2015年湖北省武汉市中考数学逼真模拟试卷（三）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．在2，﹣2，0，﹣3中，最大的数是（）
A．2B．﹣2C．0D．﹣3
2．若使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）
A．x≥3B．x＞3C．x＜3D．x≤3
3．如图，在直角坐标系中，△OAB和△OCD是位似图形，O为位似中心，若A点的坐标为（1，1），B点的坐标为（2，1），C点的坐标为（3，3），那么点D的坐标是（）
A．（4，2）B．（6，3）C．（8，4）D．（8，3）
4．下列数据是2013年3月7日6点公布的中国六大城市的空气污染指数情况：
城市北京合肥南京哈尔滨成都南昌
污染指数34216316545227163
则这组数据的中位数和众数分别是（）
A．164和163B．105和163C．105和164D．163和164
5．下列运算正确的是（）
A．a3﹣a2=aB．a2?a3=a6C．（a3）2=a6D．（3a）3=9a3
6．下列运算正确的是（）
A．=2B．=﹣3C．2﹣3=8D．20=0
7．如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图是（）
A．B．C．D．
8．在一次捐款活动中，某班50名同学都拿出自己的零花钱，有捐5元、10元、20元的，还有捐50元和100元的，如图所示的统计图反映了不同捐款数的人数比例，那么根据图中信息，该班同学平均每人捐款（）
A．30元B．33元C．36元D．35元
9．下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，…，则第⑥个图形中五角星的个数为（）
A．50B．64C．68D．72
10．如图，已知直线l与O相离，OAl于点A，OA=5，OA与O相交于点P，AB与O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．若在O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，则O的半径的最小值为（）
A．B．2C．D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．分解因式：2a2﹣8b2=．
12．据报道，武汉市今年开工及建设启动的四条轨道交通线路，总投资约82000000000元．将82000000000用科学记数法表示为．
13．如图，在4×4正方形网格中，任选取一个白色的小正方形并涂黑，使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的概率是．
14．甲、乙两车同时从A地出发，以各自的速度匀速向B地行驶．甲车先到达B地后，立即按原路以相同速度匀速返回（停留时间不作考虑），直到两车相遇．若甲、乙两车之间的距离y（千米）与两车行驶的时间x（小时）之间的函数图象如图所示，则A、B两地之间的距离为千米．
15．如图，等腰△ABC中，AB=AC，BCx轴，点A．C在反比例函数y=（x＞0）的图象上，点B在反比例函数y=（x＞0）的图象上，则△ABC的面积为．
16．如图，E是正方形ABCD的边DC上的一点，过点A作AFAE，交CB延长线于点F，AE的延长线交BC的延长线于点G．若AF=7，DE=2，则EG的长是．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．在平面直角坐标系中，直线y=kx﹣4经过点P（2，﹣8），求关于x的不等式kx﹣4≥0的解集．
18．如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，求证：△ABCDCB．
19．在平面直角坐标系中有线段AB和点A′，已知A点的坐标为（﹣2，1），B点的坐标为（﹣3，﹣2），A′点的坐标为（1，2），分别按下列要求完成各题．
（1）如图1，平移线段AB，使点A移到点A′的位置，请在图中作出平移后的线段A′B′，并直接写出B′点的坐标为；
