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高中数学第8讲(必修1)函数与方程
2015-08-22 | 阅:  转:  |  分享 
  
新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞特级教师王新敞源头学子wxckt@126.com
人教A版高中数学·必修章节复习第8讲函数与方程结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程的根的联系
,判断一元二次方程根的存在性及根的个数.结合具体函数的图象,能用二分法求近似解.1.若函数f(x)=ax-b(b≠0)有一个零点
3,那么函数g(x)=bx2+3ax的零点是.0,-1因为函数f(x)
=ax-b(b≠0)的零点是3,所以x=3是方程ax-b=0的根,所以b=3a.将它代入函数g(x)=bx2+3ax中,可得g(x
)=bx(x+1),令g(x)=0,得x=0或x=-1.2.已知函数f(x)=x3-x-1仅有一个正零点,则此零点所在区间是(
)CA.(3,4)B.(2,3)C.(1,2)D.(0,1)
利用零点存在的判定条件,判断零点存在的区间.由于f(0)=-1<0,f(1)=-1<0,f(2)=5>0,f(3)=23
>0,f(4)=59>0.根据选择支只有区间(1,2)满足.3.函数f(x)=3ax+1-2a,在区间(-1,1)上存在一个零点
,则a的取值范围是()CA.-1C.a>或a<-1
D.a<-1令f(-1)·f(1)<0,得a>或a<-1,故选C.4.已知函数f(x)=()x-log2x,若
实数x0是方程f(x)=0的解,且0C.恒为负值D.不大于0因为f(x)在定义域(0,+∞)上单调递减,当x→0时,f(x
)→+∞.因为f(x0)=0,所以f(x)=0只有一个实根.所以当00恒成立,故选A.5.设a、
b、c均为正数,且2a=loga,()b=logb,()c=log2c,则a、b、c的大小关系是
.c>a>b考察函数f(x)=2x与g(x)=logx的图象的交点知,,c>1,所以c>a>b.1.函数的零点(1)对于函数y=f(x),我们把使①
.叫做函数y=f(x)的零点.(2)方程f(x)=0有实根函数y=f(x)的图象②
函数y=f(x)③.(3)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条
曲线,并且④,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有⑤,即存在c
∈(a,b),使得⑥,这个c也就是方程f(x)=0的根.f(x)=0的实数x与x轴有交点有零点f(
a)·f(b)<0零点f(c)=02.二分法(1)对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)
,通过不断地把函数f(x)的零点所在区间⑦,使区间的两个端点逐步逼近⑧,进而得到
零点近似值的方法叫做⑨.(2)给定精确度ε,用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下:一分为二
零点二分法第一步,确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ε;第二步,求区间(a,b)
的中点c;第三步,计算f(c);(ⅰ)若f(c)=0,则c就是函数的零点;(ⅱ)若f(
a)·f(c)<0,则令b=c(此时零点x0∈(a,c));(ⅲ)若f(c)·f(b)<0,则令a=c(此时
零点x0∈(c,b)).第四步,判断是否达到精确度ε:即若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b);否则
重复第二、三、四步.题型一函数零点的判断例1(1)已知区间①(-2,-1),②(-1,0),③(0
,1),④(1,2),⑤(2,3),则三次方程x3+x2-2x-1=0在哪些区间上有根?(2)判断方程3x+x2-2x-1
=0根的个数及符号.(1)令f(x)=x3+x2-2x-1,则f(-2)·f(-1)=(-1)×1=-1<0
,所以方程在(-2,-1)上有根,同理②④皆可,故所求区间为①②④.(2)令y=3x,y=-x2+2x+1=-(x+1)2+
2,则原方程的根即为两函数图象交点的横坐标,如图,两交点的横坐标,一个小于0,一个等于0,故原方程有两个根,其一为负,其一为0.
(1)当方程的根可能存在的区间已知时,用零点存在定理判断即可,如(1);当根可能存在的区间未知时,要
构造函数,观察图象.研究一个函数的零点,还是两个函数图象的交点,前提是函数能否易于作出图象.再如求x+|lgx|=2的实根的个数,
可考察函数y=|lgx|,y=2-x的交点的个数.(2)两函数图象交点个数问题,常转化为一个函数的零点个数问题,进而由零点存在定
理判断,必要时要考察函数的单调性.题型二函数零点的性质的应用已知a∈R,函数f(x)=x2+2ax
+1,如果函数y=f(x)在区间[-1,1]上有零点,求a的取值范围.例2①Δ=0a=±1,此时当a=1时,x=-1
∈[-1,1];当a=-1时,x=1∈[-1,1],合乎题意.②f(x)在区间[-1,1]上只有一个零点且不是f(x)=0的重根
,此时有f(-1)f(1)<0a>1或a<-1.③函数f(x)在区间[-1,1]上有两个相异实根,
Δ>0f(-1)≥0f(1)≥0
-1<-<1综上知,函数f(x)=x2+2ax+1在[-1,1]上有零点,则a的取值范围是(-∞,
-1]∪[1,+∞).a∈.则有1.二次函数零点的个数就是方程ax2+bx+c=0的实根个数,一般的,由Δ>0、Δ=0、
Δ<0判断.2.在闭区间上零点的个数应由零点判定定理及函数图象性质一并实施.题型三二分法例3
用二分法求函数f(x)=x3-x-1在区间[1,1.5]内的一个零点(精确度为0.1).由于f(1)=1
-1-1=-1<0,f(1.5)=3.375-1.5-1=0.875>0,所以f(x)在区间[1,1.5]内存在零点,
取区间[1,1.5]作为计算的初始区间.用二分法逐次计算列表如下:因为|1.375-1.3125|=0.0625<0.1
,所以函数的零点落在区间长度小于0.1的区间[1.3125,1.375]内,故函数零点的近似值为1.3125.0.0625[1
.3125,1.375]f(1.3125)<01.31250.125[1.25,1.375]f(1.375)>01.3
750.25[1.25,1.5]f(1.25)<01,250.5[1,1.5]|an-bn|零点所在区间中点函数
值符号端(中)点坐标1.求函数零点的近似值的关键是判断二分法求值过程中,区间长度是否小于精确度ξ,当区间长度小于精确度ξ时,运算结束,而此时取的中点值即为所求,当然也可取区间端点的另一个值.2.“精确度”与“精确到”是两个不同的概念,精确度最后的结果不能四舍五入,而精确到只需区间两个端点的函数值满足条件,即取近似值之后相同,则此时四舍五入的值即为零点的近似解.
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(本文系云师堂首藏)