（2）一共有10个“–”号，甲先把中间两个“–”号改为“+”号，使得两边留下相同的两端，然后针对乙，不管乙怎样改号。甲只
要在与乙关于中垂线对称的位置修改同样多的“–”号即可，一定能修改到最后一个。（3）由（1）、（2）可以看出，不论n是奇
数还是偶数，甲都可以获胜。如果n是奇数，则如（1），甲开始修改正中间的一个“–”号；如果n是偶数，则如（2），
甲开始修改正中间的两个“–”号，则一定可以获胜。下课了！第二十三讲统筹与对策1．甲、乙、丙三人过桥
，桥上每次只能走两人，每人过桥后再返回需要2分钟（往返各需1分钟）,三人过桥后再返回一共至少需要分钟。解
：甲、乙先过桥，用1分钟；甲返回，同时丙过桥，又用1分钟；最后乙、丙返回，再用1分钟。一共用时
3分钟。32．从甲城往乙城运58吨货物，如果用载重5吨的大卡车运一趟，运费150元；用载重2吨的中卡车运一趟，运费80元；用载
重1吨的小卡车运一趟，运费50元，要想用最少的钱一次运完这批货物，需要大卡车辆，中卡车辆，
小卡车辆。提示：150÷5=30，80÷2=40，50÷1=50，所以多用大卡车，少用小卡
车。1111解：按每吨平均运费考虑，大卡车最便宜，所以尽量多用大卡车。用11辆大卡车运55吨货物，
剩下3吨货物用1辆中卡车和1辆小卡车即可。3．在四子连游戏中，甲、乙两人轮流在5×5的棋板上放黑白两种颜色的棋子，甲放黑子
，乙放白子，最先在横行或竖列（对角线除外）上将四子连成一线者获胜。如图，接下来是甲放棋子，请问甲应将第四个棋子放在
处才能确保必胜。E○○●BC○D●●A解：甲把第四个棋子放在A处则有三个黑子连成一线
，它们的左右都有空格，所以不管乙怎样应对，甲都能取胜。A4．喜羊羊和懒羊羊做游戏，喜羊羊说：你随便想一个数，并记住这
个数，但不要说出来。然后用这个数加上70，减去32，再减去所想的数，再乘以5，再除以2，我就能猜出答案。小朋友你能猜出最终答案是多
少吗？请说出其中的奥秘。解：设懒羊羊想的数是x，则x+70–32–x=38，最后乘以5，再除以2，得
38×5÷2=95.955．桌上放着63根火柴，甲、乙两人轮流每次取走1根、2根或3根。（1）规定谁取走最后一根谁就获胜。如
果甲先取，是否有必胜的方法？如有，请写出简要的方法；如果没有，请说出理由。（2）规定谁取走最后一根谁就算输。还是甲先取，是否有必
胜的方法？如有，请写出简要的方法；如果没有，请说出理由。解：（1）甲先取走3根火柴，剩下60根火柴，60是4的倍数，然后看乙怎么
取，甲只要保证自己取的数与乙所取的数的和是4即可。即乙如果取3、2或1根火柴，则甲分别取1、2或3根火柴。这
样使得乙面对的火柴数总是4的倍数，最后剩给乙4根火柴，这样就胜券在握。提示：从后往前倒着推理，最后一次甲给乙剩下4根火柴，则甲胜
，倒数第二次剩下8根火柴，倒数第三次剩下12根火柴，以此类推。（2）与上题思路相同，甲只要第一次取2根火柴，给乙
剩下的火柴数是被4除余1的自然数即可。然后不管乙怎样取，甲取的火柴数与乙取的火柴数之和为4，最后让乙面对最
后1根火柴。提示：与上一问的思路相同，只不过甲留给乙面对的火柴数应该都比上一次多1根，即留下5根、9根火柴，…等。6．有这样一
个游戏，把100根火柴堆在一起，两人轮流取剩下的火柴，每人每次最少取1根，最多取10根，谁能取到最后剩下的火柴，谁是胜利者，先取者
为战胜对手第一次应该先取根火柴？解：设为甲、乙两人，甲先取1根，留下99根火柴，然后不管乙怎样取，
甲取的火柴数与乙取的火柴数之和为11，这样乙再次面对的是88、77、66、…、11根火柴。这时乙怎么取，甲都能取到
最后一根火柴。17．小强、小明、小红和小蓉四个小朋友郊游回家时天色已晚，他们来到一条河的东岸，要通过一座小木桥到西岸，但是他们
