作为这组跳绳次数的代表,估计这批学生1分钟跳绳次数的平均值．
12．如图是以某校部分学生的体重为样本绘制的频数分布直方图，已知从左至右前四组的频率依次为0．05、0．10、0．25、0．35，结合该图提供的信息回答下列问题：
(1)参加测量体重的学生共名；
(2)体重不低于58k的学生有人；
(3)如果将该图改为频率分布直方图，那么
第3组对应的纵坐标的数值为
(即替换35的那个数值)；
(4)如果这批数据的中位数是53kg，那么这
些学生中体重为53kg的至少有人。至多有人．
互动探究
(1)已知一组数据的平均数是；，每个数据平方的平均数是，用和来表示方差S2．
(2)利用第(1)小题得到的汁算方法解决以下问题．
有甲乙两台车床一起加工设计规格为152．0nmm的零件，随机抽查了每台机床加工的各5个零件，测得尺寸如下：
机床甲：151．7，151．8，152．0，152．1，152．4．
机床乙：151．7，151．9，152．0，152．2，152．4．
试比较甲乙两名机床的加工精度与稳定性．
2015/8/7
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