Gothedistance
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课题：平面向量的数量积
考纲要求：
①理解平面向量数量积的含义及其物理意义.
②了解平面向量的数量积与向量投影的关系.
③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.
④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
教材复习
1.平面向量数量积的概念；以知两个非零向量a与b，它们的夹角是?，则有
ab??，其中夹角?的取值范围是向量的数量积的结果是一个.
2.设a与b都是非零向量，e是单位向量.
①cos,eaaeaae????；
②abab????
③当a与b同向时，ab??；当a与b反向时，ab??
特别地，aa??或a?
④cos,ab?
⑤ab?ab?（用不等号填空）.
基本知识方法
1.注意向量夹角的概念和两向量夹角的范围；
2.垂直的充要条件的应用；
3.当角为锐角或钝角，求参数的范围时注意转化的等价性；
4.距离，角和垂直可以转化到向量的数量积问题来解决．
教学重点：平面向量数量积及其应用．
典例分析：
考点一平面向量数量积的概念及运算
问题1．??1有下列命题：①00a??；②00a??；③若0,aabac????，
则bc?；④若abac???，则bc?当且仅当0a?时成立；⑤||||||abab???
⑥()()abcabc?????对任意,,abc向量都成立；⑦对任意向量a，有22aa?
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其中正确命题的序号是
??2（07福建）对于向量,,abc和实数?，下列命题中真命题是
.A若0ab??，则0a?或0b?.B若0a??，则0??或0a?
.C若22ab?，则ab?或ab??.D若abac???，则bc?
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??3（2012湖南文）如图，在平行四边形ABCD中，
APBD?，垂足为P，且3AP?，则APAC??
考点二向量的夹角与垂直
问题2．??1已知ABC△中，||6,||9,45BCCAC?????，则BCCA??
??2（2012湖南）在ABC△中，2AB?，3AC?，1ABBC??则BC?
.A3.B7.C22.D23
??3已知,ab是两个非零向量，且abab???，求a与ab?的夹角
A
BC
D
P
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考点三向量的长度
问题3．??1（06福建文）已知向量a与b的夹角为120?，3a?，13ab??，
则b?.A5.B4.C3.D1
??2已知点G是ABC△的重心，AGABAC????（,R???），若角23A??，
2ABAC???，则AG的最小值是.A33.B22.C23.D34
??3（2013湖南）已知,ab是单位向量，0ab??.若向量c满足1cab???，则
c的取值范围是.A2-1,2+1????，.B2-1,2+2????，.C1,2+1????，.D1,2+2????，
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考点四向量的综合问题
问题4．??1（06苏锡常镇模拟）已知平面上三个向量1abc???，它们之间的夹
角均为120?.??1求证：??abc??；??2若1kabc?????kR?，求k的取值范围.
??2已知4a?，3b?，????23261abab???.
??1求a与b的夹角?；??2求ab?；??3若ABa?，ACb?，求ABC△的面积.
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课后作业：
1.（09全国）设非零向量a、b、c满足abc??，abc??，则,ab?
.A150?.B120?.C60?.D30?
2.已知2ab??，a与b的夹角为60?，则ab?在a上的投影为
3.向量,ab都是非零向量，且(3)(75),(4)(72)abababab??????，求a与b的夹角.
4.已知两单位向量a与b的夹角为120?，若2cab??，3dba??,试求c与d的夹角.
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5.已知向量a?和b?的夹角是120?，且2a?，5b?，则(2)aba???
6.设向量,ab满足1ab??，323ab??，则|3|ab??
7.已知向量,ab的方向相同，且3a?，7b?，则|2|ab??
8.在ABC△中，0ABAC??，ABC△的面积是415，若||3AB?，||5AC?，则BAC??
.A6?.B32?.C43?.D65?
9.（2012洛阳统考）已知点P为锐角ABC△的AB边上一点，3A??，4AC?，
则3PAPC?的最小值是.A43.B47.C6.D63
10.设,,,OABC为平面上四个点，OAa?，OBb?，OCc?，且0abc???，
abbc????ca?1??，则||||||abc??＝
11.设两个向量1e?、2e?，满足2||1?e?，1||2?e?，1e?、2e?的夹角为60?，若向量2172eet???
与向量21ete???的夹角为钝角，求实数t的取值范围.
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12.（07届高三湖北八校联考）在ABC△中，,1??ACAB.3???BCAB
??1求AB边的长度；??2求??CBAsinsin?的值
走向高考：
13.(04上海春)在ABC△中，有命题：①BCACAB??；②0???CABCAB；
③若0)()(????ACABACAB，则ABC△为等腰三角形；④若0??ABAC，
则ABC△为锐角三角形.上述命题正确的是
.A①②.B①④.C②③.D②③④
14.（06陕西）已知非零向量AB与AC满足0ABACBC
ABAC
???????
??
且1
2ABACABAC??
,
则ABC△为.A等边三角形.B直角三角形.C等腰非等边三角形.D三边均不相等的三角形
15.（07上海文）若向量,ab的夹角为60?，1ab??，则??aab???
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16.（2012新课标）已知向量,ab夹角为45?，且1,210aab???；则b?
17.（05全国Ⅰ文）点O是ABC△所在平面内的一点，满足
OAOBOBOCOCOA?????，则点O是ABC△的
.A三个内角的角平分线的交点.B三条边的垂直平分线的交点
.C三条中线的交点.D三条高的交点
18.（07天津）如图，在ABC△中，120BAC???，2AB?，1AC?，
D是边BC上一点，2DCBD?，则ADBC??
19.（04浙江）已知平面上三点,,ABC满足3,4,5ABBCCA???，
则ABBCBCCACAAB?????的值等于
20.（2010辽宁文）平面上,,OAB三点不共线，设OAa?,OBb?，则OAB△
的面积等于.A222()abab??.B222()abab??
.C2221()2abab??.D2221()2abab??
21.（2012天津）已知ABC△为等边三角形，2AB?，设点,PQ满足=APAB?，
=(1)AQAC??，R??，若3=2BQCP??，则=?
.A12.B122?.C1102?.D3222??
22.（2012江苏）如图，在矩形ABCD中，2AB?，
2BC?，点E为BC的中点，点F在边CD上，
若2ABAF??，则AEBF??
A
B
D
C
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23.（06湖北文）已知非零向量,ab，若2ab?与2ab?互相垂直，则a
b?
.A41.B4.C21.D2
24.（06浙江）设向量,,abc满足0abc???，??abc??，ab?，若1a?，
则222abc??的值是
25.（06全国Ⅰ文）已知向量,ab满足1a?，4b?，且2ab??，则a与b的夹角为
.A6?.B4?.C3?.D2?
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