【小学数学解题思路大全】式题的巧解妙算（一）
1.特殊数题(1)21－12
当被减数和减数个位和十位上的数字(零除外)交叉相等时，其差为被减数与减数十位数字的差乘以9。
因为这样的两位数减法，最低起点是21－12，差为9，即(2－1)×9。减数增加1，其差也就相应地增加了一个9，故31－13＝(3－1)×9＝18。减数从12—89，都可类推。
被减数和减数同时扩大(或缩小)十倍、百倍、千倍……，常数9也相应地扩大(或缩小)相同的倍数，其差不变。如
210－120＝(2－1)×90＝90，
0.65－0.56＝(6－5)×0.09＝0.09。
(2)31×51
个位数字都是1，十位数字的和小于10的两位数相乘，其积的前两位是十位数字的积，后两位是十位数字的和同1连在一起的数。
若十位数字的和满10，进1。如
证明：(10a＋1)(10b＋1)
＝100ab＋10a＋10b＋1
＝100ab＋10(a＋b)＋1
(3)26×8642×62
个位数字相同，十位数字和是10的两位数相乘，十位数字的积与个位数字的和为积的前两位数，后两位是个位数的积。若个位数的积是一位数，前面补0。
证明：(10a＋c)(10b＋c)
＝100ab＋10c(a＋b)＋cc
＝100(ab＋c)＋cc(a＋b＝10)。
(4)17×19
十几乘以十几，任意一乘数与另一乘数的个位数之和乘以10，加个位数的积。
原式＝(17＋9)×10＋7×9＝323
证明：(10＋a)(10＋b)
＝100＋10a＋10b＋ab
＝[(10＋a)＋b]×10＋ab。
(5)63×69
十位数字相同，个位数字不同的两位数相乘，用一个乘数与另个乘数的个位数之和乘以十位数字，再乘以10，加个位数的积。
原式＝(63＋9)×6×10＋3×9
＝72×60＋27＝4347。
证明：(10a＋c)(10a＋d)
＝100aa＋10ac＋10ad＋cd
＝10a[(10a＋c)＋d]＋cd。
(6)83×87
十位数字相同，个位数字的和为10，用十位数字加1的和乘以十位数字的积为前两位数，后两位是个位数的积。如
证明：(10a＋c)(10a＋d)
=100aa＋10a(c＋d)＋cd
＝100a(a＋1)＋cd(c＋d＝10)。
(7)38×22
十位数字的差是1，个位数字的和是10且乘数的个位数字与十位数字相同的两位数相乘，积为被乘数的十位数与个位数的平方差。
原式＝(30＋8)×(30－8)
＝302－82＝836。
(8)88×37
被乘数首尾相同，乘数首尾的和是10的两位数相乘，乘数十位数字与1的和乘以被乘数的相同数字，是积的前两位数，后两位是个位数的积。
(9)36×15
乘数是15的两位数相乘。
被乘数是偶数时，积为被乘数与其一半的和乘以10；是奇数时，积为被乘数加上它本身减去1后的一半，和的后面添个5。
＝54×10＝540。
55×15
(10)125×101
三位数乘以101，积为被乘数与它的百位数字的和，接写它的后两位数。125＋1＝126。
原式＝12625。
再如348×101，因为348＋3＝351，
原式＝35148。
(11)84×49
一个数乘以49，把这个数乘以100，除以2，再减去这个数。
原式＝8400÷2－84
＝4200－84＝4116。
(12)85×99
两位数乘以9、99、999、…。在被乘数的后面添上和乘数中9的个数一样多的0、再减去被乘数。
原式＝8500－85＝8415
不难看出这类题的积：
最高位上的两位数(或一位数)，是被乘数与1的差；
最低位上的两位数，是100与被乘数的差；
中间数字是9，其个数是乘数中9的个数与2的差。
证明：设任意两位数的个位数字为b、十位数字为a(a≠0)，则
如果被乘数的个位数是1，例如
31×999
在999前面添30为30999，再减去30，结果为30969。
71×9999＝709999－70＝709929。
这是因为任何一个末位为1的两位自然数都可表示为(10a＋1)的形式，由9组成的自然数可表示为(10n－1)的形式，其积为
(10a＋1)(10n－1)＝10n＋1a＋(10n－1)－10a。
(13)1÷19
这是一道颇为繁复的计算题。
原式＝0.052631578947368421。
根据“如果被除数不变，除数扩大(或缩小)若干倍，商反而缩小(或扩大)相同倍”和“商不变”性质，可很方便算出结果。
原式转化为0.1÷1.9，把1.9看作2，计算程序：
(1)先用0.1÷2＝0.05。
(2)把商向右移动一位，写到被除数里，继续除
如此除到循环为止。
仔细分析这个算式：
加号前面的0.05是0.1÷2的商，后面的0.05×0.1÷1.9中0.05×0.1＝0.005，就是把商向右移动一位写到被除数里，除以1.9。这样我们又可把除数看作2继续除，依此类推。
除数末位是9，都可用此法计算。
例如1÷29，用0.1÷3计算。
1÷399，用0.1÷40计算。
2.估算
数学素养与能力(含估算能力)的强弱，直接影响到人们的生活节奏和工作、学习、科研效率。已经引起世界有关专家、学者的重视，是个亟待研究的课题。
美国数学督导委员会，提出的12种面向全体学生的基本数学能力中，第6种能力即估算：“学生应会通过心算或使用各种估算技巧快速进行近似计算。当解题或购物中需要计算时，估算可以用于考查合理性。检验预测或作出决定……”
(1)最高位估算
只计算式中几个运算数字的最高位的结果，估算整个算式的值大概在什么范围。
例11137＋5044－3169
最高位之和1＋5－3＝3，结果在3000左右。
如果因为忽视小数点而算成560，依据“一个不等于零的数乘以真分数，积必小于被乘数”估算，错误立即暴露。
例351.9×1.51
整体思考。
因为51.9≈50，
而50×1.51≈50×1.5＝75，
又51.9＞50，1.51＞1.5，
所以51.9×1.51＞75。
另外9×1＝9，
所以原式结果大致是75多一点，三位小数的末位数字是9。
例43279÷79
把3279和79，看作3200和80。准确商接近40，若相差较大，则是错的。
(2)最低位估算
例如，6403＋232＋1578
3＋2＋8＝13，原式和的末位必是3。
(3)规律估算
和大于每一个加数；
两个真分数(或纯小数)的和小于2；
一个真分数与一个带分数(或一个纯小数与一个带小数)的和大于这个带分数(或带小数)，且小于这个带分数(或带小数)的整数部分与2的和；
两个带分数(或带小数)的和总是大于两个带分数(或带小数)整数部分的和，且小于这两个整数部分的和加上2；
奇数±奇数＝偶数，偶数±偶数＝偶数，奇数±偶数＝奇数；
差总是小于被减数；
整数与带分数(或带小数)的差小于整数与带分数(或带小数)的整数部分的差；带分数(或带小数)，与整数的差大于带分数(或带小数)的整数部分与整数的差。
带分数(或带小数)与真分数(或纯小数)的差小于这个带分数(或带小数)，且大于带分数(或带小数)减去1的差；
带分数与带分数(或带小数与带小数)的差小于被减数与减数的整数部分的差，且大于这个差减去1；
