第十二讲相遇问题1．甲、乙两人分别以每小时4.5千米，5.5千米的速度从相距55千米的两地同时向对方出发地前进，当两人从面对面相距13千米
到背对背相距13千米时，他们共走了小时。答案：2.6；解：两人从面对面相距13千米到背对背相距13千米时，两人共走了26千米，两
人的速度和是10千米/小时，所以他们共走了26÷10=2.6（小时）。2．摩托车和自行车从相距298千米的甲、乙两地相向而行，摩托
车每小时行52千米，自行车每小时行18千米，途中摩托车发生故障，修理了1小时，然后继续前进，两车相遇时，摩托车行了千米。答案：2
08；解：两地相距298千米，中间摩托车修车用了1小时，298+52=350千米。速度和是52+18=70千米/小时，所以应该是3
50÷70=5（小时），而摩托车实际走了4小时，52×4=208（千米）。3．A、B两地相距560千米，客车与货车同时从A站出发驶
向B站，客车每小时行80千米，货车每小时行40千米，客车到达B站停留1小时，又以原速度返回A站，两车相遇的地点离A站多少千米？答案
：400；解：客车到达B地需要560÷8=7（小时），再停留1小时，此时共8小时，8小时，货车走了40×8=320（千米），此时货
车距离B站560–320=240（千米）。他们的速度和是120千米/小时，所以再用240÷120=2（小时）相遇。货车共走了8+2
=10（小时），此地距A站40×10=400（千米）。4．甲、乙两人从相距60千米的两地同时相向而行，6小时后相遇，如果两人的速度
每小时各增加1千米，那么相遇地点距离前一次相遇地点1千米，甲每小时行千米，乙每小时行千米。答案：4；6；或6；4；解：从
相距60千米的两地同时相向而行，6小时后相遇，所以速度和为60÷6=10（千米），若速度各增加1千米，则速度和是12千米/小时，相
遇需要60÷12=5（小时）。设甲的速度为x，那么可以得到两种情况：（1）6x=5(x+1)+1，解得x=6，即甲的速度是6千米/
小时，乙的速度是4千米/小时；（2）6x=5(x+1)–1，解得x=4，即甲的速度是4千米/小时，乙的速度是6千米/小时；5．A、
B两地相距2000米，小明早起去B地办事，同时他的宠物狗花花也从A地出发，在A、B两地间不停的来回跑动，如果小明每分钟走50米，花
花每分钟跑200米，那么在小明到达B地的过程中，花花和小明共遇到次。（包括花花和小明迎面相遇以及花花从背后追上小明两种情况。）答
案：3；解：小明从A地到B地需要2000÷50=40（分钟），在40分钟内花花跑了200×40=8000米，也就是跑了4趟（2个来
回），不算最后他们同时从A地出发的1次，在中间相遇是3次。6．有一条圆形跑道长600米，小明和小林在同一地点同时出发，沿跑道背向而
行，小明每分钟前行90米，小林每分钟前行60米，经过20分钟，两人相遇了次。答案：5；解：两人的速度和是90+60=150（米/
分），20分钟一共走了150×20=3000（米），3000÷600=5（圈）。所以两人相遇了5次。7．甲、乙两人分别从A、B两地
同时出发，相向而行，如果两人都按原定计划行进，3小时可以相遇。现在甲比原计划每小时少走1千米，乙比原计划每小时少走0.5千米，结果
两人用了4小时相遇，A、B两地相距千米。答案：18；解：原计划3小时走完，现在实际是4小时走完，所以速度和的比例是4：3，又知速
度和相差1.5千米/小时，所以原来的速度和是1.5×4=6千米/小时，所以A、B两地相距6×3=18（千米）。8．小张和小王早
晨8点整同时从甲地出发去乙地，小张开车，速度是每小时60千米，小王步行，速度是每小时4千米，如果小张到达乙地后停留1小时立即沿原路