（2）如图2，线段AB与A′B′关于某条直线l对称，请用尺规作图的方法在图中画出对称轴l（保留作图痕迹），并直接写出对称轴l的解析式为；
（3）如图3，线段AB绕图中某点P顺时针方向旋转90°，点A恰好旋转到点A′的位置，请在图中画出点P的位置，并画出点B的对应点B′，直接写出：P点的坐标为，在旋转过程中线段AB扫过的面积为．
20．某班“2011年新春联欢会”中，有一个摸奖游戏，规则如下：有4张纸牌，背面都是喜羊羊头像，正面有2张笑脸、2张哭脸．现将4张纸牌洗匀后背面朝上摆放到桌上，然后让同学去翻纸牌．
（1）现小芳有一次翻牌机会，若正面是笑脸的就获奖，正面是哭脸的不获奖．她从中随机翻开一张纸牌，小芳获奖的概率是．
（2）如果小芳、小明都有翻两张牌的机会．小芳先翻一张，放回后再翻一张；小明同时翻开两张纸牌．他们翻开的两张纸牌中只要出现笑脸就获奖．他们获奖的机会相等吗？请说明理由．
21．如图1，锐角△ABC内接于O，BAC=60°，若O的半径为2．
（1）求BC的长度；
（2）如图2，过点A作AHBC于点H，若AB+AC=12，求AH的长度．
22．某公司准备投资开发A、B两种新产品，信息部通过市场调研得到两条信息：
x（万元）12
yA（万元）0.61.2
yB（万元）2.44.4
信息一：如果投资A种产品，所获利润yA（万元）与投资金额x（万元）之间满足正比例函数关系：y=kx；
信息二：如果投资B种产品，所获利润yB（万元）与投资金额x（万元）之间满足二次函数关系：yB=ax2+bx．
根据公司信息部报告，yA、yB（万元）与投资金额x（万元）的部分对应值如上表所示：
（1）填空：yA=；yB=；
（2）如果公司准备投资15万元同时开发A、B两种新产品，设公司所获得的总利润为W（万元），B种产品的投资金额为x（万元），试求出W与x之间的函数关系式；
（3）请你设计一个在（2）中公司能获得最大总利润的投资方案．
23．已知：正方形ABCD的边长为4，点E为BC的中点，点P为AB上一动点，沿PE翻折△BPE得到△FPE，直线PF交CD边于点Q，交直线AD于点G，联接EQ．
（1）如图，当BP=1.5时，求CQ的长；
（2）如图，当点G在射线AD上时，BP=x，DG=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）延长EF交直线AD于点H，若△CQE与△FHG相似，求BP的长．
24．如图1，已知直线y=﹣2x+4与两轴交于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c的顶点M在线段AB上，与y轴交于点C．
（1）若b=﹣2，求C点的坐标；
（2）若△ACM为等腰三角形时，求抛物线的解析式；
（3）如图2，抛物线的顶点M与B点重合，P为x轴负半轴上一点，过P点作直线l交抛物线于D、E两点，连接BD、BE，试证明：对于x轴负半轴上任意给定的一点P，都存在这样的一条直线l，使得△BPD的面积等于△BDE的面积恒成立．
2015年湖北省武汉市中考数学逼真模拟试卷（三）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．在2，﹣2，0，﹣3中，最大的数是（）
A．2B．﹣2C．0D．﹣3
考点：有理数大小比较．
分析：先在数轴上表示出各数，再根据数轴的特点即可得出结论．
解答：解：如图所示，
，
故最大的数是2．
故选A．
点评：本题考查的是有理数的大小比较，熟知数轴上右边的数总比左边的大是解答此题的关键．
2．若使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）
A．x≥3B．x＞3C．x＜3D．x≤3
考点：二次根式有意义的条件．
专题：存在型．
分析：先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
解答：解：二次根式在实数范围内有意义，
x﹣3≥0，解得x≥3．
故选A．
点评：本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．
3．如图，在直角坐标系中，△OAB和△OCD是位似图形，O为位似中心，若A点的坐标为（1，1），B点的坐标为（2，1），C点的坐标为（3，3），那么点D的坐标是（）
