分数墙
下面是用长短不一的积木搭成的一堵“墙”。
假设其中最长的积木的长度为1，那么其它较短的积木的长度都表示分数单位。把相同的“分数单位”涂上相同的颜色，不同的“分数单位”涂上不同的颜色，这堵“墙”就是一堵五光十色的“分数墙”。
首先，从这堵“分数墙”可以直观地看到分数单位的大小。即
1＞＞＞＞＞＞＞＞＞。
其次，研究分数与分数单位的关系（结构）。
如，下面是用3个表示的积木拼成的图形，表示。
即表示3个的，或的3倍。
用算式表示为＝＋＋，或＝×3（也可以写成3×）。
第三，发现不同分数单位具有不同的进率。
从“分数墙”可以看到：1＝＝＝＝＝＝＝＝＝。
上述关系表示2个等于1，即“逢二进一”；3个等于1，即“逢三进一”；由此类推，…，10个等于1，即“逢十进一”。
第四，可以找到一些等值分数。
如，用2个、4个和6个的积木可以搭成下面的分数墙：
可以发现：＝＝。
第五，探索分数单位的和差关系。
如，用1个、1个和5个的积木可以搭成下面的分数墙：
可以发现：＋＝＋＝，－＝－＝。
第六，探索分数单位的倍比关系。
如，用1个和2个的积木可以搭成下面的分数墙：
可以发现：是的2倍。
用除法表示为÷＝2，或者÷2＝。
同时，也可以发现：是的。
用除法表示为÷＝。
又如，用1个、1个和1个的积木可以搭成下面的分数墙：
等于1个与1个的和，即等于1又个，或等于3个。
所以，⑴如果以为度量单位去度量，量数是（即1）。
根据量、度量单位与量数的基本关系，即量＝度量单位×量数，
可得＝×。
由上面这个乘法算式又可以得到如下的除法算式：
÷＝，或者÷＝。
⑵如果以为度量单位去度量，则量数是。
于是，＝×。由此可得，÷＝，或者÷＝。
第七，探索倒数关系。
如，用3个与1个1的积木可以搭成下面的分数墙：
可以发现，如果用为度量单位去度量1，量数3，即×3＝1；
如果用为度量单位去度量1，则量数是，即×＝1；
以此类推，如果分别用、、、、、、、等为度量单位，去度量1时，量数依次是2、、、、、、、。即得到下列等式：
×2＝1，×＝1，×＝1，×＝1，
×＝1，×＝1，×＝1，×＝1。
由此可以引出倒数的概念。当量是1时，即度量单位与量数的积为1时，度量单位与它对应的量数互为倒数。也就是说，3是的倒数，也是3的倒数；是的倒数，也是的倒数。
自然数（0除外）的倒数是分数单位，分数单位的倒数是自然数。
下面介绍一个关于分数单位的史料：
古代，人们认识分数到研究分数，是从分数单位开始的。古代分数的研究就有这样一个问题：分子是2、分母是奇数（在100以内）的真分数，是否都能分解为一些不相同的单位分数之和。如：
＝＋，＝＋，＝＋，……
＝＋＋。
在3700多年前埃及的纸草书上，就已经记载了上述的研究成果。而通过这种表示法可以进行任何分数的运算。如：
＝＋＝＋＋。
2015/8/25
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