分式拓展专题

分式拓展专题

一、分数认识的三次深化与发展

1.分数与除法

在自然数集合里，加法和乘法运算总是可以实施，但减法和除法却不行；引入分数，自然数集合扩充为非负有理数集合后，除法运算才变得畅通无阻。

例如，3÷4＝？在自然数集合里找不到一个与3÷4对应的自然数，而在非负有理数集合里却找到了一个且只有一个分数，与3÷4对应，即3÷4＝。

如何理解3÷4＝的数学意义呢？

⑴表示3是4的。其中3与4表示不同的两个量，而是量数，是以4为基准量去度量3所得的结果。





一般地，a、b都是非零的自然数时，a÷b＝。





⑵表示3平均分成4份，每份是；或者的4倍是3。这里，3和都表示量，而4是量数。





事实上，任意两个正有理数相除，都具有上述两种数学意义。

例如“3÷＝？”也有下面两种数学意义：

⑴3是的几分之几？





从上图，可以看出：3÷＝。

⑵3平均分成份，每份是多少？

因为是5个的，所以先把3平均分成5小份，每一小份即是所求一份的，如下图所示。





从上图，也可以看出：3÷＝。

注意：a、b都不是0，但只要有一个是分数，那么a÷b≠。

所以，如果忽视必要的前提，笼统地说被除数即分子、除数即分母，是不正确的。当且仅当a、b都是不为零的自然数时，等式a÷b＝才成立。这个命题还告诉我们，分数可以转化为除法，这为分数化为小数打通了一条重要途径。

2.百分数

百分数是否就是分母是100的分数？如果是，又何必需要这个新概念呢？

事实上，百分数是在分数应用的实践中产生和发展起来的。我们先来解决下面的实际问题：

在一场足球比赛中，猛虎队获得一次罚点球的机会，他们准备派下列三名队员中的一名去罚点球。下面是这三名队员在过去比赛中罚点球的成绩统计表。

队员 踢点球的次数 罚中的次数 3号队员 20 18 5号队员 25 21 7号队员 13 12 从这个实际问题抽象成的数学问题是：比较分数、、的大小。

解法1：（化为同分母的分数进行比较）

＝，＝，＝。因为＞＞，

所以＞＞。

由此可知，7号队员以往罚点球的成绩最佳，派他去罚点球是明智的选择。

不过，上面三个分数分母的最小倍数（1300）是比较大的，因此通分不仅比较费劲，也容易出差错。

解法2：（化为小数进行比较）

＝18÷20＝0.90，＝21÷25＝0.84，＝12÷13＞0.923。

因为0.923＞0.90＞0.84，所以＞＞。

化为小数，虽然可以借以比较分数的大小，但小数却失去了原来分数的特性，即表示量的倍比关系的意义。因此，需要寻找既能保持分数的特性，计算又比较简便的解题方法。就在这种需要的驱动下，百分数应运而生了。

新的办法就是把分母统统变成100。

把与化为分母是100的分数不难：＝，＝。

问题在于怎样把也变成分母是100的分数呢？

设所化成的分数的分子为x，即

＝，两边同乘100，得x＝×100，x≈92.3。

所以，≈。这个结果与前面学过的分数不同的地方是，它的分子是一个小数。

的意义是：如果把13平均分成100份，那么12大约占其中的92.3份。也就是说，这种分数只能表示两个量的倍比关系，而不具有表示量的功能。

于是，人们把形如，，，……等，只能表示量的倍比关系，不能表示量的分数，统称为百分数；并引入新的符号“％”（叫做百分号），把百分数记为84％，90％，92.3％,……，以便从形式上与前面学过的分数加以区别。