A．（4，2）B．（6，3）C．（8，4）D．（8，3）
考点：位似变换；坐标与图形性质．
分析：利用位似是特殊的相似，若两个图形△ABC和△A′B′C′以原点为位似中心，相似比是k，△ABC上一点的坐标是（x，y），则在△A′B′C′中，它的对应点的坐标是（kx，ky）或（﹣kx，ky），进而求出即可．
解答：解：A点的坐标为（1，1），C点的坐标为（3，3），
位似比k=3，
B点的坐标为（2，1），
点D的坐标是：（2×3，1×3），即（6，3）．
故选：B．
点评：此题主要考查了位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键．
4．下列数据是2013年3月7日6点公布的中国六大城市的空气污染指数情况：
城市北京合肥南京哈尔滨成都南昌
污染指数34216316545227163
则这组数据的中位数和众数分别是（）
A．164和163B．105和163C．105和164D．163和164
考点：众数；中位数．
分析：根据众数定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．可以直接算出答案．
解答：解：把数据从小到大排列：45，163，163，165，227，342，位置处于中间的数是163和165，故中位数是（163+165）÷2=164，
163出现了两次，故众数是163；
故答案为：A．
点评：此题主要考查了众数和中位数，关键是掌握两种数的定义．
5．下列运算正确的是（）
A．a3﹣a2=aB．a2?a3=a6C．（a3）2=a6D．（3a）3=9a3
考点：幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．
分析：根据同底数幂的乘法的性质，幂的乘方的性质，积的乘方的性质，合并同类项的法则，对各选项分析判断后利用排除法求解．
解答：解：A、不是同类项，不能合并，选项错误；
B、a2?a3=a5，选项错误；
C、正确；
D、（3a）3=27a3，选项错误．
故选C．
点评：本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，理清指数的变化是解题的关键．
6．下列运算正确的是（）
A．=2B．=﹣3C．2﹣3=8D．20=0
考点：算术平方根；零指数幂；负整数指数幂．
分析：根据算术平方根、负整数指数幂、零指数幂分别求出每个式子的值，再选出即可．
解答：解：A、结果是2，故本选项正确；
B、结果是3，故本选项错误；
C、结果是，故本选项错误；
D、结果是1，故本选项错误；
故选A．
点评：本题考查了对算术平方根定义、零指数幂、负整数指数幂的应用，能求出每个式子的值是解此题的关键，难度不是很大．
7．如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图是（）
A．B．C．D．
考点：简单组合体的三视图．
分析：找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
解答：解：从左面看易得第一层有2个正方形，第二层最左边有一个正方形．
故选B．
点评：本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
8．在一次捐款活动中，某班50名同学都拿出自己的零花钱，有捐5元、10元、20元的，还有捐50元和100元的，如图所示的统计图反映了不同捐款数的人数比例，那么根据图中信息，该班同学平均每人捐款（）
A．30元B．33元C．36元D．35元
考点：加权平均数；扇形统计图；条形统计图．
分析：从条形统计图可以得出捐5元、20元、50元的人数，再根据扇形统计图求出捐100元的人数，然后求出捐10元的人数，再由平均数的公式计算即可．
解答：解：捐5元的有4人，捐20元的有19人，捐50元的有11人，捐100元的有：50×12%=6人；
捐10元的有：50﹣4﹣19﹣11﹣6=10人；
该班同学平均每人捐款：（5×4+20×19+50×11+100×6+10×10）÷50=33元．
故选B．