四人只有一个手电筒，由于桥的载重量小，每次只能过2人，因此必须先由2人拿手电筒过桥，并由1人再将手电筒送回，再由2人拿手电筒过桥，
由1人将手电筒送回，…，直到4人都过小桥。已知：小强、小明、小红和小蓉单独过桥分别要1分钟、1.5分钟、2分钟和2.5分钟；那么4
个人都通过小桥最少要分钟。8解：每次过去2人，需要回来1人，实际上是每次往返过去1人，这样往返中让用时最
少的小强陪同即可，也就是小强与小明过河，用1.5分钟，小强返回用1分钟；接着是小强与小红过河，用2分钟，小强返
回用1分钟；最后是小强与小蓉过河，用2.5分钟，一共用时2.5+3+2.5=8（分钟）。8．在一条公路上，每
个100公里有一个仓库，共有5个仓库（见下图）。一号仓库存10吨货物，二号仓库存20吨货物，五号仓库存40吨货物，其余两个仓库是空
的。现在想把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运1公里需要0.5元的运费，那么最少要花运费
才行。提示：把货物少的仓库中的货物向货物多的仓库集中。5000解：把货物少的向货物多的仓库集中，这样运费最少。所
以把1号库的10吨货物运400公里，运费是10×400×0.5=2000（元），把2号库的20吨货物运30
0公里，运费是20×300×0.5=3000（元），所以一共要花5000元运费。9．一个探险者准备穿过长
80千米的沙漠，他一天能走20千米，最多可携带够3天用的食物和水，因此他必须在途中建立一个中转站，补充后几天所需的食物和水。这个探
险者得走天才能穿过这个沙漠。提示：80÷20=4（天），这样在途中只要找地方存下一天的食物和
水即可。6解：80÷20=4（天），不考虑食物和水供给的情况下，走4天可以穿过这个沙漠，那么在中转站里储备一天的食物和水即可。
所以第一次携带三天的食物和水走一天，在此地建一个中转站，留下够一天的食物和水，带着一天的食物和水返回出发点。再
带三天的食物和水出发，到达中转站时，用了一天的食物和水，把上次储存的食物和水补充足，就可以到达目的地了。这样一共用了6天
。10．如图所示，这是一种两个人玩的游戏，两位选手轮流在一条20×1的长带上移动筹码。每一轮都可以将四个筹码的任意一个向右移动任
意方格，但不能放在其他筹码上面或越过其他筹码。例如在图中可看到各筹码的位置，选手接下来可以将D筹码向右移动1、2或3个方格，也可以
将C筹码向右移动1或2个方格。赢家是最后移动筹码者（他移动后，四个筹码分别占据长带右顶端的四个方格，不可能再移动了）。如果筹码的位
置如图所示，接下来轮到你来移动筹码，你应该移动哪一个筹码，并采用什么策略才能确保在比赛中获胜？ABCD解：把A筹码或D筹
码向右移动2格，这时不管对方怎样移动，下面的移动原则是只要保证A、B间筹码的距离等于C、D间筹码的距离相同，就能保证胜利
。提示：从后向前考虑，最后一次移动是堵死右面所有的空格，往前一步是保留两个棋子可以移动，所以只要保留对称的图
形，就可以完成任务。11．甲、乙两人进行数学游戏，甲先开始且甲、乙两人轮流从数列1、2、3、……、27中勾掉一个数，直到只剩一个
数为止。如果所勾去的26个数之和能倍5整除，则判甲获胜，否则就判乙胜，问甲、乙二人谁有必胜的策略？说明理由。提示：从1加到27得
378，378除以5余3，乙的想法是把除以5余3的数都划去就可以了。解：1+2+3+……+27=378，378除以5的余数
是3，所以勾掉26个数之后，剩下的最后一个数如果是3、8、13、18、23这五个数之一，则甲获胜，如果剩
下的是其他的数，则乙获胜，所以乙只要在前几次勾数时把这5个数勾掉，就已经确保获胜了。12．8个小圆片分别涂有4张颜色
：红、蓝、白、黑各2个，甲、乙两人轮流把圆片放在正方体的顶点上。在所有圆片都放完之后，如果正方体上存在一条棱，其两个端点所放的圆片