显然，84％＜90％＜92.3％，通过百分数的大小比较，也说明是7号队员点球的罚中率最高。

诚然，把分数化为百分数还有更简捷的途径，即通过小数转化。

如，≈0.923＝92.3％。但是这种方法，对于理解百分数的意义，不如方程的方法直观。

3.比

比，顾名思义，与人类比较事物的实践活动密切相关。比的概念是在比较不同的量的倍比关系的实践中产生和发展的。

下面先探讨一个现实问题——平面图画得像不像。

例1羽毛球场是长18m、宽9m的长方形，如下图A。

⑴在B、C、D、E、F等图形中，你认为哪几个长方形的形状像图A，哪几个不像？

⑵对形状与图A（羽毛球场）相同的长方形，请你比较它们的长和宽，能发现其中的规律吗？

⑶在图A内，请你画一个形状与图A相同的长方形，且这个长方形的长是图A的长的。

任何正方形的形状都一样，但长方形的形状却有差异。图A恰好可以分成两个大小相同的正方形。发现图A的这个特性，能帮助我们找出其他形状与图A相同的长方形，如图D和E。而图B、C和F都不具有图A的这种特性，所以它们的形状与图A不同。

图A可以分成两个大小相同的正方形，等价于它的长是宽的2倍。形状与图A相同的长方形，长都是宽的2倍；形状与图A不同的长方形，长都不是宽的2倍。这就是我们发现的规律。

一般地，a、b分别表示一个长方形的长和宽，分数表示这个长方形的长与宽的倍比关系。这个分数的重要性在于它提供了长方形的一个分类标准：凡是长是宽的倍的长方形，都是形状相同的长方形，它们归为一类。图形的分类对于认识图形的性质具有重要的意义。

不过用“长是宽的倍”来刻画长方形的形状特征，有时很麻烦。例如，当a或b是分数时，是一个繁分数。为了避免进行繁分数的繁难运算，就需要改进对“长是宽的倍”这一特征的描述，从而引入比的概念。

“长是宽的倍”，可以用“长与宽的比是a︰b”取而代之。

当a、b表示两个不同的量时，a︰b＝＝a÷b。

所以，比可以定义为：两个量相除，叫做这两个量的比。

虽然比、分数、除法在揭示量的倍比关系方面是相通的，但对于不同的问题情境，仍然需要选择恰当的简便的表征方式，并掌握它们的相互转换。

例2蜂蜜绿茶是用2份蜂蜜和7份绿茶配制成的消暑饮料，要配制450毫升这种饮料，需要蜂蜜和绿茶各多少毫升？

在这个问题中，蜂蜜和绿茶体积的倍比关系用比的形式表示比较简便，即蜂蜜︰绿茶＝2︰7。

解法1：（应用方程）

设：一份蜂蜜或绿茶的体积为x毫升，则配制蜂蜜绿需用蜂蜜2x毫升，绿茶7x毫升。

2x＋7x＝450，9x＝450x＝50。2x＝2×50＝100，7x＝7×50＝350。

答：配制蜂蜜绿茶需要100毫升蜂蜜和350毫升绿茶。

解法2：（综合应用比和分数）蜂蜜︰绿茶＝2︰7＝︰，且

＋＝1。因此，蜂蜜绿茶两个组成部分的倍比关系就转换成各部分与整体（蜂蜜绿茶）的倍比关系。从而，为应用分数解决问题创造了条件，图示如下：







450×＝100，450×＝350。

解法1是代数方法，解法2是算术方法，殊途同归。

7个女生平分4个蛋糕，3个男生平分2个蛋糕。是每个女生分得多一些，还是每个男生分得多一些？

解法1：每个女生分得个蛋糕，每个男生分得个蛋糕。问题可以归结为比较分数与的大小。比较两个量的倍比关系又有如下两种方法。

方法1：（利用除法）

÷＝×＝。

因为＜1，所以男生分得蛋糕比女生多一些。

方法2：（利用比）

︰＝12︰14。

因为12︰14＜1，所以男生分得蛋糕比女生多一些。

解法2：（利用比）分别考虑男、女生的蛋糕数量或人数的倍比关系。

女生蛋糕︰男生蛋糕＝4︰2＝2︰1，

女生人数︰男生蛋糕＝7︰3。

因为7︰3＞6︰3＝2︰1，所以男生分得蛋糕比女生多一些。

解法3：（利用图解）







上图说明,如果只有6个女生平分4个蛋糕,那么女生和男生将分得同样多。但女生有7个，7个女生平分4个蛋糕，每个女生分得的蛋糕要比6个女生平分的情形少一些。所以，男生分得的蛋糕比女生多。

