Gothedistance
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别业岁月悠长，有暗香盈袖。冗长了日与夜，空掷了乐与悲。遂
撰文三两卷，遣尽浮光，以飨后学。谨祝诸位：学业有成，前程似锦。
编者：李健，匠人，喜于斗室伏案两三卷，愁与身在红尘浪荡无
涯。写过一些铅字附庸了世态，跑过几个码头了断了青春。如今归去
来兮，只为了挥洒一方三尺讲台。
第3讲平面向量数量积及应用
一．知识梳理
1．平面向量的数量积
（1）平面向量的数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为?，吧数量
cosab?叫做a和b的数量积（或内积）．即=cosabab?，规定00a?．
（2）平面向量数量积的几何意义：数量积ab等于a的模||a与b在a方向上的投影
||cosb?的乘积（或b的模||b与a在b方向上的投影||cosa?的乘积）．
2．向量数量积的运算律
（1）abba?．
（2）()()()ababab?????．
（3）()abcacbc???．
3．数量积的有关结论
已知非零向量1122(,),(,)axybxy??．
性质几何表示坐标表示
模||aaa?22
11||axy??
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夹角cos
||||abab??
1212
22221122cos
xxyyxyxy?????
ab?的充要条件0ab?12120xxyy??
||ab与||||ab的关系||||||abab?222212121122||xxyyxyxy????
三．要点整合
1．辨明三个易误点
（1）①0与实数0的区别：000,()00,000aaaa????????；②0的方向是
任意的，并非没有方向，0与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系．
（2）0ab?不能推出0a?或0b?，因为有可能ab?．
（3）(0)abaca??不能退出bc?，即消去律不成立．
2．有关向量夹角的两个结论
（1）两个向量,ab的夹角为锐角，则有0ab?，反之不成立（夹角为0时不成立）．
（2）两个向量,ab的夹角为钝角，则有0ab?，反之不成立（夹角为?时不成立）．
三．典例精析
1．平面向量数量积的运算
向量数量积的两种算法
（1）当已知向量的模和夹角时，利用定义法求解，即=cosabab?．
（2）当已知向量的坐标时，利用坐标法求解，即1212abxxyy??．
运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵活选择
公式．
【例题1】
（1）（2015河北沧州）已知平面向量1122(,),(,)axybxy??，若||2a?，||3,6bab???，
则11
22
xyxy??的值为（）
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2.3A2.3B?5.6C5.6D?
（2）（2014江苏）如图，在平行四边形ABCD中，已知8,5ABAD??，
3,2CPPDAPBP??，则ABAD的值是．
【变式1】
（1）（2013湖北）已知点(1,1),(1,2),(2,1),(3,4)ABCD???，则向量AB在CD方向上的
投影为（）
32.2A315.2B32.2C?315.2D?
（2）（2015贵州贵阳）如图，在矩形ABCD中，2,2ABBC??，点E为BC的中点，
点F则边CD上，若2ABAF?，则AEBF的值是（）
.2A.2B.0C.1D
（3）（2015广东梅州）已知向量(2,2),(4,1)OAOB??，在x轴上存在一点P使APBP有
最小值，则P点的坐标是（）
.(3,0)A?.(2,0)B.(3,0)C.(4,0)D
2．平面向量的模与夹角
（1）利用数量积求解模的方法
①22||aaaa??．②22||2abaabb????．③若(,)axy?，则
22||axy??．
（2）求两个非零向量的夹角要注意
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①向量数量积不满足结合律．②数量积大于0说明不共线的两个向量夹角
为锐角；数量积等于0说明两个向量夹角为直角；数量积小于0说明两个不共
线的向量夹角为钝角．
【例题2】
（1）（2014重庆）已知向量(,3),(1,4),(2,1)akbc???，且(23)abc??，则实数k?（）
9.2A?.0B.3C15.2D
（2）（2014江西）已知单位向量12,ee的夹角为?，且1cos3??，向量13ae?22e?与
123bee??的夹角为?，则cos??．
（3）已知点G是ABC的重心，120,2BACABCA???，则|ABAG?|AC?的最小
值为．
【变式2】
（1）（2015山西忻州）已知向量(2)0,||2,||2aabab????，则向量,ab的夹角为（）
.3A?2.3B?.6C?5.6D?
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