第三章圆2圆的对称性圆的对称性及特性圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.想一想
1圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心.用旋转的方法可以得到:一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合.
这是圆特有的一个性质:圆的旋转不变性●OA′B′圆心角圆心角顶点在圆心的角(如∠AOB).弦心距过圆心作弦的
垂线,圆心与垂足之间的距离(如线段OD).如图,在⊙O中,分别作相等的圆心角和∠AOB和∠A′OB′,将其中的一个旋转一个角度
,使得OA和O′A′重合.想一想2你能发现那些等量关系?说一说你的理由.●O●OAB┓D●OA
B┓DABABABABABAB┓DDDDDD′A′B′┓D′圆心角圆心角,
弧,弦,弦心距之间的关系定理如图,如果在两个等圆⊙O和⊙O′中,分别作相等的圆心角和∠AOB和∠A′O′B′,固定圆心,将其中
的一个旋转一个角度,使得OA和O′A′重合.想一想3●OA′B′●O′AB你又能发现那些等量关系?
说一说你的理由.●OA′B′●O′ABABABABABABAB┓D′┓D′┓D′
┓D′圆心角,弧,弦,弦心距之间的关系定理在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等.
议一议4●OAB┓DA′B′D′┏●OAB┓D●O′A′B′D′┏由条件:①∠
AOB=∠A′O′B′②AB=A′B′⌒⌒③AB=A′B′④OD=O′D′可推出拓展与深化在同圆或等圆
中,如果轮换下面五组条件:①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距,你能得出什么结论?与同伴交流你的想法和理由.
猜一猜5●OAB┓DA′B′D′┏●OAB┓D●O′A′B′D′┏如由条件:②AB=
A′B′⌒⌒③AB=A′B′④OD=O′D′可推出①∠AOB=∠A′O′B′推论在同圆或等圆中,如果①两个圆心角
,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.猜一猜6●OAB┓
DA′B′D′┏●OAB┓D●O′A′B′D′┏如由条件:②AB=A′B′⌒⌒③AB=A′
B′④OD=O′D′可推出①∠AOB=∠A′O′B′化心动为行动1.已知A,B是⊙O上的两点,∠AOB=1200,C是
的中点,试确定四边形OACB的形状,并说明理由.随堂练习72.利用一个圆及若干条弦分别设计出符合下列条
件的图案:(1)是轴对称图形但不是中心对称图形;(2)即是轴对称图形又是中心对称图形.3.日常生活中的许多图案或现象都与圆的
对称性有关,试举几例.⌒AB1.圆的旋转不变性圆是_________图形,而且圆绕圆心旋转任意一个角度都能与原图形____
_.2.圆心角___________的角叫做圆心角.中心对称重合顶点在圆心3.圆心角、弧、弦的关系在同圆或等圆中,两
条弧、两条弦、两个圆心角中有_____量相等,那么它们所对应的其余各组量也_____.即:(1)在同圆或等圆中,相等的圆心角所对
的弧_____,所对的弦也_____.(2)在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角_____,所对的弦也_____
.(3)在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角_____,所对的弧也_____.一组相等相等相等相等相
等相等相等【思维诊断】(打“√”或“×”)1.圆既是轴对称图形又是中心对称图形.()2.相等的圆心角所对的弧相等
.()3.顶点在圆上的角叫圆心角.()4.相等的弦所对的弧相等.()5.等弧所对的弦相等.()6.
弦相等所对的圆心角相等.()√×××√×知识点一圆心角及弧、弦、圆心角的关系【示范题1】下列说法正确吗？
(1)如图1，小明说：“因为AB和A′B′所对的圆心角都是∠O，所以AB＝A′B′”.(2)如图2，小华说：“因为AB
=CD，故AB所对的AB等于CD所对的CAD”.⌒⌒⌒⌒⌒⌒【解题探究】(1)什么是等弧?等弧所在的圆的半
径有什么关系?提示:等弧是指能完全重合的两条弧,等弧所在的圆的半径相等.(2)一条弦对着几条弧?这条弦所对的弧相等吗?提示:
一条弦对着两条弧,这两条弧不一定相等.【尝试解答】(1)AB和A′B′所在的圆的半径不相等，这两条弧不相等，小明的说法不正确.
(2)AB是劣弧，CAD是优弧，这两条弧不相等，小华的说法不正确.⌒⌒⌒⌒【想一想】在同圆或等圆中两弦相等,若要使它
们所对的弧一定相等,应限定怎样的条件?提示:在同圆或等圆中弦相等,其所对的弧不一定相等,若要使其一定相等,还应限定该弦所对的弧要
么是优弧,要么是劣弧.【备选例题】如图，以□ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作⊙A，分别交AD，BC于E，F，延长BA交⊙A于
G，求证：GE＝EF⌒⌒【证明】连接AF,∵AD∥BC，∴∠3=∠B，∠1=∠2.又AB=AF，∴∠B=∠2，∴∠
3=∠1，∴GE=EF⌒⌒【方法一点通】“知一推二”及两限定在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦这三组量中有
一组量相等,其余的各组量也相等,简称“知一推二”.1.当知两个圆心角相等时,必须限定同圆或等圆.2.当两弦相等推圆心角相等时,
必须限定同圆或等圆.知识点二弧、弦、圆心角的应用【示范题2】如图，在☉O中，C，D是直径AB上两点，且AC=BD，MC⊥A
B，ND⊥AB，M，N在☉O上.求证：AM=BN⌒⌒【思路点拨】连接OM，ON，证明Rt△OMC和Rt△OND全等，可得∠
AOM=∠BON，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，可得AM=BN⌒⌒【自主解答】连接OM，ON，则OM=ON.
∵MC⊥AB，ND⊥AB,∴∠OCM=∠ODN=90°,由OA=OB，AC=BD，得OC=OD，∴Rt△OMC≌Rt△OND
(HL)，∴∠AOM=∠BON，∴AM=BN⌒⌒【想一想】在同圆或等圆中,较大的弦所对的劣弧也较大吗?提示:通过作图的
方法,可把两条弦的一个端点放在一起,不难得出在同圆或等圆中,较大的弦所对的劣弧也较大.【微点拨】1.在同圆或等圆中,证明两条弧
相等,可证明这两条弧所对的圆心角相等.2.证明两个角相等可利用同一个圆的半径不变证明三角形全等得到.【方法一点通】同一圆中证明两弦相等的“四种方法”1.若两弦位于两个不同的三角形,证明两弦所在的三角形全等.2.若两弦位于同一个三角形中,根据等角对等边证明两弦相等.3.在同一圆中证明两弦所对的弧相等(同一类弧).4.证明两弦所对的圆心角相等. |
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