上述解法2与解法3有异曲同工之妙，妙在都自然地渗透了数学的基本思想方法——对应。

比的概念不仅进一步揭示了分数的本质——量的倍比关系，而且也丰富了表征思维过程的方法和手段，使我们面临解决与分数相关的实际问题的时候，有更多的思路和方法可以选择，可以灵活转换，左右逢源。

二、分数墙

下面是用长短不一的积木搭成的一堵“墙”。

假设其中最长的积木的长度为1，那么其它较短的积木的长度都表示分数单位。把相同的“分数单位”涂上相同的颜色，不同的“分数单位”涂上不同的颜色，这堵“墙”就是一堵五光十色的“分数墙”。

































1.从这堵“分数墙”可以直观地看到分数单位的大小。即

1＞＞＞＞＞＞＞＞＞。

2．研究分数与分数单位的关系（结构）。

如，下面是用3个表示的积木拼成的图形，表示。







即表示3个的，或的3倍。

用算式表示为＝＋＋，或＝×3（也可以写成3×）。

3.发现不同分数单位具有不同的进率。

从“分数墙”可以看到：1＝＝＝＝＝＝＝＝＝。

上述关系表示2个等于1，即“逢二进一”；3个等于1，即“逢三进一”；由此类推，…，10个等于1，即“逢十进一”。

4.可以找到一些等值分数。

如，用2个、4个和6个的积木可以搭成下面的分数墙：













可以发现：＝＝。

5.探索分数单位的和差关系。

如，用1个、1个和5个的积木可以搭成下面的分数墙：











可以发现：＋＝＋＝，－＝－＝。

6.探索分数单位的倍比关系。

如，用1个和2个的积木可以搭成下面的分数墙：











可以发现：是的2倍。

用除法表示为÷＝2，或者÷2＝。

同时，也可以发现：是的。

用除法表示为÷＝。

又如，用1个、1个和1个的积木可以搭成下面的分数墙：









等于1个与1个的和，即等于1又个，或等于3个。

所以，⑴如果以为度量单位去度量，量数是（即1）。

根据量、度量单位与量数的基本关系，即量＝度量单位×量数，

可得＝×。

由上面这个乘法算式又可以得到如下的除法算式：

÷＝，或者÷＝。

⑵如果以为度量单位去度量，则量数是。

于是，＝×。由此可得，÷＝，或者÷＝。

7.探索倒数关系。

如，用3个与1个1的积木可以搭成下面的分数墙：







可以发现，如果用为度量单位去度量1，量数3，即×3＝1；

如果用为度量单位去度量1，则量数是，即×＝1；

以此类推，如果分别用、、、、、、、等为度量单位，去度量1时，量数依次是2、、、、、、、。即得到下列等式：

×2＝1，×＝1，×＝1，×＝1，

×＝1，×＝1，×＝1，×＝1。

由此可以引出倒数的概念。当量是1时，即度量单位与量数的积为1时，度量单位与它对应的量数互为倒数。也就是说，3是的倒数，也是3的倒数；是的倒数，也是的倒数。

自然数（0除外）的倒数是分数单位，分数单位的倒数是自然数。



下面介绍一个关于分数单位的史料：

古代，人们认识分数到研究分数，是从分数单位开始的。古代分数的研究就有这样一个问题：分子是2、分母是奇数（在100以内）的真分数，是否都能分解为一些不相同的单位分数之和。如：

＝＋，＝＋，＝＋，……

＝＋＋。

在3700多年前埃及的纸草书上，就已经记载了上述的研究成果。而通过这种表示法可以进行任何分数的运算。如：

＝＋＝＋＋。



三、分数基本性质的地位与作用







表示表示

从上图发现：＝。这就是分数基本性质的直观背景。

分数基本性质：分数的分子和分母都乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。的分数单位是，的分数单位是。

根据分数的基本性质，我们能够把任何一个分数变换成另一个分数单位的等值分数。也就是说，分数基本性质解决了分数单位的换算问题。统一了分数单位，异分母的分数才能进行加减运算。