返回，恰好在10点整遇到正在前往乙地的小王，那么甲、乙两地之间的距离是。答案：34；解：由题意，他们相遇时，一共用时是2小时，此
时小张只开了1小时车，行程是60千米，小王走了2小时，行程是8千米，60+8=68，而他们合在一起实际走了2个甲、乙两地之间的距离
，所以甲、乙两地之间的距离是68÷2=34（千米）。9．甲、乙两人同时从A、B两地相向出发，甲的速度是乙的速度的1.5倍，到达对
方出发点后立即返回，如果第一次相遇点和第二次相遇点相距300米，那么A、B两地的距离是米。答案：750；解：已知甲的速度是乙
的速度的1.5倍，也就是他们的速度的比是3：2，如图，把A、B之间的距离分成相等的5段，则第一次相遇在从左数的第三段的右边端点；（
A走了3段，B走了2段），第二次相遇应该是甲乙都在返回的途中，甲走了2段+4段=6段，乙走了3段+1段=4段，即相遇点在从左数第一
段的右端点。两个相遇点间的距离是300米，所以每段长150米，全长为150×5=750（米）。10．甲、乙两车分别从A、B两地同时
出发，匀速相向而行，第一次相遇时离A地150千米，两车继续各自前行，分别到达B、A两地后立即返回，不做停留，在离A地70千米处第二
次相遇，A、B两地间的距离为千米。答案：260；解：由题意，甲第一次相遇时，两人共走了一个全程长，其中甲走了150千米，第二次相
遇时两人一共走了三个全程长。所以第二次相遇时，甲走了150千米×3=450（千米），而在两次相遇之间距离是150–70=80（千米
）。所以(450+70)÷2=260（千米）。11．欢欢和乐乐在操场上的A、B两点之间练习往返跑，欢欢的速度是每秒8米，乐乐的速度
是每秒5米，两人同时从A点出发到达B点后返回，已知他们第二次迎面相遇的地点距离AB的中点5米，AB之间的距离是米。答案：130；
解：由题意知，欢欢和乐乐的速度比是8：5，而第一次相遇时，两人共走了2个全长，第二次相遇时，两人共走了4个全长。把全长分成13份，
第一次相遇时，欢欢走了16份，乐乐走了10份，第二次相遇时欢欢走了32份，32–13×2=6（份），即相遇点是离开A点6份处，此处
离开中点（6.5份处）是0.5份，所以0.5份的距离是5米，1份的距离是10米，13份的距离是130米。12．华华和英英分别从A
、B两地同时出发，相向而行，当华华经过A、B两地的中点C地100后，两人第一次相遇，然后两人又继续前进，华华达到B地后立即返回，又
经过C地300米后追上英英，则AB两地相距米。答案：600；解：设AC两地的距离是x米，则AB两地之间的距离是2x米，第一次相遇
是华华走了(x+100)米，而英英走了(x–100)米，第二次相遇时，华华走了一共走了(3x+300)米，是第一次走的3倍，英英一
共走了(x+300)米，所以(x+300)=3(x–100)，解得2x=600，所以AB两地之间距离是600米。13．甲、乙两地相
距3.6千米，两条狗从甲、乙两地相向奔跑，它们每分钟分别奔跑450米和350米。它们相向跑1分钟后同时调头背向跑2分钟，又调头相向
跑3分钟，再调头背向跑4分钟，……，这样直到相遇为止，从出发到相遇需分钟。答案：44.5；解：3.6千米=3600米，3600÷
(450+350)=4.5（分钟），1–2+3–4+5–6+7–8+9=5分钟，说明是在相对奔跑9分钟时间段相遇的。即1–2+3–
4+5–6+7–8+8.5=4.5分钟，一共需要时间为1+2+3+4+5+6+7+8+8.5=44.5（分钟）。14．忠犬小八每天
都从家中跑到车站去迎接它的主人，并准时于下午5时到达车站，见到它的主人后立即跑回家，它的主人搭乘的电车通常也都于下午5时准时抵达。