如果两个因数都小于1，则积小于任意一个因数；
若两个因数都大于1，则积大于任意一个因数；
带分数与带分数(或带小数与带小数)的积大于两个因数的整数部分的积，且小于这两个整数部分分别加1后相乘的积；例如，
A＜AB＜B。
奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数；
若除数＜1，则商＞被除数；
若除数＞1，则商＜被除数；
若被除数＞除数，则商＞1；
若被除数＜除数，则商＜1。
(4)位数估算
整数减去小数，差的小数位数等于减数的小数位数；例如，320－0.68，差为两位小数。
最高位的乘积满十的两个整数相乘的积的位数，等于这两个数的位数和；
例如，451×7103
最高位的积4×7＝28，满10，结果是3＋4＝7(位数)。在整除的情况下，被除数的前几位不够除，商的位数等于被除数的位数减去除数的位数；
例如，147342÷27
14不够27除，商是4－2＝2(位数)。
被除数的前几位够除，商的位数等于被除数的位数与除数位数的差加上1。
例如，30226÷238
302够238除，商是5－3＋1＝3(位数)。
(5)取整估算
把接近整数或整十、整百、……的数，看作整数，或整十、整百…的数估算。
如1.98＋0.97≈2＋1，和定小于3。
12×8.5≈10×10，积接近100。
3.并项式
应用交换律、结合律，把能凑整的数先并起来或去括号。
例13.34＋12.96＋6.66
＝12.96＋(3.34＋6.66)
＝12.96＋10＝22.96
＝3－3＝0
例315.74－(8.52＋3.74)
＝15.74－3.74－8.52
＝12－8.52＝3.48
例41600÷(400÷7)
＝1600÷400×7
＝4×7
＝28
4.提取式
根据乘法分配律，可逆联想。
＝(3.25＋6.75)×0.4＝10×0.4
＝4
5.合乘式
＝87.5×10×1＝875
＝8－7＝1
6.扩缩式
例11.6×16＋0.4×36
＝0.4×(64＋36)
＝0.4×100＝40
例216×45
7.分解式
例如，14×72＋42×76
＝14×3×24＋42×76
＝42×(24＋76)
＝42×100＝4200
8.约分式
＝3×7×2＝42
例2169÷4÷7×28÷13
=1988
例71988198819881988÷1989198919891989被除数与除数，分别除
9.拆分式
10.拆积式
例如，32×1.25×25
＝8×1.25×(4×25)
＝10×100＝1000
11.换和式
例10.1257×8
＝(0.125＋0.0007)×8
＝1＋0.0056＝1.0056
例48.37－5.68
＝(8.37＋0.32)－(5.68＋0.32)
＝8.69－6＝2.69
12.换差式
13.换乘式
例1123＋234＋345＋456＋567＋678
＝(123＋678)×3
＝801×3＝2403
例2(6.72＋6.72＋6.72＋6.72)×25
＝6.72×(4×25)＝672
例345000÷8÷125
＝45000÷(8×125)
＝45000÷1000＝45
例49.728÷3.2÷25
＝9.728÷(0.8×4×25)
＝9.728÷80
＝0.9728÷8＝0.1216
例533333×33333
＝11111×99999
＝11111×(100000－1)
＝1111100000－11111
＝1111088889
综合应用，例如
＝1000＋7＝1007
＝(11.75＋1.25－4.15－0.85)×125.25(转)
＝[(11.75＋1.25)－(4.15＋0.85)]×125.25(合)
＝8×125.25
＝8×(125＋0.25)(拆)
＝8×125＋8×0.25＝1002
14.换除式
例如，5600÷(25×7)
＝5600÷7÷25
＝800÷25＝32
15.直接除
17.以乘代加
例17＋4＋5＋2＋3＋6
＝9×3＝27
如果两个分数的分子相同，且等于分母之和(或差)，那么这两个分数的和(或差)等于它们的积。
18.以乘代减
知，两个分数的分子都是1，分母是连续自然数，其差等于其积。
可见，各分数的分子都是1。第一个减数的分母等于被减数的分母加1。第二个减数的分母等于被减数的分母与第一个减数的分母的积加1，第n个减数的分母等于被减数的分母与第一、二、……第n-1个减数的分母的连乘积加上1。(n为不小于2的自然数)其差等于其积
19.以加代乘
一个整数与一个整数部分和分子都是1，分母比整数(另个乘数)小1
20.以除代乘
例如，25×123678448
＝123678448×(100÷4)
＝12367844800÷4
＝3091961200
21.以减代除
＝1986－662＝1324
3510÷15
＝(3510－1170)÷10＝234
22.以乘代除
例如，2.7÷4÷6×24÷27
23.以除代除
观察其特点，
24.并数凑整
例如，372＋499
＝372＋500－1＝871
56.7－12.8
＝56.7－13＋0.2＝43.9
25.拆数凑整
例如，476＋302
＝476＋300＋2＝778
9.42－3.1
＝9.42－3－0.1＝6.32
26.加分数凑整
应用“被减数、减数同时增加或减少相同的数，其差不变”的性质，使原来减去一个带分数或带小数，变成减去整数。
例38.37-5.68
=(8.37+0.32)-(5.68+0.32)
=8.69-6=2.69
30.凑公因数
例如，1992×27.5＋1982×72.5
＝1992×27.5＋(1992-10)×72.5
＝1992×27.5＋1992×72.5-10×72.5
＝1992×(27.5＋72.5)-725
=199200-725=198475
或原式=(1982＋10)×27.5＋1982×72.5
……
31.和差积法
32.直接写得数
观察整数和分数部分，显然原式=3。
33.变数为式
……
34.分解再组合
例如，(1＋2＋3＋…＋99)＋(4＋8＋12＋…＋396)
＝(1＋2＋3＋…＋99)＋4(1+2+3＋…＋99)
＝5(1＋2+3＋…＋99)
35.先分解再通分
有的学生通分时用短除法，找了许多数试除都不行，而断定57和76为互质数。
判断两个数是否互质，不必用2、3、5、……逐个试除。把其中一个分解质因数，看另一个数能否被这里的某个质因数整除即可。
57＝3×19，如果57和76有公有的质因数，只可能是3或19。用3、19试除，
[57，76]＝19×3×4＝228。
26＝2×13，65和91是13的倍数。
最小公分母为
13×2×5×7＝910。
37.巧用分解质因数
教材中讲分解质因数，主要是为了求几个数的最大公约数和最小公倍数，给通分和约分打基础。其实，分解质因数在解题中很有用处。提供新解法，启迪创造思维。
例1184×75
原式＝2×2×46×3×5×5
=46×3×(2×5)2
