高中数学第2讲(必修1)函数的概念、解析式及定义域

新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞特级教师王新敞源头学子[e-mail]
人教A版高中数学·必修章节复习第2讲函数的概念、解析式及定义域知识体系理解函数的概念;掌握简单
的定义域的求法；掌握求函数解析式的常用方法.因为两个函数的定义域相同、对应法则也相同时为同一函数
，而与自变量选用的字母无关，故选C.1.下列函数中，与y=x是同一函数的是()CA.y=
B.y=C.y=3D.y=2log2x［-2,1)∪(1,4)2.函数y=
+lg(4-x)的定义域是.由x+2≥0x-1≠0
4-x>0,得-2≤x<1或1log3(x2-1)(x≥２)，则f［f(2)］的值为()CA.0B.1
C.2D.3f(2)=log3(22-1)=1,f［f(2)］=f(1)=2e1-1=2.选C
.4.f(x)是反比例函数,且f(-3)=-1,则f(x)=.设f(x)=，则由已知得-1=，得
k=3，所以f(x)=.f(x)=3.设5.已知f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，若作代换x=g(t)，则不改
变函数f(x)的值域的代换是()AA.g(t)=log2tB.g(t)=|t|C.g(t
)=costD.g(t)=et因为f(x)中的x∈R，而g(t)=lo
g2t∈R，故选A.1.函数的概念设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的①
，在集合B中都有②的数f(x)和它对应，那
么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,其中x的取值范围A叫函数的③,④
叫函数的值域，值域是⑤.的子集.任意一个数x唯一确定
定义域{f(x)|x∈A}集合B2.函数的三要素⑥
为函数的三要素.两函数相同，当且仅当⑦
.3.函数的表示法⑧
.定义域、对应法则、值域定义域和对应法则完全相同解析法、图象
法、列表法4.映射的概念设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的⑨
，在集合B中都有⑩的元素y与之对应，那么应称对
应f:A→B从集合A到B的一个映射.任意一个元素x唯一确定①任意一个数x;②惟一确定；③定义域；④{f(x)|x∈A}
;⑤集合B；⑥定义域、对应法则、值域；⑦定义域和对应法则完全相同;⑧解析法、图象法、列表法；⑨任意一个元素x;⑩惟一确定
（1）已知函数f(x)的定义域是[0,1]，则f(x2-1)的定义域是
；（2）若函数y=的定义域为R,则实数k的取值范围是
.题型一函数的定义域问题例1[-,-1]∪[1,](-
2,2)（1）由0≤x2-1≤11≤x2≤2-≤x≤-1或1≤x≤.所以f(x
2-1)的定义域是[-,-1]∪[1,].（2）问题等价于2x2+kx+1≠0对x∈R恒成立,所以Δ=k2
-8<0-2f(x)与f[g(x)]的定义域的关系问题要搞清，两者之间的“x”的含义不同；逆向问题注意等价转化思想.题型二函
数的解析式问题求下列函数的解析式：(1)已知二次函数满足f(3x+1)=9x2-6x+5,求f(x);
(2)已知2f(x)+f(-x)=3x+2，求f(x).例1根据条件可灵活运用不同的方法求解.(1)(方法
一)待定系数法.设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f(3x+1)=a(3x+1)2+b(3x+1)+c
=9ax2+(6a+3b)x+a+b+c.又f(3x+1)=9x2-6x+5,所以9ax2+(6a+3b)x
+a+b+c=9x2-6x+5,比较两端的系数，得9a=96a+3b=-6，a+b+c=5
所以f(x)=x2-4x+8.(方法二)换元法.令t=3x+1,则x=,代入f(3x+1)=9x2-6x+5
中，得f(t)=9()2-6·+5=t2-4t+8,所以f(x)=x2-4x+8.a=1b=
-4,c=8解得(2)直接列方程组求解.由2f(x)+f(-x)=3x+2,用-x代换此式中的x,得2f(-x)+f(
x)=-3x+2,解方程组2f(x)+f(-x)=3x+22f(-x)+f(x)=
-3x+2,得f(x)=3x+.（方法三）整体代换法.因为f(3x+1)=(3x+1)2-4(3x+1)+8，所
以f(x)=x2-4x+8.函数的解析式是函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量之间建立
的桥梁.求函数的解析式是高考中的常见问题，其特点是类型活，方法多.求函数的解析式常有以下几种方法：①如果已知函数f［f(x)］的表
达时，可用换元法或配凑法求解；②如果已知函数的结构时，可用待定系数法求解；③如果所给式子含有f(x)、f()或f(x)、f(-
x)等形式，可构造另一方程，通过解方程组求解.题型三分段函数问题
f(x+2)(x≤-1)2x+2(-12x-4(x≥1)，则f[f(-2008)]=
；0(1)已知函数f(x)=(1)f[f(-2008)]=f[f(-2006)]=…=f[f
(-2)]=f[f(0)]=f(2)=22-4=0.(2)①当x+1<0时，f(x+1)=-(x+1
)+1=-x，则原不等式可化为x+(x+1)(-x)≤1,即x<-1;②当x+1≥0时，f(x+1)=(x+1)-1=x，
则原不等式可化为x+(x+1)x≤1,即-1≤x≤-1+综合①②,得原不等式的解集为{x|x≤-1}.
－x+1(x<0)x-1(x≥0),则不等式x+(x+1)f(x+1)≤1的解集是
.{x|x≤-1}2(2)f(x)=题型三分段函数问题2
①分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集；②分段函数求解时，一定要注意自变量的取值范围，从而确定解析式；③分
类讨论时，各种条件下的解集一定要与各自的条件取交集，最后所有的解集取并集.1.已知函数的解析式求其定义
域，只要使解析式有意义即可.如分式的分母不等于零，开偶次方的被开方数不小于零，对数的真数大于零且底数大于
零而不等于１等等.2.求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、配方法、函数方程法、赋值法等.当已知函数为某类基本初等函数时用待定系数法，已知复合函数的问题时用换元法或配方法，抽象函数问题一般用赋值法或函数方程法.3.分段函数是指自变量在取值情况不同时，对应法则不同.分段函数的定义域为自变量的所有取值的集合.课后再做好复习巩固.谢谢！再见！