但是有一天，它的主人提前下班，于下午4时就抵达车站，他直接由车站步行回家，在半途中他见到了正从家中朝车站方向跑的小八，两者相遇后，
小八立即以与平常相同的速度跑回家，小八到家时比平常到家提早10分钟，请问小八跑步的速度是它主人步行速度的几倍？答案：11；解：由题
意，小八跑回家比平常提前了10分钟，它实际上比平常少走了两个主人走的距离。所以主人走的距离，小狗小八只需5分钟就可以走完，即小八在
4点55分到达了相遇点，主人此时已经走了55分钟，所以小八的速度是主人速度的55÷5=11（倍）。15．一只蜗牛和一只蚯蚓从圆上一
点A同时出发，绕圆周背向而行，蜗牛爬第一圈需要6分钟，以后每爬一圈都比前一圈多1分钟。蚯蚓爬第一圈需要5分钟，以后每爬一圈都比前一
圈多4分钟，在它们出发后分钟，它们又在A点相遇。答案：90；解：蜗牛到达A点的时间为6、13、21、30、40、51、63、76
、90、105、……；蚯蚓到达A点时间为5、14、、27、44、65、90、119、……、所以它们在第90分钟时再A点相遇。16．
甲、乙两人分别从山顶和山脚同时出发，沿同一山道行进，两人的上山速度都是20米/分，下山速度都是30米/分，甲到达山脚立即返回，乙到
达山顶休息30分钟后返回，两人在距山顶480米处再次相遇。山道长米。答案：2100；解：由题意，甲、乙两人相遇后甲再走480÷2
0=24（分钟）后可以到达山顶，如果乙不休息，乙再过24分钟也可以到达山脚。所以这时候乙还需要24+30=54分钟回到山脚，距离是
54×30=1620（米）。所以山道长是480+1620=2100（米）。17．一天小张从甲镇出发去乙镇，同时小王从乙镇出发去甲
镇，两人出发后12分钟在丙村相遇。第二天，小张和小王又同时从乙镇、甲镇出发，按原速度返回甲、乙两镇，两人相遇后6分钟，小张到达丙村
，那么再过分钟，小王到达乙镇。答案：2；解：如图所示，AE表示的是小张12分钟所走的路程，BE是小王12分钟所走的路，第二天，C
F是小张12分钟所走的路，DF是小王12分钟所走的路，而其中EF是小张6分钟所走的路，所以小张18分钟走的路=小王12分钟走的路，
小王的速度是小张速度的1.5倍，小张走完全程是30分钟，小王走完全程是20分钟，当小张走到E点时，用了18分钟，再过2分钟，小王
就可以走到乙镇。18．早上8点，小明和小强从甲、乙两地同时出发，以不变的速度相向而行，9点20分时两人相距10千米，10点时两人还
是相距10千米，11点小明到达乙地，这时小强距甲地千米。答案：10；解：依题意知，40分钟两人共走了20千米，所以两人的速度和是
20÷40×60=30（千米/小时），从8点到10点，2个小时内两人走了全程+10千米，即全程=30×2–10=50（千米），到1
1点时，走了3小时，两人共走了30×3=90千米，其中小明走了50千米，所以小强走了40千米，距离甲地还有10千米。19．公园的路
由两个边长为120米的正三角形组合而成，欢欢和迎迎两人常在这里做游戏，欢欢以3米/秒的速度绕A→C→B→A行走，迎迎以5米/秒的速
度绕A→B→D→A行走，现在两人同时出发，多少秒后两人首次相遇？答案：90；解：欢欢走得慢，迎迎走得快，欢欢走完三角形的一条边用时：120÷3=40（秒）。迎迎走完三角形的一条边用时：120÷5=24（秒）。两人首次相遇，一定在AB这条边上，两人同时从A点出发，80秒后，欢欢刚好走完三角形的两边到达B点，而迎迎走一圈只要72秒，所以80秒时迎迎走完一圈到达A点后又朝B点走了8秒，这8秒内，他走了5×8=40米，因此80秒后两人都在AB这条边上，且相距120–40=80（米），两人的速度和是3+5=8（米/秒），再过80÷8=10（秒）两人相遇。所以90秒时两人相遇。 |
|