点评：本题考查了条形统计图，扇形统计图，加权平均数，读懂统计图，从统计图获取有用信息是解题的关键．从条形图可以很容易看出数据的大小，从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．
9．下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，…，则第⑥个图形中五角星的个数为（）
A．50B．64C．68D．72
考点：规律型：图形的变化类．
分析：先根据题意求找出其中的规律，即可求出第⑥个图形中五角星的个数．
解答：解：第①个图形一共有2个五角星，
第②个图形一共有：2+（3×2）=8个五角星，
第③个图形一共有8+（5×2）=18个五角星，
…
第n个图形一共有：
1×2+3×2+5×2+7×2+…+2（2n﹣1）
=2[1+3+5+…+（2n﹣1）]，
=[1+（2n﹣1）]×n
=2n2，
则第（6）个图形一共有：
2×62=72个五角星；
故选：D．
点评：本题考查了图形变化规律的问题，把五角星分成三部分进行考虑，并找出第n个图形五角星的个数的表达式是解题的关键．
10．如图，已知直线l与O相离，OAl于点A，OA=5，OA与O相交于点P，AB与O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．若在O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，则O的半径的最小值为（）
A．B．2C．D．
考点：切线的性质．
分析：首先证明AB=AC，再根据已知得出Q在AC的垂直平分线上，作出线段AC的垂直平分线MN，作OEMN，求出OE＜r，求出r范围，则可得到O的半径的最小值．
解答：解：连接OB．如图1，
AB切O于B，OAAC，
OBA=∠OAC=90°，
OBP+∠ABP=90°，ACP+∠APC=90°，
OP=OB，
OBP=∠OPB，
OPB=∠APC，
ACP=∠ABC，
AB=AC，
作出线段AC的垂直平分线MN，作OEMN，如图2，
OE=AC=AB=，
又圆O与直线MN有交点，
OE=≤r，
≤2r，
即：25﹣r2≤4r2，
r2≥5，
r≥，
故选C．
点评：本题考查了等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系等知识点的应用，主要培养学生运用性质进行推理和计算的能力．本题综合性比较强，有一定的难度．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．分解因式：2a2﹣8b2=2（a﹣2b）（a+2b）．
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
专题：因式分解．
分析：先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
解答：解：2a2﹣8b2，
=2（a2﹣4b2），
=2（a+2b）（a﹣2b）．
故答案为：2（a+2b）（a﹣2b）．
点评：本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次分解因式．
12．据报道，武汉市今年开工及建设启动的四条轨道交通线路，总投资约82000000000元．将82000000000用科学记数法表示为8.2×1010．
考点：科学记数法—表示较大的数．
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答：解：82000000000=8.2×1010，
故答案为：8.2×1010．
点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13．如图，在4×4正方形网格中，任选取一个白色的小正方形并涂黑，使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的概率是．
考点：概率公式；轴对称图形．
分析：由在4×4正方形网格中，任选取一个白色的小正方形并涂黑，共有12种等可能的结果，使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的有2种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．