例如，＋＝＋

＝×2＋

＝×（2＋1）

＝。

在分数的运算中，把异分母分数变成同分母的分数的过程，叫通分；通分是把较小的分数单位变换为较大的分数单位。在分数的运算中，有时也需要把较大的分数单位变换成较小的分数单位，这个过程

叫约分。例如，×＝

＝

＝。

通分和约分的理论根据都是分数的基本性质。

分数基本性质还是分数集合分类的一个标准。根据分数基本性质，可以把分数集合中所有等值分数都归为一类，于是分数集合就被分成无数个这样的等值分数的类别。如，上述和属于同一类，和属于同一类。

在分数集合的每一个等值分数的类别中，都有且只有一个最简分数。所谓最简分数，就是它的分子和分母除1以外再也没有其他的公因数了。如，上述、都分别是它们所在的等值分数类别中的最简分数。

在分数集合中，最简分数就是每一个等值分数类别的代表。确定这一个代表的重要意义是，确保分数运算与自然数运算一样，运算结果具有单值性（唯一性）。这就是为什么要对运算结果进行约分，直到最简分数为止。

小数单位0.1、0.01、……分别与分数单位、、……是等价的，小数是特殊的分数。小数与分数可以互相转化。

例如，把0.25化为分数。

方法1：（根据小数的意义）

0.25＝0.01×25＝×25＝＝。

方法2：（把小数视为分母是1的分数）

0.25＝＝＝＝。

方法1和方法2中，每一步都是可逆的，所以如果把化为小数，也有与上述对应的两种方法。此外，把分数化为小数还可以直接利用除法，即＝1÷4＝0.25。

在上述两种方法中，分数的基本性质都发挥了作用。

分数基本性质与商不变规律，事实上是从不同的形式表示相同的规律。本质相同而形式不同，主要是适应不同的情境。所以，从商不变规律的重要性亦可反观分数基本性质的重要性。

遇到小数除法，根据商不变规律可以转化为整数除法，从而以整数除法为基础把把小数除法与整数除法统一起来。

例如，2.4÷0.4＝(24×0.1)÷(4×0.1)＝24÷4＝6；

或者，2.4÷0.4＝(2.4×100)÷(0.4×100)＝24÷4＝6.

如果把2.4÷0.4写成分数形式，也未尝不可，不过将出现被称为“繁分数”的分数形式。把繁分数化为简单分数，也必须根据分数的基本性质。

例如，＝

＝

＝6.

有了“商不变规律”,在算式的等值变形中可以避免出现繁分数的形式,所以繁分数的概念很早以前就已经不出现在小数数学的教科书中了；即使出现了“繁分数”，我们就把它当作一般分数来对待，也不必专门为之增加一个新名称。

当沟通了分数、除法与比的本质的联系后，我们可以想到，其实比也有一个与分数基本性质等价的基本性质。即

比的前项与后项都乘或除以相同的数（0除外），比值不变。

根据比的这一基本性质，比可以进行等值变形。在比的实际应用中，如果不掌握比的等值变形，就会寸步难行。不过，比的等值变形不能局限于比的化简。在《分数认识的三次深化与发展》一文中，已经说明把按比分配转化为分数问题来解决的时候，事实上要把整数比转化为分数比的形式，而且这些表示部分与整体关系的分数的总和还必须等于1（即部分之和等于整体）。

下面再看两个实例，进一步体会比的必要性。

一种混凝土是由水泥、沙子和石子混合成的，其中水泥与沙子的比是1︰1.5，沙子与石子的比是1︰。这种混凝土中水泥、沙子和石子的比是多少？

问题中两个已知的比，分别表示混凝土中两个成分的比，而且这两个比的基准不一致。解决这个问题的关键是统一比的基准。因为这两个比中都含有沙子的成分，所以选择沙子为统一的基准，就能把两个比统一起来。

