焦点专题1解析几何中的焦点弦问题
【基础盘点】
1、直线方程的确定：两点式:,点斜式:,
斜截式:,截距式:,一般式:;
2、圆方程的确定：标准式:,一般式:,
单位圆:;
3、直线与圆的位置关系：相交：(或),①弦长公式：,
②直线平分圆周：直线过圆心;
相切：(或),①切线方程：点斜式;
相离：(或),①圆周上的点到直线的最小距离
,②圆周上的点到直线的最大距离;
5、标准方程：椭圆：(或),其中,
双曲线:(或),其中,渐近线:,
等轴双曲线：(渐近线互相垂直),
抛物线：(或),其中一次项为对称轴,焦点与有关;
6、焦点弦(过焦点的弦)：椭圆：焦点弦MN与长轴重合时最长,与长轴垂直时最短,
双曲线：焦点弦MN与实轴垂直时最短,没有最长的焦点弦,
抛物线：焦点弦MN与对称轴垂直时最短,没有最长的焦点弦,
7、焦点三角形：椭圆：点在椭圆上,,
双曲线：点在双曲线上,,
抛物线：由于仅有一个焦点,不能构成焦点三角形,
8、抛物线：①直线过焦点,与抛物线交于两点,有如下结论:
(i)(两次用定义);
(ii)以AB为直径的圆与准线相切(由定义及梯形的中位线得);
(iii),(由方程组法得);
(iv)为钝角(由得);
(v)的面积为(由得,其中为直线的斜率);
②若点A、B在抛物线上,且,则直线AB与对称轴的交点为定点,在焦点的右侧.
9、圆锥曲线问题的常用解法:①定义法,②数形结合法,③方程组法(待定系数法、法、求根公式法、韦达定理法).
【例题精选】
焦点1、直线、圆方程的求法
【例1】求满足下列条件的直线的方程：
(1)过两点、;(2)过两点、;
(3)过点,斜率为;(4)斜率为,在轴上的截距为;
(5)斜率为,在轴上的截距为;(6)在轴上的截距为,在轴上的截距为;
(7)与直线平行,且过点;(8)与直线垂直,且过点.
【例2】求满足下列条件的圆的方程：
(1)圆心为,半径为;(2)圆心为,且经过点;
(3)以两点、为直径;(4)经过三点、、;
(5)经过点,且与轴切于点;(6)圆心在直线上,且与轴切于点(0,2);
焦点2、直线与圆的位置
【例3】1、判断下列直线与圆的位置关系：
(1)直线，圆;
(2)直线，圆;
(3)直线，圆.
2、已知圆及圆C外一点.
(1)直线过点P，且与圆C相切,求直线的方程;
(2)若点,点Q是圆C上一动点,求的面积的最小值;
(3)过点作圆C的切线,求切线的方程;
(4)若过点的直线与圆C交于两点A、B,且点H平分线段AB,求直线的方程;
(5)若过点的弦AB、MN互相垂直,求四边形AMBN面积的最大值.
【题情捉摸】(1)若直线的斜率存在，设为，则直线的方程为，由得
,从而得直线的方程，再考虑直线的斜率不存在的情形；
(2)可得直线MP的方程为，圆心到直线MP的距离为，
所以圆周上的点到直线MP的最小距离为，而,进而得解；
(3)可知点N在圆上，于是斜率,得切线的斜率,由点斜式可求得切线的方程为；
(4)可得，于是直线的斜率,由点斜式可求得直线的方程为；
(5)设圆心到AB、MN的距离分别为、,则，而所求的面积，用基本不等式可求其最大值.
焦点3、圆锥曲线的标准方程
【例4】1、求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在轴上，;(2);
(3)以为焦点，且过点;(4)(为离心率).
2、求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)与椭圆有相同焦点，离心率互为倒数；
(2)一条渐近线为，且实轴长为4
3、求满足下列条件的抛物线的标准方程：
(1)焦点为；(2)准线为；(3)焦点到顶点的距离为1；(4)过点.
焦点4、焦点三角形
【例5】椭圆的一个焦点为,点P在椭圆上,且(O为坐标原点),则的面积=
A.B.C.D.
【题情捉摸】如图由知，
即与均为等腰三角形，设它们的底角分别为、，则,即,
由焦点三角形的面积公式得,而为的中点，有.
焦点5、与焦点相关的问题
【例6】已知椭圆中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过、、三点.
(1)求椭圆的方程:
(2)若直线与椭圆交于、两点,点为椭圆E的左焦点,则的内切圆的面积是否存在最大值？若存在,求出这个最大值及直线的方程,否则,说明理由.
【题情捉摸】(1)设椭圆方程为将点、代入解得
,，从而得椭圆的方程；
(2)画出椭圆，两次用定义得的周长为，设的内切圆的半径为，有，要最大，即要最大，设、(),则，再用方程组法求的最大值即可.