同色，则甲获胜，否则乙获胜。问在这个游戏中谁有必胜的策略？解：乙有获胜的策略，不管甲拿什么颜色的圆片放在正方体的哪一个顶点处，
乙只需拿相同颜色的圆片放到甲所放顶点关于中心对称的那一个顶点处即可。13．如图所示，在一个2004×16的长方形棋盘左上
角有一个棋子（★表示）。平太和大介按如下规则下棋：（1）平太先走，以后轮流移动棋子；（2）每一次换手，棋子纵向或横向（斜向不可）
走几个方格都可以，但至少要走1个方格；（3）每个方格只允许棋子通过或停留一次；（4）轮到哪一方没有方格可走时，哪一方就失败了。
两人都在为取胜而尽力，其中必有一胜。请问：最后取胜的是平太还是大介？为什么（取胜的策略是什么）？解：平太每次都横向走到所能
走的最远的方格，这样大介只能纵向走，只要大介有路可走，平太一定有路可走。最后取胜的一定是平太。提示
：平太可以横向走到头，这样大介只能竖向走，然后平太继续横向走到头，迫使大介只能竖向走，而此时平太总有路可走。14．为
了维护武汉市某线路的交通状况，公交二公司维修站决定对经常发生故障的12辆公交车进行维修，如果请1名工人维修这12辆公交车的修复时间
分别为：12、17、14、19、8、18、29、23、44、32、36、43分钟，每辆车停开3分钟损失50元，现在由5名工作效率相
同的维修工各自单独工作，要使经济损失减到最小程度，最少损失多少元？提示：把5个人的工作量基本均分，在每个人工作时，先修用
时比较少的车辆。解：使经济损失最小，5名工人的工作时间尽量相等12+17+14+19+8+18+29+23+44+32+36
+43=295,295÷5=59.23+36=59，17+43=60，14+44=58，
8+19+32=59，12+18+29=59，第一名工人维修第一组的两辆车（23、36），他按先修所用时间
少的顺序来安排，一共停开的时间是23+(23+36)=82（分钟）。类似对第二名工人维修第二组的两辆车（1
7、43），停开的时间是17+(17+43)=77（分钟）；第三名工人维修第三组的两辆车（14、44），停开的时间是14+(1
4+44)=72（分钟）；第四名工人维修第四组的三辆车（8、19、32）停开的时间是8+(8+19)+(8+19+32)=94
（分钟）；第五名工人维修第五组的三辆车（12、18、29）停开的时间是12+(12+18)+(12+18+29)=101（分）
所以一共停开的时间是82+77+72+94+101=426(分)每停开3分钟损失50元，所以最小损失为426
÷3×50=7100（元）。15．如图所示，在3×3的棋盘上共有24条长为1的小线段。甲、乙二人轮流将小线段标数，每次标1条，甲
标0，乙标1，甲的目的是可以沿标0的线段从南到北，乙的目的是可以沿标1的线段从东到西，谁先实现目的为胜。现有4条线段标好，甲下一条
怎样标可必胜（在图中标出）。解：甲的选择使得乙只能有唯一的选法来应付，则甲可以伺机造成必胜的局面。如：甲可以先选a
，此时乙只能选b，甲选c，乙只能选d，甲选f，乙只能选g，这时甲选e，乙只能认输。因为若乙选i，则甲选h（获胜）；若乙选h，则甲选i（获胜）。16．在纸上写有一行若干个“–”号，甲、乙两人轮流将其中一个或相邻的两个“–”改为“+”号，谁能修改到最后一个“–”号，谁就获胜。如果开始有（1）9个“–”号；（2）10个“–”号；（3）n个“–”号，且规定甲先改，问谁有获胜策略？提示：还是运用对称的办法，只要对方做出回应，就在对称位置做同样的动作。解：甲有必胜的策略。（1）一共有9个“–”，甲先把中间那个“–”号改为“+”号，然后针对乙，不管乙怎样改号。甲只要在与乙关于中心对称的位置修改同样多的“–”号即可，一定能修改到最后一个。 |
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