解答：解：在4×4正方形网格中，任选取一个白色的小正方形并涂黑，共有12种等可能的结果，使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的有2种情况，
使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的概率是：2÷12=．
故答案为：．
点评：此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14．甲、乙两车同时从A地出发，以各自的速度匀速向B地行驶．甲车先到达B地后，立即按原路以相同速度匀速返回（停留时间不作考虑），直到两车相遇．若甲、乙两车之间的距离y（千米）与两车行驶的时间x（小时）之间的函数图象如图所示，则A、B两地之间的距离为450千米．
考点：一次函数的应用．
分析：设甲的速度为x千米/小时，乙的速度为y千米/小时，根据函数图象反应的数量关系建立方程组求出其解即可．
解答：解：设甲的速度为x千米/小时，乙的速度为y千米/小时，由题意，得
，
解得：．
A、B两地之间的距离为：5×90=450千米．
故答案为：450．
点评：本题考查了一次函数图象的运用，行程问题的数量关系速度×时间=路程的运用，二元一次方程组的解法的运用，解答时求出二元一次方程组的解是关键．
15．如图，等腰△ABC中，AB=AC，BCx轴，点A．C在反比例函数y=（x＞0）的图象上，点B在反比例函数y=（x＞0）的图象上，则△ABC的面积为．
考点：反比例函数系数k的几何意义．
专题：计算题．
分析：作ADBC于D，如图，利用反比例函数图象上点的坐标特征，可设B（t，），根据等腰三角形的性质得BD=CD，则C点的纵坐标为，于是可表示出C点坐标为（4t，），利用线段中点坐标公式表示出D点坐标为（t，），接着表示出A点坐标为（t，），然后根据三角形面积公式求解．
解答：解：作ADBC于D，如图，设B（t，），
AB=AC，BCx轴，
BD=CD，ADy轴，
C点的纵坐标为，
当y=时，=，解得x=4t，则C点坐标为（4t，），
D点坐标为（t，），
A点的横坐标为t，
当x=t时，y==，则A点坐标为（t，），
S△ABC=?（4t﹣t）?（﹣）=．
故答案为．
点评：本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了等腰三角形的性质和反比例函数图形上点的坐标特征．
16．如图，E是正方形ABCD的边DC上的一点，过点A作AFAE，交CB延长线于点F，AE的延长线交BC的延长线于点G．若AF=7，DE=2，则EG的长是﹣7．
考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理的应用；正方形的性质．
专题：计算题．
分析：首先利用余角的性质证明FAB=∠DAE，进而利用ASA即可证明△ABFADE，根据全等三角形的对应边相等的性质可得AE=AF，BF=DE，然后在直角△ABF中利用勾股定理求得AB的长，进而求出EC的长，再证明△ADEGCE，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解．
解答：解：正方形ABCD中，BAD=90°，AD=AB，
AF⊥AE，
FAB+∠BAE=90°
∵∠DAE+∠BAE=90°，
FAB=∠DAE，
在△ABF与△ADE中，
，
ABF≌△ADE（ASA），
AE=AF，BF=DE，
FBA=90°，AF=7，BF=DE=2，
AB==，
EC=DC﹣DE=，
D=∠ECG=90°，DEA=∠CEG，
ADE∽△GCE，
，即，
EG=﹣7．
点评：本题考查全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，勾股定理，正确证明△ABFADE，从而得到AF=AE，BF=DE是解题的关键．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．在平面直角坐标系中，直线y=kx﹣4经过点P（2，﹣8），求关于x的不等式kx﹣4≥0的解集．
考点：一次函数与一元一次不等式．