=138×100=13800。
38.“1、1”法
一个整数减去一个带分数，可用这个整数减去比减数的整数部分多1的数，再从1中减去分数部分。
为便于记忆，称“1、1”法。
39.“1，9，9…10”法
一个整数减去一个小数(末位不为0)，可先减去比小数高位多1的数，再从9中减去其它位数，最后从10中减去末位数。
40.改变运算顺序
例1650×74÷65
＝(650÷65)×74
＝10×74＝740
例2176×98÷49
＝176×(98÷49)
＝176×2＝352
例37÷13×52÷4
例4102×99－0.125×99×8
＝102×99－1×99
＝99×(l00＋１)
＝9900＋99＝9999
41.用数据
熟记一些特殊数据，可使计算简捷、迅速。
例1由37×3＝111
知37×6＝111×2＝222
37×15＝37×3×5＝555
例31000以内(不包括整十、整百)只含因数2或5的2、4、8、16、32、64、128、256、512；
5、25、125、625。
这些数作分母的分数才能化成有限小数，不需试除。
例4特殊分数化小数
分母是5、20、25、50的最简分数，在化为小数时，把分子相应地扩大2、5、4、2倍，再缩小10、100倍。
分母是8的最简分数，分子是1、3，小数的第一位也是1、3。
分母是9的最简分数，循环节的数字和分子的数字相同。
例51～9π
1×3.14＝3.146×3.14＝18.84
2×3.14＝6.287×3.14＝21.98
3×3.14＝9.428×3.14＝25.12
4×3.14＝12.569×3.14＝28.26
5×3.14＝15.7
熟记这些数值，可口算。
3.14×13=10π+3π=40.82
3.14×89=90π-π
=282.6-3.14=279.46
π×1.58
变为整数，三位数前面补0改为四位数，
这样不会把数位搞错，将结果左端的0去掉，点上小数点得4.9612。也可从高位算起。
42.想特殊性
仔细审题，知第二个括号里的结果为0，此题得0。
所以可直接得0。
例3(1.9-1.9×0.9)÷(3.8－2.8)
除数为1，则商就是被除数。
43.想变式
44.用规律
例1682＋702
两个连续奇(偶)数的平方和，等于这两个数之积的2倍加4的和。
原式＝68×70×2＋4
＝9520＋4＝9524。
例2522－512＝52＋51＝103
两个连续自然数的平方差，等于这两个数的和。
例318×19＋20
任意三个连续自然数，最小数与中间数的乘积加上最大数的和，等于最大数与中间数的乘积减去最小数。
原式＝20×19－18＝362。
例416×17－15×18
四个连续自然数，中间两个的积比首尾两个的积多2。
原式＝2。
证明：设任意四个连续自然数分别为a－1、a、a＋1、a＋2，
则a(a＋1)－(a－1)(a＋2)
＝a2+a-a2-a＋2＝2。
例5一个从第一位开始有规律循环的多位数(包括整数部分是0的纯循环小数)，乘以一个与其循环节位数相同的数，其规律适用于一些题的简算。
ABAB×CD＝(AB×100＋AB)×CD
＝AB×100×CD＋AB×CD
＝(CD×100＋CD)×AB
＝CDCD×AB
如：125×5×1616×78
＝125×5×7878×16
＝(125×8)×(5×2)×7878
＝78780000
45.基础题法
在基础题上深化。例如，
观察(1)的解题过程，
逆用各步的结构特点，
46.巧归纳
例如，1＋2＋…＋100＋99＋…＋1
1～100的和为5050，再加一倍为10100，减去多加的100为10000。但速度太慢。
有相同的行数和列数，用点或圈列成正方形的数，叫作正方形数。
由图知
1＋2＋3＋2+1＝32，
1＋2＋3＋4+5＋4+3＋2＋1＝52。
不难发现，和为最大加数的平方。显然，
5＋6＋…＋29＋30＋29＋…＋6＋5
＝302－42-4
＝900－16－4＝880。
【小学数学解题思路大全】巧想妙算文字题（一）
1.想数码
例如，1989年“从小爱数学”邀请赛试题6：两个四位数相加，第一个四位数的每一个数码都不小于5，第二个四位数仅仅是第一个四位数的数码调换了位置。某同学的答数是16246。试问该同学的答数正确吗？(如果正确，请你写出这个四位数；如果不正确，请说明理由)。
思路一：易知两个四位数的四个数码之和相等，奇数＋奇数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，这两个四位数相加的和必为偶数。
相应位数两数码之和，个、十、百、千位分别是17、13、11、15。所以该同学的加法做错了。正确答案是
思路二：每个数码都不小于5，百位上两数码之和的11只有一种拆法5＋6，另一个5只可能与8组成13，6只可能与9组成15。这样个位上的两个数码，8＋9＝16是不可能的。
不要把“数码调换了位置”误解为“数码顺序颠倒了位置。”
2.尾数法
例1比较1222×1222和1221×1223的大小。
由两式的尾数2×2＝4，1×3＝3，且4＞3。
知1222×1222＞1221×1223
例2二数和是382，甲数的末位数是8，若将8去掉，两数相同。求这两个数。
由题意知两数的尾数和是12，乙数的末位和甲数的十位数字都是4。
由两数十位数字之和是8－1＝7，知乙数的十位和甲数的百位数字都是3。
甲数是348，乙数是34。
例3请将下式中的字母换成适当的数字，使算式成立。
由3和a5乘积的尾数是1，知a5只能是7；
由3和a4乘积的尾数是7－2＝5，知a4是5；……不难推出原式为
142857×3＝428571。
3.从较大数想起
例如，从1～10的十个数中，每次取两个数，要使其和大于10，有多少种取法？
思路一：较大数不可能取5或比5小的数。
取6有6＋5；
取7有7＋4，7＋5，7＋6；
…………………………………………
取10有九种10＋1，10＋2，……10＋9。
共为1＋3＋5＋7＋9＝25(种)。
思路二：两数不能相同。较小数为1的只有一种取法1＋10；为2的有2＋9，2＋10；……较小数为9的有9＋10。
共有取法1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1＝25(种)
这是从较小数想起，当然也可从9或8、7、……开始。
思路三：两数和最大的是19。两数和大于10的是11、12、…、19。
和是11的有五种1＋10，2＋9，3＋8，4＋7，5＋6；和是11～19的取法
5＋4＋4＋3＋3＋2＋2＋1＋1＝25(种)。
4.想大小数之积
用最大与最小数之积作内项(或外项)的积，剩的相乘为外项(或内项)的积，由比例基本性质知
交换所得比例式各项的位置，可很快列出全部的八个比例式。
5.由得数想
例如，思考题：在五个0.5中间加上怎样的运算符号和括号，等式就成立？其结果是
0，0.5，1，1.5，2。
从得数出发，想：
两个相同数的差，等于0；
一个数加上或减去0，仍等于这个数；
