高中数学第1讲(必修1)集合的概念及其运算

新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞(7)常用数集的记法：①属于“∈”；②不属于“”；③确定性、
互异性、无序性；④列举法、描述法、韦恩图法；⑤空集、有限集、无限集；⑥2n;⑦2n-1;⑧且；⑨{x|x∈A且x∈B};⑩或;
{x|x∈A或x∈B};{x|x∈U且xA}(1)解集合问题时，不能忽略对解题的影响.(2)常见
的等价结论：①A∩B=AAB;②A∪B=BAB;③U(A∩B)=UA∪UB;④
U（A∪B）=UA∩UB.(3)空集的性质：A,A(A≠),∪A=A,∩A=.人教
A版高中数学·必修章节复习第1讲集合的概念及运算知识体系理解集合、子集、真子集、交集、并集、补集的概念，了解全集、空集
、属于、包含、相等关系的意义，掌握有关的术语和符号，能使用韦恩图表达集合的关系及运算.-1若a=1,则a2=1,这与集合
中元素的互异性矛盾;若a2=1，则a=-1或a=1(舍去),故a=-1符合题意.1.已知集合A={0,a,a2},且1
∈A,则a=2.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8}，集合S={1,3,5},T={3,6},则U
(S∪T)等于.S∪T={1,3,5,6},U(S∪T)={2,4,7,8}.{
2,4,7,8}3.若A、B为两个集合，A∪B=B,则一定有()A4.如图所示，设U为全集，M、N是U的两个子集，则
图中阴影部分表示的集合是.A.ABB
.BAC.A∩B=D.A=BM∩(UN)图中阴影部分是表示在M中且不在N中的部分，故可
表示为M∩(UN).5.设A={y|y=x2+1,x∈R},B={x|y=x-3},则A∩B=
.［1,+∞)因为A={y|y=x2+1,x∈R}=［1,+∞),B={x|y=x-3}=(-∞,+∞),故A∩
B=［1,+∞).1.集合的有关概念(1)一般的，某些指定的对象集中在一起就构成了一个集合，集合中的每个对象叫这个集合的元素.
(2)元素与集合的关系有两种：①,②
.属于“∈”不属于“”(3)集合中元素的性质：③
.(4)集合的表示法：④
；(5)集合的分类：按元素个数可分为⑤
.确定性、互异性、无序性列
举法、描述法、韦恩图法空集、有限集、无限集；AA;A;若AB,BC,则AC;有n个元素的集合的子集的个
数是⑥.如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫集合B的子集，记为AB(或BA).
子集性质与说明定义(6)两个集合A与B之间的关系：2n两个非空集合相等当且仅当它们的元素完全相同.对于两个集合A与
B，若AB且BA，则这两个集合相等，记为A=B.集合相等空集是任何非空集合的真子集；若AB,BC,则AC;
有n个元素的集合的真子集的个数是⑦.如果A是B的子集，且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A是集合B的真
子集，记为AB(或BA).真子集性质与说明定义2n-1CRQZNN记法复数实数集有理数集
整数集正整数集自然数集数集2.集合的运算及运算性质A∩A=AA∩=A∩B=B∩A由所有属于集合A⑧
属于集合B的元素所组成的集合，叫A与B的交集，记作A∩B，即A∩B=⑨
.交集性质与说明定义且{x|x∈A且x∈B}A∪UA=UA∩
UA=U（UA）=A设全集为U，A是U的一个子集，由U中所有不属于A的元素组成的集合叫A在U中的补集，记作
UA，即UA=补集A∪A=AA∪=AA∪B=B∪A由属于集合A⑩
属于集合B的元素组成的集合叫A与B的并集，记作A∪B，即A∪B=
.并集性质与说明定义1112或{x|x∈A或x∈B}{x|x∈U且xA}1112题型一
集合的概念例1(1)下面四个命题中，正确的有.①{0}=；②0∈；③{}；
④∈{}.③④(2)若A={(x,y)||x+2|+=0}，B={-2,-1}，则必有()A.
ABB.ABC.A=BD.A∩B=D
是空集的符号，表示不含任何元素的集合，规定空集是任何集合的子集.本例应从概念入手.（
1）{0}表示含有一个元素0的集合，{0}≠；0与是元素与集合的关系，0∈；{}表示含有一个元素的集合，故
正确的命题有③④.（2）因为A={(-2,-1)}，表示点集，B={-2,-1}，为数集，两个集合不可能有公共部分，故选D.（
1）空集虽然不含任何元素，然而在不同的问题背景下，其含意却是十分具体的，不含任何元素是的本质特征，利用此特征才能找到解题的突破
口.（2）解集合问题，首先是读懂集合语言，把握元素的特征.本题第(2)问许多同学易错选C，错因是未能正确理解集合的概念，误认为A
={-2,-1}.（1）集合P={y|y=x2}，Q={y|x2+y2=2}，则P∩Q等于()
题型二集合的运算例2A.{1}B.{(1,1),(-1,1)}C.{0,}
D.[0,]D（2）设I为全集，S1,S2,S3是I的三个非空子集，且S1∪S2∪S3=I,则下面
论断正确的是()A.IS1∩(S2∪S3)＝B.S1(IS2∩IS3)CIS1∩
IS2∩IS3=D.S1(IS2∪IS3)C集合的运算→优先化简→数形结合，按交、并、
补、子集概念依次进行.（2）（方法一）利用韦恩图分析，可知选C.（方法二）取I={1,2,3,4.5},S1={1,2,
3},S2={2,3,4},S3={3,4.5},检验知只有C成立.故选C.（1）因为P=[0,+∞)，Q=[
，]，所以P∩Q=[0,]，故选D.(1)读懂集合语言，化简集合，才能找到解题的突破口.(2)解
决集合问题，常用韦恩图直观地表示.(3)理解补集的意义：UI指在全集U中但不在集合A中的元素组成的集合.
已知集合M={x|x2+x-6=0},N={x|ax-1=0}，且M∩N=N,求实数a的值.
N∩M=NNM，根据子集的概念，集合N可以是空集，所以要对a的值进行分类讨论.由x2+x-6=0，得x=2
或x=-3,所以M={2,-3}.N∩M=NNM.(ⅰ)当a=0时，N=，此时NM；（ⅱ）当a≠0时，N={
}.由NM，得或即或故所求实数a的值为0或或.
解析点评题型三集合的创新与应用（1）定义集合运算：AB={z|z=xy，x∈A，y∈
B}，设A={1,2}，B={0,2}，则集合AB的所有元素之和为()例3A.0
B.2C.3D.6D（2）某实验班有21个学生参加数学竞赛，17个学生参加物理竞赛，
10个学生参加化学竞赛，他们之间既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有12人，既参加数学竞赛又参加化学竞赛的有6人，既参加物理竞赛又参加化学竞赛的有5人，三科都参加的有2人.现在参加竞赛的学生都要到外地学习参观，问需要预订多少张火车票?（1）因为z=xy，x∈{1,2}，y∈{0,2}，故xy=0,2,4，从而AB={0,2,4}，故集合AB的所有元素之和为6.故选D.（2）该班学生参加竞赛如图所示，集合A、B、C、D、E、F、F中的任何两个无公共元素，其中G表示三科都参加的学生集合，card(G)=2.