焦点6、圆锥曲线综合问题
【例7】已知直线所经过的定点恰好是椭圆的一个焦点,且椭圆上的点到点的最小距离为2.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知圆,直线.当点在椭圆上运动时,直线与圆是否恒相交于两个不同的点A、B？,若相交,试求弦长的取值范围,否则说明理由.
【题情捉摸】(1)定点F与的取值无关，将所给直线整理为的形式为，
由得定点F为，在椭圆中得,
又，得,进而得,从而得椭圆的标准方程；
(2)考虑圆心O到直线的距离，又，
从而1,即直线与圆O相交，又，
由，消去，再求最大值与最小值即可.
【真题回顾】
1、(2010广东文)若圆心在轴上、半径为的圆位于轴左侧，且与直线相切，则圆的方程是w_ww.k#s5_u.com
A．B．C．D．
2、(2010广东文)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是w_ww.k#s5_u.com
A．B．C．D．
3、(2009广东文)以点(2，－1)为圆心且与直线相切的圆的方程是________
4、(2009广东文)已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，两个焦点分别为和，椭圆G上一点到和的距离之和为12.圆：的圆心为点.
(1)求椭圆G的方程;
(2)求面积;
(3)问是否存在圆包围椭圆G？请说明理由.
5、(2010广东文)已知曲线，点是曲线上的点(n=1,2,…).
(1)试写出曲线在点处的切线的方程，并求出与轴的交点的坐标;
(2)若原点到的距离与线段的长度之比取得最大值，试求试点的坐标;w_ww.k_s_5u.com
(3)设与为两个给定的不同的正整数，与是满足(2)中条件的点的坐标，
证明：
【参考答案】
【例1】(1)；(2)；(3)；(4)；
(5)；(6)；(7)；(8).
【例2】(1)；(2)；(3)；
(4)；(5)；(6).
【例3】1、(1)相交；(2)相切；(3)相离.
2、(1)当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
即，由直线与圆C相切，得圆心到直线的距离，
∴，解得，有直线为，即，
当直线的斜率不存在时，则直线的方程为，
∴直线的方程为或；
(2)∵、，则，
∴直线MP的方程为，即；
圆心C到直线MP的距离，知点Q到直线MP的最小距离为，
又，得的面积的最小值为；
(3)∵点N在圆C上，，得切线的斜率，
∴所求的切线方程为，即；
(4)由题意知，而，得直线斜率，
∴直线的方程为，即；
(5)设圆心到AB、MN的距离分别为、,则,
四边形AMBN的面积
.
【例4】1、(1)；(2)或；
(3)由,得,
又，，即椭圆的标准方程为；
(4)由得，有，
∴椭圆的标准方程为或；
2、(1)∵的两个焦点分别为，离心率为，
∴所求双曲线的焦点分别为，离心率为，
设双曲线的方程为，则，有，∴，
∴双曲线的方程为；
(2)由得，设所求的双曲线方程为，
当时，有，则，所求方程为，
当时，有，则，即，
∴所求的双曲线方程为或.
3、(1)；(2)；
(3)，∴抛物线的标准方程为或；
(4)若焦点在轴上，设抛物线的标准方程为，它过点，
∴，即所求的方程为，
若焦点在轴上，设抛物线的标准方程为，它过点，
∴，即所求的方程为，
∴抛物线的标准方程为或.
【例5】C设另一焦点为,由得,
∴与均为等腰三角形,∴,
又,∴
,有,∴
【例6】解:(1)设椭圆方程为将点、代入椭圆E的方程,得,解得,
∴椭圆的方程;
(2)如图,设内切圆的半径为,则
,
当最大时,也最大,内切圆的面积也最大,
设、(),则,
由,得,
解得,,
∴,令,则,且,
有,令,则,
当时,,在上单调递增,有,,
即当,时,有最大值,得,这时所求内切圆的面积为,
∴存在直线,的内切圆的面积最大值为.
【例7】(1)由,
得,则由,解得F(3,0)，
设椭圆的方程为,则,解得，
所以椭圆的方程为;
(2)因为点在椭圆上运动,所以,从而圆心到直线
的距离.
所以直线与圆恒相交于两个不同的点A、B.这时弦长为
,
由于,所以,则,
即直线被圆截得的弦长的取值范围是.
1．D2.B3．
4.解：(1)设椭圆G的方程为：()半焦距为c;
则,解得,
所求椭圆G的方程为：.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(2)点的坐标为
(3)若，由可知点(6，0)在圆外，
若，由可知点(，0)在圆外;
∴不论K为何值圆都不能包围椭圆G.
5.解：(1)可得，又，∴切线的斜率，
∴切线的方程为，即，
而，得切线的方程为，令，得，
∴与轴的交点的坐标为;
(2)原点到的距离，，记，
则，由，得，
∴
=，
当且仅当，即，代入，得时，
所求的最大值为，;
(3)由(2)得，则
，
不防设，则
=，
又，①
另一方面有，
∴，②
由①②得，
即.
5
y
O
P
F1
F2
x
y
O
P
F1
F2
x
y
M
N
F
H
O
|
|