一个因数是0，积就等于0；
0除以一个数(不是0)，商等于0；
两个相同数的商为1；
1除以0.5，商等于2；……
解法很多，只举几种：
(0.5－0.5)×0.5×0.5×0.5＝0
0.5－0.5－(0.5－0.5)×0.5＝0
(0.5＋0.5＋0.5)×(0.5－0.5)＝0\
(0.5＋0.5－0.5－0.5)×0.5＝0
(0.5－0.5)×0.5×0.5＋0.5＝0.5
0.5＋0.5＋0.5－0.5－0.5＝0.5
(0.5＋0.5)×(0.5＋0.5—0.5)＝0.5
(0.5＋0.5)×0.5＋0.5－0.5＝0.5
(0.5－0.5)×0.5＋0.5＋0.5＝1
0.5÷0.5＋(0.5－0.5)×0.5＝1
(0.5－0.5)÷0.5＋0.5＋0.5＝1
(0.5＋0.5)÷0.5－(0.5＋0.5)＝1
0.5－0.5＋0.5＋0.5÷0.5＝1.5
(0.5＋0.5)×0.5＋0.5＋0.5＝1.5
0.5＋0.5＋0.5＋0.5－0.5＝1.5
0.5÷0.5＋0.5÷0.5－0.5＝1.5
0.5÷0.5÷0.5＋0.5－0.5＝2
(0.5＋0.5)÷0.5＋0.5－0.5＝2
(0.5＋0.5＋0.5－0.5)÷0.5＝2
[(0.5＋0.5)×0.5＋0.5]÷0.5＝2
6.想平均数
思路一：由“任意三个连续自然数的平均数是中间的数”。设第一个数为“1”，则中间数占
知这三个数是14、15、16。
二、一个数分别为
16－1＝15，
15－1＝14或16－2＝14。
若先求第一个数，则
思路三：设第三个数为“1”，则第二、三个数，
知是15、16。
思路四：第一、三个数的比是7∶8，第一个数是2÷(8－7)×7＝14。
若先求第三个数，则
2÷(8－7)×8＝16。
7.想奇偶数
例1思考题：在1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数字中，不改变它们的顺序、在它们中间添上加、减两种符号，使所得的结果都等于100。
例如
1＋23－4＋5＋6＋78－9＝100123＋45－67＋8－9＝100
你还能想出不同的添法吗？
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45。若去掉7和8间的“＋”，式左为1＋2＋3＋4＋5＋6＋78＋9，比原式和增大了78－(7＋8)＝63，即
1＋2＋3＋4＋5＋6＋78＋9
＝45＋63＝108。
为使其和等于100，式左必须减去8。加4改为减4，即可1＋2＋3－4＋5＋6＋78＋9＝100。
“减去4”可变为“减1、减3”，即－1＋2－3＋4＋5＋6＋78＋9＝100二年级小学生没学过负“－1”，不能介绍。如果式左变为
12＋3＋4＋5＋6＋7＋89。
［12－(1＋2)］＋［89－(8＋9)］＝81。即12＋3＋4＋5＋6＋7＋89＝45＋81＝100＋26。
要将“＋”变为“－”的数和为13，在3、4、5、6、7中有6＋7，3＋4＋6，因而有
12＋3＋4＋5－6－7＋89＝100，
12－3－4＋5－6＋7＋89＝100，
同理得
12＋3－4＋5＋67＋8＋9＝100，
1＋23－4＋56＋7＋8＋9＝100，
1＋2＋34－5＋67－8＋9＝100，
123－4－5－6－7＋8－9＝100，
123＋4－5＋67－89＝100，
123－45－67＋89＝100。
为了减少计算。应注意：
(1)能否在1、23、4、5、6、7、89中间添上加、减(不再去掉某两数间的加号)，结果为100呢？
1、23、5、7、89的和或差是奇数，4、6的和或差是偶数，奇数±偶数＝奇数，结果不会是100。
(2)有一个是四位数，结果也不可能为100。因为1234减去余下数字组成(按顺序)的最大数789，再减去余下的56，差大于100。
例2求59～199的奇数和。
由从1开始的连续n个奇数和、等于奇数个数n的平方
1＋3＋5＋7＋……＋(2n－1)＝n2
奇数比它对应的序数2倍少1。用n表示任意一个自然数，它对应的奇数为2n－1。
例如，32对应奇数2×32－1＝63。奇数199，从1起的连续奇数中排列在100(2n－1＝199，n＝100)的位置上。
知1～199的奇数和是1002＝10000。此和包括59，2n－1＝57、n＝29、1～57的奇数和为292＝841。
所求为10000－841＝9159。
或者59＝30×2－1，302＝900，
10000－900＋59＝9159。
例1思考题：在1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数字中，不改变它们的顺序、在它们中间添上加、减两种符号，使所得的结果都等于100。
例如
1＋23－4＋5＋6＋78－9＝100123＋45－67＋8－9＝100
你还能想出不同的添法吗？
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45。若去掉7和8间的“＋”，式左为1＋2＋3＋4＋5＋6＋78＋9，比原式和增大了78－(7＋8)＝63，即
1＋2＋3＋4＋5＋6＋78＋9
＝45＋63＝108。
为使其和等于100，式左必须减去8。加4改为减4，即可1＋2＋3－4＋5＋6＋78＋9＝100。
“减去4”可变为“减1、减3”，即－1＋2－3＋4＋5＋6＋78＋9＝100二年级小学生没学过负数“－1”，不能介绍。如果式左变为
12＋3＋4＋5＋6＋7＋89。
［12－(1＋2)］＋［89－(8＋9)］＝81。即12＋3＋4＋5＋6＋7＋89＝45＋81＝100＋26。
要将“＋”变为“－”的数和为13，在3、4、5、6、7中有6＋7，3＋4＋6，因而有
12＋3＋4＋5－6－7＋89＝100，
12－3－4＋5－6＋7＋89＝100，
同理得
12＋3－4＋5＋67＋8＋9＝100，
1＋23－4＋56＋7＋8＋9＝100，
1＋2＋34－5＋67－8＋9＝100，
123－4－5－6－7＋8－9＝100，
123＋4－5＋67－89＝100，
123－45－67＋89＝100。
为了减少计算。应注意：
(1)能否在1、23、4、5、6、7、89中间添上加、减(不再去掉某两数间的加号)，结果为100呢？
1、23、5、7、89的和或差是奇数，4、6的和或差是偶数，奇数±偶数＝奇数，结果不会是100。
(2)有一个是四位数，结果也不可能为100。因为1234减去余下数字组成(按顺序)的最大数789，再减去余下的56，差大于100。
例2求59～199的奇数和。
由从1开始的连续n个奇数和、等于奇数个数n的平方
1＋3＋5＋7＋……＋(2n－1)＝n2
奇数比它对应的序数2倍少1。用n表示任意一个自然数，它对应的奇数为2n－1。
例如，32对应奇数2×32－1＝63。奇数199，从1起的连续奇数中排列在100(2n－1＝199，n＝100)的位置上。
