第五讲数表1．观察下表中各数的排列规律，A是。12342610143122130420A52答案：36；解：第一行的公差是1，第二行的公
差是4；第三行的公差是9；第四行的公差是16，所以A=36。2．小明发现在2012年3月的日历某一列上的5个日期的和是80，那么这
一列上第二个日期是.答案：9；解：日历某一列的5个数成等差数列，公差是7，5个数的和是80，所以中间那个数（即平均数）是80÷5
=16，所以第二个数是16–7=9。3．下图中显示1+3+5+7+5+3+1=32+42，那么1+3+5+……+199+201+1
99+……+5+3+1=.=答案：1002+1012；解：由1、3、5、……、201组成公差为2的等差数列，一共有101项，
所以1+3+5+……+199+201+199+……+5+3+1=1002+1012。4．如下图所示，在2006年4月的日历上，A+
B+C+D=52，那么3月的第一个星期日是号。2006年3月日一二三四五六ABCD答案：5；解：A、B、C、D组成公差为8的等差
数列，且B+C=52÷2=26，C–B=8，所以C=17，B=9，A=1，第一个星期日是5号。5．将1~1001各数按下列格式排列
，如下图所示，框出9个数，要使这9个数之和等于：（1）1986；（2）2529；（3）1989，能否办到？请说出理由。答案：1
989；解：每九个数的平均数是中间那个数，所以这九个数的和一定能被9整除，对于1986，1+9+8+6=24，不能被9整除；对于2
529，2529÷9=281，又281÷7=；即中间数281位于第41行的第一个数，它的左边无法再有别的数，所以2529也不可以；
对于1989，19899=221，又221÷7=，所以1989可以是表中六个数的和。6．某月的日历如下图所示，若用2×3（2行3
列）的长方形框出6个数，使它们的和是81，那么这6个数中最小的是.1234567891011121314151617181920
2122232425262728293031答案：9；解：最小的数如果是a，它后面两个分别是a+1，a+2，而它们下面的三个数分别
是a+7，a+8，a+9，于是这六个数的和是6a+27=81，所以6a=54，a=9.7．下图是2008年4月份的日历表，其中有一
个数周边的8个数的和是136，这个数是.2008年4月日一二三四五六123456789101112131415161718192
021222324252627282930答案：17；解：周边8个数的和是中间这个数的8倍，136÷8=17.所以这个数是17
.8．下图的数阵是由77个偶数排成的，其中20、22、24、36、38、40这六个数由一个平行四边形围住，它们的和是180，把这个
平行四边形沿上下、左右平移后，又围住数阵中的另外六个数，如果这六个数的和是660，那么它们当中位于平行四边形左上角的那个数是.答
案：100；解：平行四边形向下移动一行，则每个数比原来大14，一共是14×6=84，平行四边形向右移动一行，则每个数比原来大2，一
共是2×6=12，平行四边形向左移动一行，则每个数比原来小2，一共是2×6=12，660–180=480，480÷84=5，或48
0=84×6–24所以平行四边形向下移动6行，再向左移动2列即可，此时左上角那个数为20+6×14–2×2=100。9．观察下列正
方形数表：表1的所有数的和为1，表2的所有数的和为17，表3的所有数的和为65，……，（除第一个数表外，每个正方形数表比前一个正方
形数表多一层方格，增加的一层方格中所填的数比前一数表的最外层方格内的数大1，其余方格内的数不变），设表n中所有数的和比表m的所有数
的和大400，m，n为大于1的正整数，那么表m的所有数的和是。答案：161；解：根据数表的构造规律，容易得到：表12345678
9…所有数的和1176516132156189713451921…表7中的数比表6中的数大336，表8中的数比表7中的数大448，
表9中的数比表8中的数大576，再往后差距越来越大，没有必要再研究了。在前面这几个表中，只有表6中的数561比表4中的数161大4
00，所以表m中的数的和是161。10．把自然数从1开始排成下图所示的三角阵，第一列为1；第二列为2、3、4；第三列为5、6、7、
8、9，每一列比前一列多排两个数，依次排下去，“以1开头的行”是这个三角阵的对称轴，在以1开头的行中如果我们把13视为“第1项”，
则“第2009项”的数除以7的余数是.…5…26…137…48…9……答案：0；解：研究规律，3=1+2，7=3+4，13=