分析：把点P（2，﹣8）的坐标代入直线解析式求出k值，从而得到直线解析式y=﹣2x﹣4，然后解不等式﹣2x﹣4≥0即可．
解答：解：把点P（2，﹣8）的坐标代入直线解析式y=kx﹣4中，
2k﹣4=﹣8，
解得：k=﹣2，
则直线的函数解析式为：y=﹣2x﹣4，
﹣2x﹣4≥0，
解得：x≤﹣2．
点评：本题考查了一次函数与一元一次不等式的解法，根据点在直线上，把点P的坐标代入直线解析式求出k的值是解题的关键．
18．如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，求证：△ABCDCB．
考点：全等三角形的判定．
专题：证明题．
分析：直接利用全等三角形的判定方法：SSS求出即可．
解答：证明：在△ABC和△DCB中，
，
ABC≌△DCB（SSS）．
点评：此题主要考查了全等三角形的判定，正确掌握判定方法是解题关键．
19．在平面直角坐标系中有线段AB和点A′，已知A点的坐标为（﹣2，1），B点的坐标为（﹣3，﹣2），A′点的坐标为（1，2），分别按下列要求完成各题．
（1）如图1，平移线段AB，使点A移到点A′的位置，请在图中作出平移后的线段A′B′，并直接写出B′点的坐标为（0，﹣1）；
（2）如图2，线段AB与A′B′关于某条直线l对称，请用尺规作图的方法在图中画出对称轴l（保留作图痕迹），并直接写出对称轴l的解析式为y=﹣3x；
（3）如图3，线段AB绕图中某点P顺时针方向旋转90°，点A恰好旋转到点A′的位置，请在图中画出点P的位置，并画出点B的对应点B′，直接写出：P点的坐标为（0，0），在旋转过程中线段AB扫过的面积为2π．
考点：作图-旋转变换；作图-轴对称变换；作图-平移变换．
分析：（1）根据图形平移的性质画出图形，写出B′点的坐标即可；
（2）连接AA′，作线段AA′的垂直平分线，利用待定系数法求出对称轴l的解析式即可；
（3）连接AA′，作线段AA′的垂直平分线，连接OA，OB′可知旋转中心为点O，根据图形旋转的性质找出B′点，根据扇形的面积公式即可得出旋转过程中线段AB扫过的面积．
解答：解：（1）如图1所示，B′（0，﹣1）．
故答案为：（0，﹣1）；
（2）如图2所示，
连接AA′，作线段AA′的垂直平分线，则此直线即为直线l．
由图可知，直线l过点（0，0），（﹣1，3），
设直线l的解析式为y=kx（k≠0），
直线过点（﹣1，3），
3=﹣k，即k=﹣3，
直线l的解析式为：y=﹣3x．
故答案为：y=﹣3x；
（3）如图3所示，
OA=OA′，且AOA′=90°，
点O即为P点．
OA==，OB==，
在旋转过程中线段AB扫过的面积==2π．
故答案为：（0，0），2π．
点评：本题考查的是作图﹣旋转变换，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键．
20．某班“2011年新春联欢会”中，有一个摸奖游戏，规则如下：有4张纸牌，背面都是喜羊羊头像，正面有2张笑脸、2张哭脸．现将4张纸牌洗匀后背面朝上摆放到桌上，然后让同学去翻纸牌．
（1）现小芳有一次翻牌机会，若正面是笑脸的就获奖，正面是哭脸的不获奖．她从中随机翻开一张纸牌，小芳获奖的概率是0.5．
（2）如果小芳、小明都有翻两张牌的机会．小芳先翻一张，放回后再翻一张；小明同时翻开两张纸牌．他们翻开的两张纸牌中只要出现笑脸就获奖．他们获奖的机会相等吗？请说明理由．
考点：列表法与树状图法；概率公式．
专题：应用题．
分析：（1）根据正面有2张笑脸、2张哭脸，而翻一次牌正面是笑脸的就获奖，直接的出获胜概率．
（2）运用图表列举出所有可能即可得出分别获胜的概率．
解答：解：（1）有4张纸牌，背面都是喜羊羊头像，正面有2张笑脸、2张哭脸，翻一次牌正面是笑脸的就获奖，正面是哭脸的不获奖，
获奖的概率是（或填0.5）．
故答案为：（或填0.5）．
（2）他们获奖的机会不相等，
P（小芳获奖）==，
P（小明获奖）==，
因为，所以他们获奖的机会不相等．
点评：此题主要考查了列举法求概率，列举出事件中所有的结果是解决问题的关键．
21．如图1，锐角△ABC内接于O，BAC=60°，若O的半径为2．
（1）求BC的长度；
（2）如图2，过点A作AHBC于点H，若AB+AC=12，求AH的长度．