解：水泥︰沙子＝1︰1.5＝10︰15＝︰1；

沙子︰石子＝1︰。

所以，水泥︰沙子︰石子＝︰1︰＝2︰3︰5。

当某种混合物的成分多于两种，并要表示它各种成分之间的倍比关系时，比的表示形式就得天独厚志显示出它的优越性。

（阿拉伯民间流传的数学故事）有一位阿拉伯老人，生前养有11匹马，他去世前立下遗嘱：大儿子、二儿子、小儿子分别继承遗产的、、。儿子们想来想去没法分：他们所得的都不是整数，即分别为、和，总不能把一匹马割成几块来分吧？聪明的邻居牵来了自己的1匹马，对他们说：“你们看，现在有12匹马了，老大得12匹的就是6匹，老二得12匹的就是3匹，老三得12匹的就是2匹，还剩一匹我照旧牵回家去。”这样把分的问题解决了。

学习比的知识，我们都会变得和阿拉伯兄弟的那个邻居一样聪明。这个知识就是比的等值变形。

解：︰︰＝（×12）︰（×12）︰（×12）

＝6︰3︰2，

而且6＋3＋2＝11。

所以，老大、老二、老三分别分得的马分别是6匹、3匹和2匹。

这位阿拉伯邻居一定是一名优秀教师，他善于把上述抽象的演算过程直观地表现出来。他牵来自己的一匹马，凑成12匹马，这个12恰是

、、这三个分数分母的最小公倍数，这个数也是把这三个分数的比化为整数比的关键所在。

综上，可以看到分数基本性质的重要地位和作用：

是把分数从一个分数单位换算为另一个分数单位的基础；

⒉是分数的通分与约分的根据，也是一些算式等值变形的重要途径之一；

⒊是分数集合被分成等值分数类别的分类标准，在每一个类别中都有且只有一个最简分数，使得分数运算的结果具有唯一性。



四、分分数的乘法

1.整数乘分数的意义

从下面的数学情景，可以获得整数乘分数的具体意义。

下图（图1）中4个正方形，每个正方形为1个面积单位，涂色部分的面积是多少？





图1

不难看出：涂色部分的面积＝的4倍。这是用1个正方形的为度量单位，去度量涂色部分，4是得到的量数。

即＋＋＋＝＝＝3。

由于＋＋＋可以简写为×4或4×，

所以，×4＝＝4，或4×＝＝4。①

再看图1，涂色部分的面积＝4的。这是用4个正方形视为一个整体，去度量阴影部分，是得到的量数。

所以，4的＝的4倍。即4的＝×4或4×。

所以，乘法算式4×（也可以写成4×）有两种意义：既可以表示4的，也可以表示的4倍。

应用上面的算法①，进行整数乘分数的必要的练习后，让学生讨论，尝试用自己的语言去总结分数与整数相乘的计算方法，即让学生参与算法的形式化过程。只要学生能说到以下两点，都要加以肯定。

⑴分子和整数相乘；⑵分母不变。

2.分数乘分数的意义

再看下面的数学情景：

下图（图2）中的长方形，面积是1个面积单位，其中斜线的部分是它的，红色部分是斜线部分的。红色部分的面积是多少？







图2

即×＝×＝。②

这个计算结果是依靠图形直观，“看”出来的。如果算，应该怎么算呢？这就要求创造一个算法过程，合乎情理地沟通算式②两边的内在联系。学生是有能力进行这个算法过程的再创造的：

