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课题：函数的周期性
考纲要求：
了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.
教材复习
??1周期函数：对于函数()yfx?，如果存在非零常数T，使得当x取定义域内的任何
值时，都有，那么就称函数()yfx?为周期函数，称T为这个函数的
一个周期.
??2最小正周期：如果在周期函数()fx的所有周期中的正数，那么这个最
小正数就叫作()fx的最小正周期.
基本知识方法
1.周期函数的定义：对于()fx定义域内的每一个x，都存在非零常数T，使得
()()fxTfx??恒成立，则称函数()fx具有周期性，T叫做()fx的一个周期，
则kT（,0kZk??）也是()fx的周期，所有周期中的最小正数叫()fx的最小正周期.
2.几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：
函数??yfx?满足对定义域内任一实数x（其中a为常数）,
①????fxfxa??，则??yfx?是以Ta?为周期的周期函数；
②????fxafx???，则??xf是以2Ta?为周期的周期函数；
③????1fxa
fx???
，则??xf是以2Ta?为周期的周期函数；
④????fxafxa???，则??xf是以2Ta?为周期的周期函数；
⑤1()()
1()fxfxafx????
，则??xf是以2Ta?为周期的周期函数.
⑥1()()
1()fxfxafx?????
，则??xf是以4Ta?为周期的周期函数.
⑦1()()
1()fxfxafx????
，则??xf是以4Ta?为周期的周期函数.
⑧函数()yfx?满足()()faxfax???（0a?），若()fx为奇函数，则其周期为
4Ta?，若()fx为偶函数，则其周期为2Ta?.
⑨函数()yfx???xR?的图象关于直线xa?和xb???ab?都对称，则函数()fx是
以??2ba?为周期的周期函数；
⑩函数()yfx???xR?的图象关于两点??0,Aay、??0,Bby??ab?都对称，则函数
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()fx是以??2ba?为周期的周期函数；
⑾函数()yfx???xR?的图象关于??0,Aay和直线xb???ab?都对称，则函数()fx
是以??4ba?为周期的周期函数；
3.判断一个函数是否是周期函数要抓住两点：一是对定义域中任意的x恒有
()()fxTfx??;
二是能找到适合这一等式的非零常数T，一般来说，周期函数的定义域均为无限集.
4.解决周期函数问题时，要注意灵活运用以上结论，同时要重视数形结合思想方法的运用，
还要注意根据所要解决的问题的特征来进行赋值.
问题1．(06山东)已知定义在R上的奇函数()fx满足(2)()fxfx???，则(6)f的
值为.A1?.B0.C1.D2
问题2．??1(00上海)设()fx的最小正周期2T?且()fx为偶函数，
它在区间??0,1上的图象如右图所示的线段AB,则在区间??1,2上,
()fx?
??2已知函数()fx是周期为2的函数，当11x???时，2()1fxx??，
当1921x??时，()fx的解析式是
??3??xf是定义在R上的以2为周期的函数，对kZ?，用kI表示区间??21,21kk??，
已知当0xI?时，??2fxx?，求??xf在kI上的解析式。
012
x
y
2
1B
A
x
?
?
?
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问题3．??1（04福建）定义在R上的函数??xf满足????2??xfxf，当??5,3?x时，
??42???xxf，则.Asincos66ff???????????????；.B????sin1cos1ff?；
.C22cossin
33ff???????????????
.D????cos2sin2ff?
??2（05天津文）设()fx是定义在R上以6为周期的函数，()fx在(0,3)内单调递减，
且()yfx?的图像关于直线3x?对称，则下面正确的结论是
.A(1.5)(3.5)(6.5)fff??.B(3.5)(1.5)(6.5)fff??
.C(6.5)(3.5)(1.5)fff??.D(3.5)(6.5)(1.5)fff??