考点：垂径定理；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．
分析：（1）首先连接OB，OC，过点O作ODBC于点D，由圆周角定理，即可求得BOC的度数，继而求得OBC的度数，然后由三角函数的性质，求得BD的长，继而求得答案；
（2）设点G为此三角形ABC内切圆的圆心（角平分线的交点），过G分别向AB，AC，BC作垂线GM，GN，GQ，根据角平分线的性质可知GM=GN=GQ，CQ=CN，BQ=BM，AM=AN，故AM+AN=AB+AC﹣BC=6，AM=AN=3．在Rt△AGM中，根据锐角三角函数的定义得出GM的长，再由S△ABC=BC?AH=S△ABQ+S△BCQ+S△ACQ即可得出结论．
解答：解：（1）连接OB，OC，过点O作ODBC于点D，
BD=CD=BC，
A=60°，
BOC=2∠A=120°，
OB=OC，
OBC=∠OCB==30°，
OB=2，
BD=OB?cos30°=2×=3，
BC=2BD=6．
（2）设点G为此三角形ABC内切圆的圆心（角平分线的交点），过G分别向AB，AC，BC作垂线GM，GN，GQ，
GM=GN=GQ，CQ=CN，BQ=BM，AM=AN，
AM+AN=AB+AC﹣BC=6，
AM=AN=3．
在Rt△AGM中，
GAM=30°，
S△ABC=BC?AH=S△ABQ+S△BCQ+S△ACQ
=AB?GM+BC?GQ+AC?GM
=GM（AB+AC+CB）
=9，
AH=3．
点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
22．某公司准备投资开发A、B两种新产品，信息部通过市场调研得到两条信息：
x（万元）12
yA（万元）0.61.2
yB（万元）2.44.4
信息一：如果投资A种产品，所获利润yA（万元）与投资金额x（万元）之间满足正比例函数关系：y=kx；
信息二：如果投资B种产品，所获利润yB（万元）与投资金额x（万元）之间满足二次函数关系：yB=ax2+bx．
根据公司信息部报告，yA、yB（万元）与投资金额x（万元）的部分对应值如上表所示：
（1）填空：yA=0.6x；yB=﹣0.2x2+2.6x；
（2）如果公司准备投资15万元同时开发A、B两种新产品，设公司所获得的总利润为W（万元），B种产品的投资金额为x（万元），试求出W与x之间的函数关系式；
（3）请你设计一个在（2）中公司能获得最大总利润的投资方案．
考点：二次函数的应用．
分析：（1）由待定系数法将（1，0.6）代入正比例函数解析式yA=kx，将（1，2.4），（2，4.4）代入二次函数关系yB=ax2+bx，求出其解即可；
（2）根据总利润=两种产品的利润之和就可以求出解析式；
（3）将（2）的解析式化为顶点式即可．
解答：解：（1）由题意，得
k=0.6，，
解得：k=0.6，，
yA=0.6x，yB=﹣0.2x2+2.6x；
故答案为：0.6x，﹣0.2x2+2.6x
（2）设公司所获得的总利润为W（万元），B种产品的投资金额为x（万元），则A种产品投资（15﹣x）万元，由题意，得
W=yA+yB=0.6（15﹣x）﹣0.2x2+2.6x；
W=﹣0.2x2+2x+9；
（3）W=﹣0.2x2+2x+9；
W=﹣0.2（x﹣5）2+14，
a=﹣0.2＜0，
当x=5时，W最大=14．
最大利润的投资方案是：B种产品的投资金额为5万元，A种产品投资10万元．
点评：本题考查了运用待定系数法求函数的解析式的运用，二次函数的性质的运用，二次函数的顶点式的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
23．已知：正方形ABCD的边长为4，点E为BC的中点，点P为AB上一动点，沿PE翻折△BPE得到△FPE，直线PF交CD边于点Q，交直线AD于点G，联接EQ．
（1）如图，当BP=1.5时，求CQ的长；
（2）如图，当点G在射线AD上时，BP=x，DG=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）延长EF交直线AD于点H，若△CQE与△FHG相似，求BP的长．
考点：相似形综合题．