×＝＝。

再看下图（图3）中的长方形，其中斜线部分是它的，红色部分是它的。红色部分的面积是多少？







图3

因此，乘法算式×（也可以写成×）也有两种意义：既可以表示的，也可以表示的。

进而，对两个分数相乘的算法也要形式化，即总结算法：分子相乘，分母也相乘。

事实上，如果把整数视为分母是1的分数，那么整数乘分数的乘法就是分数乘分数的特例而已。

如，4×＝×＝＝＝。

3.分数乘法的算理

如上所述，×＝＝。

一般地，m、n为非零自然数时，×＝。这个关系奠定了分数乘法运算的基础。

如，×＝（3×）×（5×）分数的意义

＝15×

＝分数的意义

＝。约分

又如，2×＝（2＋）×带分数的意义

＝2×＋×乘法分配律

＝＋分数的乘法

＝＋通分

＝同分母分数的加法

＝。约分

或者2×＝×带分数化为假分数

＝＝＝。

一般地说，把带分数化为假分数，作乘法运算比较简便。

4.倒数的意义

掌握了分数乘法的计算方法后，我们同样能够获得前面从“分数墻”上发现的乘法算式：

×2＝1，×＝1，×＝1，×＝1，

×＝1，×＝1，×＝1。

基于这些特殊的乘法算式，又引出一个重要的概念——倒数。

如果两个数的乘积是1，那么我们称其中一个数是另一个数的倒数。例如，的倒数是2，2的倒数是，2与是互为倒数。

0为什么没有倒数？

一般的解释是，因为0乘任何数都得0，积不可能是1。

其实，也可以回顾上面那些乘积是1的算式，是怎么从“分数墻”上发现的。因为量＝度量单位×量数，当量是1时，度量单位×量数＝1。即当量是1时，度量单位与量数互为倒数。

但是把0作为度量单位是没有实际意义的，用它量不出任何结果。所以，0不可能是任何数的倒数，因此0也没有倒数。



五、分数的除法

根据量、度量单位（基准量）与量数的基本关系：

量＝度量单位（基准量）×量数。

我们已经知道：当a、b是自然数，且b≠0时，除法算式a÷b表示两种意义：

⑴由量÷基准量（度量单位）＝量数，可知：a÷b可以表示a是b的几倍或几分之几。这时a与b表示两个量。

⑵由量÷量数＝基准量（度量单位），可知：a÷b可以表示什么数的b倍等于a，或者把a平均分成b份，每份是多少。这时a表示一个量，b表示量数（用所求的量去度量a所得的结果）。

从实际问题抽象出来的除法算式a÷b，究竟表示上述两种意义中的哪一种，必须结合具体情景才能来确定。

当a、b为分数时，除法算式a÷b仍然具有上述两种意义，但必须探索它的算法。分数除法的算法分两种情形来探索：一是除数是整数的情形；二是除数是分数的情形。

1.除数是整数的分数除法

下图（图1）是一个长方形，把它的涂色部分平均分成2份，每份是这个长方形的几分之几？

从这个情景提出的数学问题是：的一半是多少？

算式：÷2＝？

从图1可以看到：÷2＝。

图1

我们可以从前面的“分数墻”上直接看出这个结果。

但是，我们还需要探索，从算式÷2怎么算出结果呢？

算法1：÷2＝＝。

一个分数的分子缩小到原来的一半，分母不变，所得的分数就是原来的一半。

算法2：因为的一半等于的，所以，÷2＝×＝。

比较上面两种算法，算法1有局限性，它转化为两个整数的除法运算，可是在整数范围除法并非总能实施，畅通无阻。

如果图1中的涂色部分平均分成3份，每份是这个长方形的几分之几？

算式：÷3＝？

上面的算法1就行不通了，算法2行得通。

因为÷3＝的，所以，

÷3＝×＝。

图2

图2中的斜线部分是长方形的，也验证了上面的算法是正确的。

从以上的探索结果，可以产生一个猜想：除以一个整数（零除外）等于乘这个整数的倒数。

这个猜想是否成立？有待检验。

理解分数除法的意义，还有另一条重要途径。

在探索分数乘法意义的时候，我们得到一个重要的数量关系：

量＝度量单位×量数

从这个基本关系可以引伸出两个变式：

量÷量数＝度量单位，或量÷度量单位＝量数。

因此，对于除法算式÷3＝？的意义，可以作这样解释：用什么数为度量单位去度量时，量数是3？于是便有下面的代数解法：

设÷3＝x，可得，3x＝，x＝×，x＝。即÷3＝。

在图2中，用斜线部分（即）为度量单位去度量涂色部分（即）时，量数的确是3。这里，我们又看到了，代数的方法与图形的直观相互印证，和谐统一。

代数在解法的过程中，注意到÷3＝x和x＝×，得÷3＝×。

这也验证了一个数学事实：除以一个自然数（零除外）等于乘这个数的倒数。

2.除数是分数的除法

这个探索其实不必再从具体情景或实际操作入手。

因为前面在探索除数是整数的分数除法的时候，已经获得了重要的数学事实：除以一个自然数（零除外）等于乘这个数的倒数。因此，可以类比，得到猜想：除以一个分数是否等于乘这个分数的倒数呢？