知1～199的奇数和是1002＝10000。此和包括59，2n－1＝57、n＝29、1～57的奇数和为292＝841。
所求为10000－841＝9159。
或者59＝30×2－1，302＝900，
10000－900＋59＝9159。
8.约倍数积法
任意两个自然数的最大公约数与最小公倍数的积，等于这两个自然数的积。
证明：设M、N(都是自然数)的最大公约数为P，最小公倍数为Q、且M、N不公有的因数各为a、b。
那么M×N＝P×a×P×b。
而Q＝P×a×b，
所以M×N＝P×Q。
例1甲乙两数的最大公约数是7，最小公倍数是105。甲数是21，乙数是多少？
例2已知两个互质数的最小公倍数是155，求这两个数。
这两个互质数的积为1×155＝155，还可分解为5×31。
所求是1和155，5和31。
例3两数的最大公约数是4，最小公倍数是40，大数是数的2.5倍，求各数。
由上述定理和题意知两数的积，是小数平方的2.5倍。
小数的平方为4×40÷2.5＝64。
小数是8。
大数是8×2.5＝20。
算理：4×40＝8×20＝8×(8×2.5)＝82×2.5。
9.想份数
10.巧用分解质因数
例1四个比1大的整数的积是144，写出由这四个数组成的比例式。
144＝24×32
＝(22×3)×[(2×3)×2]
＝(4×3)×(6×2)
可组成4∶6＝2∶3等八个比例式。
例2三个连续自然数的积是4896，求这三个数。
4896＝25×32×17
＝24×17×(2×32)
＝16×17×18
1728＝26×33＝(22×3)3＝123
385＝5×7×11
例41992年小学数学奥林匹克试题初赛(C)卷题3：找出1992的所有不同的质因数，它们的和是多少？
1992＝2×2×2×3×83
2＋3＋83＝88
例5甲数比乙数大9，两数的积是1620，求这两个数。
1620＝22×34×5
＝(32×22)×(32×5)
甲数是45，乙数是36。
例6把14、30、33、75、143、169、4445、4953分成两组，每组四个数且积相等，求这两组数。
八个数的积等于2×7×2×3×5×3×11×3×5×5×11×13×13×13×5×7×127×3×13×127。
每组数的积为2×32×52×7×11×132×127。两组为
例7600有多少个约数？
600＝6×100＝2×3×2×2×5×5
＝23×3×52
只含因数2、3、5、2×3、2×5、3×5、2×3×5的约数分别为：
2、22、23；
3；
5、52；
2×3、22×3、23×3；
2×5、22×5、23×5、2×52、22×52、23×52；
3×5、3×52；
2×3×5、22×3×5、23×3×5、2×3×52、22×3×52、23×3×52。
不含2×3×5的因数的数只有1。
这八种情况约数的个数为；
3＋1＋2＋3＋6＋2＋6＋1＝24。
不难发现解题规律：把给定数分解质因数，写成幂指数形式，各指数分别加1后相乘，其积就是所求约数的个数。(3＋1)×(1＋1)×(2＋1)＝24。
17.想法则
用来说明运算规律(或方法)的文字，叫做法则。
子比分母少16。求这个分数？
由“一个分数乘以5，是分子乘以5分母不变”，结果是分子的5倍比3倍比分母少16。知
分子的5－3＝2(倍)是2＋16＝18，分子为18÷2＝9，分母为9×5－2＝43或9×3＋16＝43。
18.想公式
证明方法：
以分母a，要加(或减)的数为
(2)设分子加上(或减去)的数为x，分母应加上(或减去)的数为y。
19.想性质
例11992年小学数学奥林匹克试题初赛(C)卷题6：有甲、乙两个多少倍？
200÷16＝12.5(倍)。
例2思考题：三个最简真分数，它们的分子是连续自然数，分母大于10，且它们最小公分母是60；其中一个分数的值，等于另两个分数的和。写出这三个分数。
由“分母都大于10，且最小公分母是60”，知其分母只能是12、15、20；12、15、30；12、15、60。
由“分子是连续自然数”，知分子只能是小于12的自然数。
满足题意的三个分数是
(二)第400个分数是几分之几？
此题特点：
(2)每组分子的排列：
假设某一组分数的分母是自然数n，则分子从1递增到n，再递减到1。分数的个数为n＋n－1＝2n－1，即任何一组分数的个数总是奇数。
(3)分母数与分数个数的对应关系，正是自然数与奇数的对应关系
分母：1、2、3、4、5、……
分数个数：1、3、5、7、9、……
(4)每组分数之前(包括这组本身)所有分数个数的和，等于这组的组号(这一组的分母)的平方。
例如，第3组分数前(包括第3组)所有分数个数的和是32=9。
10×2－1－6=13(个)位置上。
分别排在81＋7＝88(个)，81＋13=94(个)的位置上。
或者102=100，100－12=88。
100－6＝94，88＋6＝94。
问题(二)：由上述一串分数个数的和与组号的关系，将400分成某数的平方，这个数就是第400个分数所在的组数400＝202，分母也是它。
第400个分数在第20组分数中，400是这20组分数的和且正好是20的平方无剩余，故可断定是最后一个，即
若分解为某数的平方有剩余，例如，第415个和385个分数各是多少。
逆向思考，上述的一串分数中，分母是35的排在第几到第几个？
352－(35×2－1)＋1
＝1225－69＋1＝1157。
排在1157－1225个的位置上。
20.由规则想
例如，1989年从小爱数学邀请赛试题：接着1989后面写一串数字，写下的每一个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数字。
例如，8×9＝72，在9后面写2，9×2＝18，在2后面写8，……得到一串数：1989286……
这串数字从1开始往右数，第1989个数字是什么？
先按规则多计算几个数字，得1989286884286884……显然，1989后面的数总是不断重复出现286884，每6个一组。
(1989－4)÷6＝330……5
最后一组数接着的五个数字是28688，即第1989个数字是8。
21.用规律
例1第六册P62第14题：选择“＋、－、×、÷”中的符号，把下面各题连成算式，使它们的得数分别等于0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。
(1)22222＝0
(2)22222＝1
……
(10)22222＝9
解这类题的规律是：
先想用两、三个2列出，结果为0、1、2的基本算式：
2－2＝0，2÷2＝1；
再联想2－2÷2＝1，2×2÷2＝2，2÷2＋2＝3，……
每题都有几种选填方法，这里各介绍一种：
2÷2＋2÷2－2＝0
2÷2×2－2÷2＝1
2－2＋2÷2×2＝2
2×2＋2÷2－2＝3
2×2×2－2－2＝4
2－2÷2＋2×2＝5
2＋2－2＋2×2＝6
2×2×2－2÷2＝7
2÷2×2×2×2＝8
2÷2＋2×2×2＝9
例2第六册P63题4：写出奇妙的得数
2＋1×9＝
3＋12×9＝