问题4．定义在R上的函数??xf，对任意Rx?，有????????yfxfyxfyxf2????，
且??00?f，??1求证：??10?f；??2判断??xf的奇偶性；
??3若存在非零常数c,使02???????cf，①证明对任意Rx?都有????xfcxf???成立；
②函数??xf是不是周期函数，为什么？
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问题5．（01全国）设()fx是定义在R上的偶函数，其图象关于直线1x?对称，对任
意的
121,0,2xx???????
，都有1212()()()fxxfxfx???.
??1设(1)2f?，求1()2f、1()4f；??2证明：()fx是周期函数.
??3记????????nnfan212，求lim(ln)nna??.
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课后作业：
1.（2013榆林质检）若已知()fx是R上的奇函数，且满足(4)()fxfx??，当??0,2x?
时，2()2fxx?，则(7)f等于.A2?.B2.C98?.D98
2.设函数??fx（xR?）是以3为周期的奇函数，且????11,2ffa??，则
.A2a?.B2a??.C1a?.D1a??
3.函数()fx既是定义域为R的偶函数，又是以2为周期的周期函数，若()fx在??1,0?上
是减函数，那么()fx在??2,3上是
.A增函数.B减函数.C先增后减函数.D先减后增函数
4.设1()1xfxx???，记(){[()]}
nnffxffffx????个
，则2007()fx?
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5.已知定义在R上的函数()fx满足3()2fxfx?????????，且??23f??，
则(2014)f?
6.设偶函数()fx对任意xR?，都有1(3)()fxfx???，且当??3,2x???时，
()2fxx?，则(113.5)f?.A27?.B27.C15?.D15
7.设函数()fx是定义在R上的奇函数，对于任意的xR?，都有1()(1)1()fxfxfx????，
当0x?≤1时，()2fxx?，则(11.5)f?.A1?.B1.C12.D12?
8.已知()fx是定义在R上的奇函数，满足(2)()fxfx???，且[0,2]x?时，
2()2fxxx??.??1求证：()fx是周期函数；??2当[2,4]x?时，求()fx的表达式；
??3计算(1)(2)(3)(2013)ffff????.
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9.（05朝阳模拟）已知函数()fx的图象关于点3,04???????对称，且满足3()()2fxfx???，
又(1)1f??，(0)2f??，求(1)(2)(3)fff???…(2006)f?的值
走向高考：
1.（05福建）)(xf是定义在R上的以3为周期的奇函数，且0)2(?f在区间??0,6内解
的个数的最小值是.A2.B3.C4.D5
2.（2012山东）定义在R上的函数()fx满足(6)()fxfx??，当3?≤1x??时，
??2()2fxx???，当1?≤3x?时，()fxx?，则(1)(2)(3)(2012)ffff????
.A335.B338.C1678.D2012
3.(96全国)已知函数)(xf为R上的奇函数，且满足(2)()fxfx???，
当0≤1x?时，()fxx?，则(7.5)f等于
.A0.5.B0.5?.C1.5.D1.5?
4.（06安徽）函数??fx对于任意实数x满足条件????12fxfx??，若??15f??，
则????5ff?
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5.(06福建文）已知()fx是周期为2的奇函数，当01x??时，()lg.fxx?
设63(),(),52afbf??5(),2cf?则
.Aabc??.Bbac??.Ccba??.Dcab??
6.（04天津）定义在R上的函数)(xf既是偶函数又是周期函数，若)(xf的最小正周期
是?，且当]2,0[??x时，xxfsin)(?，则5
3f???????
的值为
.A21?.B21.C23?.D23
7.（05天津）设)(xf是定义在R上的奇函数，且)(xfy?的图象关于直线21?x
对称，则(1)(2)(3)(4)(5)fffff?????
8.★（05广东）设函数()fx在(,)????上满足(2)(2)fxfx???，
(7)(7)fxfx???，且在闭区间??0,7上，只有(1)(3)0ff??．
（Ⅰ）试判断函数()yfx?的奇偶性；
（Ⅱ）试求方程()0fx?在闭区间??2005,2005?上的根的个数，并证明你的结论.
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