分析：（1）首先确定PEQ=90°，即PEEQ，然后利用△PBEECQ，列出比例式求出CD的长度；
（2）根据△PBEECQ，求出DQ的表达式；由QDAP，列出比例式求解；
（3）本问分两种情形，需要分类讨论，避免漏解．
解答：解：（1）由翻折性质，可知PE为BPQ的角平分线，且BE=FE．
点E为BC中点，
EC=EB=EF，
QE为CQP的角平分线．
AB∥CD，
BPQ+∠CQP=180°，即2EPQ+2∠EQP=180°，
EPQ+∠EQP=90°，
PEQ=90°，即PEEQ．
易证△PBEECQ，
，即，
解得：CQ=．
（2）由（1）知△PBEECQ，
，即，
CQ=，DQ=4﹣．
QD∥AP，，又AP=4﹣x，AG=4+y，
，
y=（1＜x＜2）．
（3）由题意知：C=90°=∠GFH．
①当点G在线段AD的延长线上时，如答图1所示．
由题意知：G=∠CQE
∵∠CQE=∠FQE，
DQG=∠FQC=2∠CQE=2∠G．
DQG+∠G=90°，
G=30°，
BEP=∠CQE=∠G=30°，
BP=BE?tan30°=；
②当点G在线段DA的延长线上时，如答图2所示．
由题意知：FHG=∠CQE．
同理可得：G=30°，
BPE=∠G=30°，
BEP=60°，
BP=BE?tan60°=．
综上所述，BP的长为或．
点评：本题是几何综合题型，主要考查了相似三角形、正方形、解直角三角形、角平分线等几何知识点．难点在于第（3）问，有两种情形，不要漏解．
24．如图1，已知直线y=﹣2x+4与两轴交于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c的顶点M在线段AB上，与y轴交于点C．
（1）若b=﹣2，求C点的坐标；
（2）若△ACM为等腰三角形时，求抛物线的解析式；
（3）如图2，抛物线的顶点M与B点重合，P为x轴负半轴上一点，过P点作直线l交抛物线于D、E两点，连接BD、BE，试证明：对于x轴负半轴上任意给定的一点P，都存在这样的一条直线l，使得△BPD的面积等于△BDE的面积恒成立．
考点：二次函数综合题．
分析：（1）由a=1，b=﹣2，先求得顶点的横坐标，把顶点的横坐标代入直线y=﹣2x+4，即可求得顶点的纵坐标，再把顶点坐标代入解析式y=x2﹣2x+c，求得c的值，再把x=0代入所求的解析式即可得解；
（2）由（1）可知，A（0，4），设M（t，﹣2t+4），C（0，t2﹣2t+4），根据AC=CM可得4﹣（t2﹣2t+4）=，求出抛物线的解析式即可；
（3）设P（m，0），E（n，n2﹣4n+4），根据△BPD的面积等于△BDE的面积判断出D为PE的中点，求出中点坐标D为（，），得到n2﹣2mn+8m﹣8=0，判断出△=b2﹣4ac=4m2﹣32m+32＞0即可．
解答：解：（1）b=﹣2，
y=x2﹣2x+c，
顶点M的横坐标为﹣=﹣=1，
把x=1代入y=﹣2x+4得，y=﹣2+4=2，
顶点M的坐标为：（1，2），
把（1，2）代入y=x2﹣2x+c得，
2=1﹣2+c，
c=3，
二次函数解析式为：y=x2﹣2x+3，
令x=0，则y=3，
点C的坐标为：（0，3）；
（2）由（1）可知，A（0，4），设M（t，﹣2t+4），C（0，t2﹣2t+4），
抛物线y=x2+bx+c的顶点M在线段AB上，与y轴交于点C，显然ACM＞90°，
ACM为等腰三角形时，AC=CM，
4﹣（t2﹣2t+4）=，
t=，
，
抛物线的解析式为y=x2﹣x+；
（3）抛物线的顶点M与B点重合时抛物线的解析式为，y=x2﹣4x+4，
BPD的面积等于△BDE的面积，
D为PE的中点，
设P（m，0），E（n，n2﹣4n+4），
D（，），
=（）2﹣4?+4，
化简得，n2﹣2mn+8m﹣8=0，
m＜0，
=b2﹣4ac=4m2﹣32m+32＞0，
无论m为何负值时，关于n的方程总有两个不相等的实数根，即对于x轴负半轴上任意给定的一点P，都存在这样的一条直线l，使得△BPD的面积等于△BDE的面积恒成立．
点评：本题考查了二次函数综合题，涉及函数图象与x轴的交点、等腰三角形的性质、待定系数法求函数解析式、中点坐标公式等知识，难度较大．
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