4＋123×9＝
5＋1234×9＝
6＋12345×9＝
得数依次为11、111、1111、11111、111111。此组算式的特点：
第一个加数由2开始，每式依次增加1。第二个加数由乘式组成，被乘数的位数依次为1、12、123、……继续写下去
7＋123456×9=1111111
8＋1234567×9=11111111
9＋12345678×9＝111111111
10＋123456789×9＝1111111111
11＋1234567900×9=11111111111
12＋12345679011×9=111111111111
……
很自然地想到，可推广为
(1)当n=1、2时，等式显然成立。
(2)设n=k时，上式正确。当n=k＋1时
k＋1＋123…k×9
=k＋1＋[123…(k－1)×10＋k］×9
=k＋1＋123…(k－1)×9×10＋9k
=[k＋123…(k－1)×9]×10＋1
根据数学归纳法原理，由(1)、(2)可断定对于任意的自然数n，此等式都成立。
例3牢记下面两个规律，可随口说出任意一个自然数作分母的，所有真分数的和。
(1)奇数(除1外)作分母的所有真分数的和、是(分母－1)÷2。
=(21－1)÷2=10。
22.巧想条件
比5小，分母是13的最简分数有多少个。
7～64为64－(7－1)＝58(个)，去掉13的倍数13、26、39、52，余下的作分子得54个最简分数。
例2一个整数与1、2、3，通过加减乘除(可添加括号)组成算式，若结果为24这个整数就是可用的。4、5、6、7、8、9、10中，有几个是可用的。
看结果，想条件，知都是可用的。
4×(1＋2＋3)＝24
(5＋1＋2)×3＝24
6×(3＋2－1)＝24
7×3＋1＋2＝24
8×3÷(2－1)＝24
9×3－1－2＝24
10×2＋1＋3＝24
23.想和不变
无论某数是多少，原分数的分子与分母的和7＋11=18是不变的。
而新分数的分子与分母的和为1＋2=3，要保持原和不变，必同时扩大18÷3＝6(倍)。
某数为7－6＝1或12－11＝1。
24.想和与差
算理，原式相当于
求这个分数。
25.想差不变
分子与分母的差41－35＝6是不变的。新分数的此差是8－7＝1，要保持原差不变，新分数的分子和分母需同时扩大6÷1＝6(倍)。
某数为42－35＝7，或48－41＝7。
与上例同理。23－11＝12，3－1＝2，12÷2＝6，
某数为11－6＝5或23－18＝5。
分子加上3变成1，说明原分数的分子比分母小3。当分母加上2后，分子比分母应小3＋2=5。
26.想差的1/2
对于任意分母大于2的同分母最简真分数来说，其元素的个数一定是偶数，和为这个偶数的一半。分母减去所有非最简真分数(包括分子和分母相同的这个假分数)的个数，差就是这个偶数。
例1求分母是12的所有最简真分数的和。
由12中2的倍数有6个，3的倍数有4个，(2×3)的倍数2个，知所求数是
例2分母是105的，最简真分数的和是多少？
倍数15个，(3×5)、(5×7)、(3×7)的倍数分别是7、3、5个，(3×5×7)的倍数1个。知
105－［(35＋21＋15)－(3＋5＋7)＋1］＝48，
48÷2＝24。
27.借助加减恒等式
个数。
若从中找出和为1的9个分数，将上式两边同乘以2，得
这九个分数是
28.计算比较
例如，九册思考题：1÷11、2÷11、3÷11……10÷11。想一想，得数有什么规律？
……
可见，除数是11，被除数是1的几倍(倍数不得大于或等于11)，商
17÷11＝(11＋6)÷11＝11÷11＋6÷11
凡商是纯循环小数的除式，都有此规律；不是纯循环小数的，得数不存在这一规律。
不难发现，它们循环节的位数比除数少1，循环数字和顺序相同，只是起点不同。
只要记住1÷7的循环节数字“142857”和顺序，计算时以最大商的数字为起点，顺序写出全部循环节数字，即可。
29.由验算想
例如，思考题：计算1212÷101，……，3939÷303，你能从计算中得到启发，很快说出下面各题的得数？
4848÷202，7575÷505，……
3939÷303
＝(3030＋909)÷303
＝3030÷303＋909÷303
＝10＋3＝13
备课用书这种由“除法的分配律”解，要使三年级学生接受，比较困难。
若从“除法的验算”推导
由3939÷303＝()，
商百位上的3和13相乘才可得39，商个位上的3也必须与13相乘得39，除数是13确定无疑。显然，在被除数上面写上除数，使位数对齐，口算很快会得出结果。
所以商是12。
30.想倍比
31.扩缩法
例如，两数和是42，如果其中一个数扩大5倍，另一个数扩大4倍，则和是181。求这两个数。
若把和，即这两个数都扩大4倍，则得数比181小，因为原来扩大5倍的那个数少扩大了1倍。差就是那个数。
181－42×4＝13
42－13＝29
若把两数都扩大5倍，结果比181多了原来扩大4倍的那个数。
42×5－181＝29，42—29＝13。
若把181缩小4倍，则得数比42大。因为其中的一个数先扩大5倍，又
若把181缩小5倍，得数比42小。因为先扩大4倍的那个数，又缩小5
最佳想法：
两数扩大的倍数不同，181不会是42的整倍数。相除就把多扩大1倍的那个数以余数形式分离出来。
181÷42＝4余13。
另个数可这样求
32.分别假设
例如，1992年中学数学奥林匹克试题初赛(C)卷题5：把一个正方形的一边减少20％，另一边增加2米，得到一个长方形，它与原来的正方形面积相等。那么，正方形的面积是多少平方米。
设正方形的边长为1，另一边增加的百分数为x，则
(1－1×20％)×(1＋x)＝1，
正方形边长2÷25％＝8(米)，
面积8×8＝64(平方米)。
33.变数为式
……
34.分解再组合
例如，(1＋2＋3＋…＋99)＋(4＋8＋12＋…＋396)
＝(1＋2＋3＋…＋99)＋4(1+2+3＋…＋99)
＝5(1＋2+3＋…＋99)
35.先分解再通分
有的学生通分时用短除法，找了许多数试除都不行，而断定57和76为互质数。
判断两个数是否互质，不必用2、3、5、……逐个试除。把其中一个分解质因数，看另一个数能否被这里的某个质因数整除即可。
57＝3×19，如果57和76有公有的质因数，只可能是3或19。用3、19试除，
[57，76]＝19×3×4＝228。
26＝2×13，65和91是13的倍数。
最小公分母为
13×2×5×7＝910。
36.巧用分解质因数
教材中讲分解质因数，主要是为了求几个数的最大公约数和最小公倍数，给通分和约分打基础。其实，分解质因数在解题中很有用处。提供新解法，启迪创造思维。
例2184×75
原式＝2×2×46×3×5×5
=46×3×(2×5)2
=138×100=13800。
37.变式法
38.推理调整
例如，1992年小学数学奥林匹克试题初赛(C)卷题8：一个小于200的自然数，它的每位数字都是奇数，并且它是两个两位数的乘积，那么，这个自然数是多少？