验证这个猜想，除了教材提供的方法外，还有其他途径。

途径1：用代数方法检验。

计算：8÷＝？设8÷＝x，可得，x＝8，x＝8×，

x＝12。

注意到8÷＝x和x＝8×，即8÷＝8×。

途径2：从已知到未知的推理。

8÷＝8×（1÷）

＝8×根据倒数关系：×＝1

＝12。

因此，无论除数是整数还是分数，分数除法只有如下法则：

除以一个数（零除外）等于乘这个数的倒数。

这个法则也告诉我们，倒数概念的重要性：有了倒数，乘法和除法两种不同的运算可以统一为乘法运算。



六、比的应用

当a、b表示两个量时，a÷b又叫做a与b的比，记作a︰b，读作“a比b”。其中a、b分别叫做比的前项和后项，它们的商叫做比值。比值是一个相对数。

两个量的比，分为同类量的比与不同类量的比。

1.同类量的比

同类量的比的比值，是一种抽象化的数值（无名数），它是将比的基数（后项）抽象为1而计算出来的。

例1圆周率

圆的周长︰圆的直径＝圆周率。圆周率就是两个同类量的比值。我国南北朝时期著名的数学家祖冲之算出圆周率的值在3.1415926和3.1415927之间,并且得到了圆周率的两个分数形式的近似值：约率为，密率为。这一成就在世界上领先了1000年。

通过圆周率可以表明圆的内部结构与比例关系，从而深刻地提示了圆的本质特征。发现了圆周率，进而能推导出圆的周长和面积公式。

例2按比分配

一座水库按2︰3放养鲢鱼和鲤鱼，一共可以放养鱼苗25000尾。其中鲢鱼和鲤鱼的鱼苗各应放养多少尾？

这是一个按比分配的实际问题。2︰3这个比表明水库里所放养的鱼种结构与比例关系。

线段图：





解法1：2＋3＝5，

25000÷5＝5000，

5000×2＝10000，

5000×3＝15000。

答：应放养鲢鱼10000尾，鲤鱼15000尾。

解法1：设水库放养的鲢鱼2x尾，鲤鱼3x尾。

2x＋3x＝25000，

5x＝25000，

x＝5000。

2x＝10000，3x＝15000。

答：（略）

解法2：2︰3＝︰，且＋＝1，

25000×＝10000，

25000×＝15000。

答：（略）

例3比例尺

比例尺为1︰6000000的地图上，北京与天津的距离大约是4.5厘米，北京与天津的实际距离大约有多少千米？

图上距离与实际距离的比，叫做比例尺。

解：4.5×6000000＝27000000(厘米)

＝270(千米)

答：北京与天津的距离大约有270千米。

例4恩格尔系数

19世纪德国统计学家恩格尔根据统计资料，对消费结构的变化得出一个规律：一个家庭收入越少，家庭收入中（或总支出中）用来购买食物的支出所占的比例就越大，随着家庭收入的增加，家庭收入中（或总支出中）用来购买食物的支出则会下降。推而广之，一个国家越穷，每个国民的平均收入中（或平均支出中）用于购买食物的支出所占比例就越大，随着国家的富裕，这个比例呈下降趋势。恩格尔系数是根据恩格尔定律得出的比例数，是表示生活水平高低的一个指标。其计算公式如下：????????恩格尔系数＝????????除食物支出外，衣着、住房、日用必需品等的支出，也同样在不断增长的家庭收入或总支出中，所占比重上升一段时期后，呈递减趋势。恩格尔系数是国际上通用的衡量居民生活水平高低的一项重要指标，一般随居民家庭收入和生活水平的提高而下降。改革开放以来，我国城镇和农村居民家庭恩格尔系数已由1978年的57.5%和67.7%分别下降到2005年的36.7%和45.5%。国际上常常用恩格尔系数来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况。根据联合国粮农组织提出的标准，恩格尔系数在59%以上为贫困，50-59%为温饱，40-50%为小康，30-40%为富裕，低于30%为最富裕。/平方公里”表示；每人平均粮食产量用“公斤/人”表示；每人平均国民生产总值用“元/人”表示；速度用“千米/时”表示；单价用“元/千克”表示等。