7+6，所以下一项是13+8=21，再往下是21+10=31，把13作为第一项，那么第2009项是13+(8+10+12+……+
4022)=4046133，这个数除以7的余数是0.11．1+2=34+5+6=7+89+10+11+12=13+14+15若依
上述形式继续做下去，请问第80行的最后一个数是。答案：6560；解：第一行3个数，第二行5个数，第三行7个数，所以第80行是16
1个数，80行中一共有3+5+7+……+161=(3+161)×80÷2=6560.即第80行的最后一个数是6560。12．如下图
所示，观察这个数表并找出它的规律，这个数表第15行的第一个数是.124579101214161719212325………………答案
：197；解：除了第一行外，每行都是公差为2的等差数列，而每行的最后一项都是该行行数的平方，即4=22，9=32，16=42，25
=52，……，所以第15行的最后一个数是152=225，往前数到第一个数是225–14×2=197。13．将连续的奇数1、3、5、
7、9、11、……、按5个一行排成如下的数表：13579111315171921232527293133353739……………（
1）十字框中的五个数的平均数与中间数有什么关系？（2）若将十字框上下左右平移，可框住另外五个数，这五个数的和能等于2011吗？能等
于2015吗？能等于2045吗？若能，请求出这五个数，若不能，请说明理由。答案：（1）平均数对于中间数；（2）能等于2015；解：
（1）五个数的平均数等于中间数的值；（2）这五个数的和一定能被5整除，2011不能被5整除，所以2011不符合条件；2015÷5
=403，它的上面是393，下面是413，左面是401，右面是405，所以可以是2015；2045÷5=409，它是位于最右面一列
的数，它的右面没有其他数字了，所以2045不符合条件。14．将正整数按下表的顺序：①最下面一行从左到右第十个数是；②标有字母
a的位置应填.16a1117712184813192591420136101521答案：（1）55；（2）73；解：（1）在最
下面一行中3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，15=1+2+3+4+5，所以第10个数是1+2+3+4+……+
10=55；（2）倒数第二行的规律是5=2+3，9=2+3+4，14=2+3+4+5，……，倒数第三行的规律是8=4+4，1
3=4+4+5，19=4+4+5+6，……，倒数第四行的规律是12=7+5，18=7+5+6，25=7+5+6+7，……，倒数
第五行的规律是17=11+6，24=11+6+7，……，所以倒数第六行应该是第一个数依次加上7，8，9，……，所以a=16+7+8
+9+10+11+12=73。15．在下列数表中，数以一定的规律排列，且从左到右以及从上到下都是无限的。111111…123456
…1357911…147101316…159131721…1611162126……………………此表中主对角线上数列1、2、5、10
、17、……的第12项是；数2011在整张数表中共出现次。答案：122；16；解：主对角线上的数的规律是1，2=1+1，
5=1+1+3，10=1+1+3+5，17=1+1+3+5+7，所以第12项是1+1+3+5+7+9+11+13+15+17+1
9+21=122，2011–1=2010，数表中各行都是等差数列，它们的公差分别是0，1，2，3，4，……，2010=2×3×5×
67，它的约数分别是1，2，3，5，6，10，15，30，67，134，201，335，402，670，1005，2010共16个
。所以2011分别出现在第2，3，4，6，7，11，16，31，68，135，202，336，403，671，1006，2011行
中。16．将自然数1、2、3、……、10000排成下图所示的100×100正方形数表，123…100101102103…20020
1202203…300……………990199029903…10000从表中任意选定一个数，随后删掉该数所在的行和列，再对剩下的99×99的正方形数表进行同样的处理，如此下去，进行了100次选数程序，那么被选中的100个数的和是.答案：500050；解：我们可以取主对角线上的所以数即1，102，203，……，1000即可。1+102+203+304+……+9898+10000=(1+10000)×100÷2=500050. |
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