由奇数×奇数＝奇数，知这个自然数是两个奇数的乘积。
如果其中一个是11，乘积的十位数字将是百位与个位数字之和、必为偶数。因此，两奇数都至少是13。
所求数只能是13×15＝195。
39.想顺推
例如，用1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字，能组成多少个九位数？
由“1”，组成1个数；
由“1、2”，可组成12、21，2个数；
由“1、2、3”，可组成123、132、231、213、312、321，6个数。
可见：
由两个一位数组成的两位数的个数＝2×1：由三个一位数组成的三位数的个数＝3×2。依此类推
40.想倒推
倒推是常用的数学思维方法，思考途径是从题目的问题出发，倒着推理，逐步靠拢已知条件，直到解决问题。有些题用此法解，能化难为易。
例1一个数扩大3倍后再增加100，然后缩小2倍后再减去36得50，求这个数。
从最后的差50倒推。减前是50＋36＝86，缩小2倍前是86×2=172，增加前是172-100=72。扩大3倍前是72÷3=24。即这个数是：
［(50＋36)×2－100］÷3＝24。
例2某种细菌每小时可增长1倍，现有一批这样的细菌，10小时可增长100万个。问增长到25万个时，需要几小时？
由“细菌每小时增长1倍”，知增长到25万个后经过1小时增长到25×2=50(万个)，再过1小时就可增长到50×2=100(万个)。从25万个增长到100万个要用1＋1=2(小时)，所以增长到25万个需
10-2=8(小时)
41.推想与推断
例如，武汉市武昌区数学竞赛题：3/17的分子和分母同时加上什么数，
因为一个分数的分子与分母同时加上一个数的前后、分母与分子的差17
分母同时扩大14÷2=7(倍)，就是
加上的数是35－17＝18或21－3＝18。
42.巧归结
例如，选择“＋、-、×、÷、()”中的符号，把七个5连成算式，得数为0、1、2、3、…10。
5的个数是7以上的都可归结为7个讨论。
此题解法很多，这里只介绍一种。
由5÷5＝1，
5÷5＋5÷5＝2，
5＝5，
知问题可变为，怎样用运算符号把1、2、5连成结果分别等于0、1、2、…10的算式。
1、2、5三个数不能通过四则运算得0和1，但5÷5＝1、5－5＝0、0乘任何数都得0，易得到
0＝(5－5＋5－5＋5－5)×5
1＝5÷5＋5×(5－5＋5－5)
2＝5－(5÷5＋5÷5)－5÷5＝5－2－1
3＝5×(5÷5)－(5÷5＋5÷5)＝5×1－2
4＝5＋5÷5－(5÷5＋5÷5)＝5＋1－2
5＝5×(5÷5＋5÷5)－5÷5＝5×(2－1)
6＝5＋(5÷5＋5÷5)－5÷5＝5＋2－1
7＝5×(5÷5)＋(5÷5＋5÷5)＝5×1＋2
8＝5＋(5÷5－5÷5)＋5÷5＝5＋2＋1
9＝5×(5÷5＋5÷5)－5÷5＝5×2－1
10＝5×(5÷5＋5÷5)×(5÷5)＝5×2×1
若5的个数是8，则
0＝5－5＋5－5＋5－5＋5－5
1＝5÷5＋5－5＋5－5＋5－5
10＝5×2×1
＝5×(1＋1)×1
＝5×5÷5＋5×5÷5×5÷5
9＝5×2－1
＝5×(1＋1)－1
＝5×5÷5＋5×5÷5－5÷5
5＝5×(2－1)
＝5×2－5×1
＝5×(5÷5＋5÷5)－5×5÷5
由5÷5＝1
5－(5＋5＋5)÷5＝2
5=5
知其余各式的讨论，和5的个数为7时相同。即
8=5＋2＋1
=5＋5-(5＋5＋5)÷5＋5÷5
7＝5×1＋2
＝5×5÷5＋5－(5＋5＋5)÷5
6＝5＋2－1
＝5＋5－(5＋5＋5)÷5－5÷5
4＝5＋1－2
＝5＋5÷5－5＋(5＋5＋5)÷5
3＝5×1－2
＝5×5÷5－5＋(5＋5＋5)÷5
2＝5－2－1
＝5－5＋(5＋5＋5)÷5－5÷5
显然，若5的个数是9，只要在5的个数是7的各式后面加上(5－5)。如
10＝5×(5÷5－5÷5)×(5÷5)＋(5－5)若5的个数是7＋2n(n为自然数)，只要在5的个数是7的各式，后面加上n个(5－5)。
若5的个数是10，只要在5的个数是8的各式，后面加上一个(5－5)。
若5的个数是8＋2n，则只要在5的个数是8的各式，后面加上n个(5－5)。
43.巧归类
例如，用1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13这十二个数，编加、减、乘、除四个算式，每个数只许用一次。
根据逆运算关系，把“加法和减法”、“乘法和除法”归为一类。
编加减法算式，比编乘除法算式多得多，宜从量少的入手。想到这十二个数中，能做被除数的只有12、10、8、6，先编除法算式更为适宜。
(1)12÷3＝4(2)12÷2＝6
12÷4＝312÷6＝2
(3)10÷2＝5(4)8÷2＝4(5)6÷2＝3
10÷5＝28÷4＝26÷3＝2
确定(1)组为除法算式，其余四组都可变为乘法算式。由于每个数只许用一次，此组已出现3、4、12。乘法算式的(2)、(4)、(5)组重复、舍去。唯有第(3)组符合题意。
若(1)组为除法算式，(3)组为乘法算式。或反过来，各得四式
12÷3＝410÷2＝5
12÷4=310÷5=2
4×3=125×2=10
3×4=122×5=10
剩的六个数，可组成
6＋7=138＋1=9
7＋6=131＋8=9
13－6＝79－1＝8
13－7＝69-8=1
整理：
组合：
(1)组可组合算式
(2)、(3)、(4)均可组成16种答案，共64种。
44.想联系
求这二数。
由整数除法、分数、比的内在联系想：
被除数÷除数＝商(整数)……余数；
45.想关系
例1一个减法式子中，被减数、减数与差的和是76。求被减数。76÷2＝38
例2被减数是7，被减数、减数与差的和是多少？
7×2＝14
例3被除数、除数和商的积是196。求被除数。
196＝2×2×7×7
＝14×14
被除数是14。
例1与此例的算理
设A－B＝C，那么A＝B＋C。
若A＋B＋C＝n，则A＋A＝n，2A＝n，A＝n/2。
设A÷B＝C，那么A＝B×C。
如果A×B×C＝n，则有A×A＝n。
A可用分解质因数法求。
46.想对调
例如，第八册P94思考题：用1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数字，写出三个大小相等的分数，每个数字只许用一次。参考书中给出：
这三种和下面的四种答案的分子和分母对调，为14种。
还能求出12种
47.逻辑思考
例如，一个硬币重10克，每10个硬币为一摞，一共有10摞。从表面上看，这10摞硬币都一样，其实里面有一摞是假的。现在只知道假币比真币轻2克，你能只称一次，就把这摞假币找出来吗？
从第一摞里取一个硬币，从第二摞里取两个，……从第十摞中取十个。55个放在一起称，如果都是真的，应重10×55＝550(克)。
假如称的结果是538克，那就少了12克，每个假币比真币少2克，因而有12÷2＝6(个)，说明6个硬币的第六摞是假的。
若称的结果是542克，少了8克，说明第四摞是假的。