相对数不论是名数还是不名数，都有一个重要功能，即可以利用那些总量指标不能直接对比的现象，找到可比的基础，从而揭示事物之间的差别程度。

速度

马拉松选手2时约跑40千米，骑车者3时行45千米。两者谁的速度快？

比较速度有两种图式，一是比单位时间所走的路程，二是比单位路程所花的时间，于是有下面两种解法。

解法1：

40︰2＝20︰1＝20（千米/时），

45︰3＝15︰1＝15（千米/时）。

答：马拉松选手的速度比骑车者快。

解法2：

2︰40＝1︰20＝（时/千米），

3︰45＝1︰15＝（千米/时）。

答：（略）

一般地，路程与时间的比值，叫做速度。即

＝速度。

路程一定时，时间花得越少，速度就越快；时间花得越多，速度就越慢。

例6GDP能耗

GDP即国内生产总值。国内标准煤消耗总量与国内生产总值的比值，叫做GDP能耗（吨/万元）。

我国到第十一个五年计划末每万元GDP能耗为2吨标准煤左右。那么每亿元GDP能耗大约为多少吨标准煤？

解：设每亿吨GDP能耗为x吨标准煤。

＝2

x＝20000（吨）＝2（万吨）。

答：每亿元GDP能耗大约为2万吨标准煤。

空气的清新度

空气中含有带负电荷的肉眼看不见的微粒子，叫负离子。负离子也被称为“空气中的维生素”。空气中负离子的个数与空气的体积（cm3）的比值，叫做负离子浓度（个/cm3）。即

＝负离子浓度。

负离子浓度是比较空气清新程度的根据：

负离子浓度 等级 描述 ＞2000 一级 非常清新 1500—2000 二级 清新 1000—1500 三级 较清新 500—1000 四级 一般 ≤500 五级 不清新 负离子发现与应用是人类在十九世纪的事，第一个国际学术会上证明负离子对人体有功效的是德国物理学家菲利浦莱昂纳博士，他认为地球自然环境对人类健康有益的负离子最多的地方是瀑布周围某种物质的质量和其体积的比值，即单位体积的某种物质的质量叫这种物质密度＝密度。

密度是比较物质轻重的标准。金的密度是19.32克/cm3，银的密度是10.53克/cm3，金比银重得多。

为了鉴定皇冠里是否掺了银子，阿基米德要想办法检验皇冠的密度是否等于金的密度。解决这个问题需要测量出皇冠的体积，但如何测量形状不规则的皇冠体积呢？阿基米德一直解决不了这个难题。

有一天，阿基米德跨进浴盆洗澡时，看见水溢出盆外，于是从中受到启发：可以通过排出去的水的体积确定皇冠的体积。他测定的结果表明皇冠的密度比金的密度小，因此断定皇冠被掺进了银子。

































2015/8/29



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量

量数

等分除、包含除

名数、无名数P17

与3÷4＝类比

与上图联系，理解比较绕

实际意义

被除数、除数同时扩大或缩小，商不变。比分数基本性质要广……

生前养有13匹马，他去世前立下遗嘱：大儿子、二儿子、小儿子分别继承遗产的、、。



33



4



0







1



0



b



a



0







1



0



3



1



0











1



0



4



？



1



0



3







0







1



0



3



1



0



？



A



B



C



D



E



F



450







？







？



0



0



1



事实上，这个数学问题，就是求的是多少。所以，要用乘法求这两个分数的积。

从图2可以看出：红色部分是长方形的。



同理，这个数学问题，要求的是多少。这也是做乘法运算，也会发现：

×＝＝。





鲢鱼



25000尾



鲤鱼