48.由特征想
例如，哪些自然数的和能被2、4、5、7整除？
任何个偶数的和，能被2整除；
偶数个奇数的和，能被2整除；
任意四个连续自然数，如果首尾两数的和能被5整除，那么这四个数的和也能被5整除；
任意四个连续偶数的和，能被4整除；
任意五个(或5的倍数)个连续自然数的和，能被5整除；
任意七个连续自然数的和，能被7整除；
…………
49.以零求整
把题分成有联系而又相对独立的小问题，进而解决所求问题。
例如，第五册P20思考题：用0、1、2…9十个数字组成三个数(每个数字只能用一次，且必须用一次)，其中两个数的和等于第三个数。
这是三位数加三位数等于四位数，百位上两数相加和为10，其它两位数相加不进位的题。
分成小问题：一位数分别相加，其中一组的和为10，再分别找出两个数相加得第三个数。
这样分别开来，易找出
3＋7＝10，
2＋6＝8，
4＋5＝9，
合起来为324＋765＝1089。
或者4＋6＝10，
2＋7＝9，
3＋5＝8，
423＋675＝1098。
再分别交换个位、十位上的数字，又可得到多组答案
50.探索法
就是多方寻求答案，解决疑难。
51.观察法
数学知识是通过数、式、形三方面的内容，体现客观事物和空间形式相互间数量关系的。这常常需要观察。
例1计算下组算式的(1)、(2)、(3)，类推出(4)的结果。
(1)1＋1×8
(2)2＋12×8
(3)3＋123×8
(4)4＋1234×8
仔细观察算式间的联系，
第一个加数，逐次增加1；第二个加数逐次增加11，111，1111，……而乘数都是8，即第二个加数中两个数的乘积，逐次多11个8，111个8，……；(1)式，(2)式，(3)式，……的结果逐次增加89，889，8889，……
由式(3)的结果9＋89＋889＝987，知
式(4)为987＋8889＝9876。
例2观察
不难发现：自然数从1开始，累加到任何一个自然数，其和除以下一个
是偶数，商是小数，是奇数时，商是整数。
如：(1＋2＋3＋…＋1000＋1001)
例3由11＋1.1＝11×1.1，
知其积等于其和。
特点：第一个加数是整数。第二个加数是带分数，整数部分是1，分数部分的分子是1，分母比第一个加数少1。
例4观察分析
…………
会产生一个直觉：如果a与b是互质数(且a＞b)，那么a±b与ab是互质数。
此结论成立的话，两个分子是1，分母是互质数的分数相加减，所得结果岂不是不必考虑约分了吗？
用反证法证明：
若a±b与ab不互质，而有因子d的话，设a±b＝cd，ab＝ed。
则由ab＝ed，d为素数可知，或d｜a，或d｜b。
若d｜a，则由a±b＝cd，可知必有d｜b，这与ab是互质数矛盾。
同理，若d｜b，也有矛盾，所以a±b与ab互质。
52.猜测与证明
美国数学家G?玻利亚在《数学与似真推理》一书中写道：“人们对数学事实总是首先猜测，然后才加以证明。”
例13×4＝12
它的积是由1和2依顺序排列的数。
由33×34＝1122
333×334＝111222
n个n个n个n个
为方便起见，在后面的n位数乘以n位数等于2n位数的乘法中，用省略号连在一起的n个数字不再标n个了，它们的个数同上式一样。
证明：
令S＝11…1，
则S＝10n－1＋10n－2＋…＋10＋1，
10S＝10n＋10n－1＋…＋102＋10，
9S＝10S－S＝10n－1，
由此得
故33…3×33…4＝11…122…2，
进而可得33…3×33…5
＝33…3×(33…34＋1)
＝11…122…2＋33…3
＝11…155…5。
例2abcd各不相同，表示一个四位数。问各是什么数时，能同时被2、3、5整除？
智力好的学生，总是经过一番尝试和猜测后，就力图寻求一般规律，不遗漏地写出符合要求的全部四位数。符合题意的数是，各位上的数字和一定能被3整除，且个位数字是0。
如果a、b、c分别取1、2、3作为一组的话，有1230、1320、2130、2310、3120、3210。
这样的数组有：
1、2、31、2、61、2、9
1、3、51、3、81、4、7
1、5、61、5、91、6、8
1、8、92、3、42、3、7
2、4、62、4、92、5、8
2、6、72、7、93、4、5
3、8、43、5、73、6、9
4、5、94、6、85、6、7
5、7、96、7、87、8、9
符合题意的全部四位数是，
6×27＝162(个)
例3证明：任意10个连续的自然数一定能找出4个a、b、c、d，使(a－b)×(c－d)能被56整除。若使(a－b)×(c－d)能被56整除，只要a－b能被8(或7)整除，c－d能被7(或8)整除。
在10个连续自然数中，必有两数的差为8，其余8个数中必有两数的差为7。
设10个连续自然数为：
n、n＋1、n＋2、…、n＋9，
则(n＋8)－n＝8，
(n＋9)－(n＋2)＝7。
这里a＝n＋8，
b＝n，
c＝n＋9，
d＝n＋2，
或a＝n＋9，
b＝n＋2，
c＝n＋8，
d＝n。
或者(n＋9)－(n＋1)＝8，
(n＋7)－n＝7。
这里a＝n＋9，
b＝n＋1，
c=n＋7，d=n，
或a=n＋7，b=n，
c=n＋9，d=n＋1。
例4任意连续4n个自然数的和除以2的商是第一个数与最后一个数和的n倍。
证明：设任意的连续自然数m，m＋1，m＋2，……
当n＝1时，因为m＋(m＋1)＋(m＋2)＋(m＋3)＝4m＋6，所以
＝2m＋3＝［m＋(m＋3)］×1。
当n＝2时，因为m＋(m＋1)＋(m＋2)＋…＋(m＋4×2－1)＝8m＋(1＋2＋…＋7)＝8m＋28。所以
＝4m＋14＝［m＋(m＋7)］×2。
当m＝3时，因为m＋(m＋1)＋(m＋2)＋…＋(m＋4×3－1)＝12m＋(1＋2＋…＋11)＝12m＋66。所以
＝6m＋33＝［m＋(m＋11)］×3。
＝［m1＋(m＋k－1)k］×n。
这里m1＝9，(m＋k－1)k＝40，
原式＝(9＋40)×8＝392。
53.相似运算
例1在0、1、2、3、4、5、6、7、8、9中，任选一个数字，把它与9相乘，得到一个积，把这个积再乘上12345679，答案所有数位上的数字总是和选择的那个数字一样。
比如说，选择5，5×9＝45。
两边都除以5，
12345679×9=111111111。
对于任何其它数字，可进行同样的推理。用数字a乘等式两边，
12345679×(a×9)＝(111111111)a
＝aaaaaaaaa。
例2任意选出小于10的三个不同的自然数，如1、6、8。
从中任取两个，组成二位数16、18、61、68、81、86。其和为330。
1＋6＋8＝15。
两位数的和除以一位数的和，
设a、b、c表示任意三个不同的小于10的自然数，组成两位数，
10a＋b10a＋c10b＋a
10b＋c10c＋a10c＋b
其和为22a＋22b＋22c
＝22(a＋b＋c)
遇到类似的运算，可不假思索地写出22。
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