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不会学会，会的做对.工欲善其事，必先利其器！267
课题：平面向量的坐标运算
考纲要求：
①掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
②会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘、数量积运算.
③理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
教材复习
1.平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，,ij为x轴、y轴正方向的单位向量(一
组基底)，由平面向量的基本定理可知：平面内任一向量a，有且只有一对实数x，y，
使axiyj??成立，即向量a的坐标是
2.平面向量的坐标运算：若11(,)axy?，22(,)bxy?，则ab?＝，
3.平面内一个向量的坐标等于此向量有向线段的坐标减去坐标.
4.实数与向量积的坐标表示：若(,)axy?，则a?＝
5.设11(,)axy?，22(,)bxy?，由ab?∥，ab?⊥
6.若??11,axy?，??22,bxy?，则ab??；
7.若??,axy?，则22aaaa????，a?；
8.若??11,Axy,??22,Bxy,则AB?；
9.重要不等式：??11,axy?，??22,bxy?，则ab??≤ab?≤ab?
?22221122xyxy????≤1212xxyy?≤22221122xyxy???
典例分析：
考点一坐标的基本运算
问题1．??1（01新课程）若向量??1,1a?，??1,1b??，??1,2c??，则c?
.A1322ab??.B1322ab?.C3122ab?.D3122ab??
??2（2013辽宁）已知点????1,3,4,1,AB?则与AB同方向的单位向量为
.A3455??????，-.B4355??????，-.C3455???????，.D4355???????，
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??3（08广东文）已知平面向量??1,2a?,??2,bm??,且//ab,则23ab??
.A??2,4??.B??3,6??.C??4,8??.D??5,10??
??4（2013湖北）已知点
??1,1A?
．
??1,2B
．
??2,1C??
．
??3,4D
，则向量AB
在
CD
方向上的投影为.A
322
.B
3152
.C
322
.D
3152?
考点二有关垂直、平行与夹角的计算
问题2．??1已知(1,2),(,1),2abxuab????，2vab??，且//uv，求实数x
??2已知向量(,1)am?,(2,)bm?的夹角为钝角,求m的取值范围.
??3（2013江苏）已知(cos,sin)(cos,sin)ab?????＝，，??????0。
（1）若||2ab??，求证：ab?；（2）设(0,1)c?，若abc??，求??,的值。
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考点三长度的计算
问题3．??1已知向量)3,1(?a，)0,2(??b，则ab??
??2（06全国Ⅱ）已知向量??sin,1a??，??1,cosb??，22??????.
（Ⅰ）若ab?，求?；（Ⅱ）求ab?的最大值．
考点四坐标运算的应用
问题4．（2012江西）在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，
点P为线段CD的中点，则22
2
PAPB
PC
??.A2.B4.C5.D10
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课后作业：
1.三点112233(,),(,),(,)AxyBxyCxy共线的充要条件是
.A12210xyxy??.B13310xyxy??
.C21313121()()()()xxyyxxyy?????.D2133121()(()()xxxxyyyy?????
2.如果1e,2e是平面?内所有向量的一组基底，那么下列命题中正确的是
.A若实数12,??使11220ee????，则120????
.B空间任一向量a可以表示为1122aee????，这里12,??是实数
.C对实数12,??，向量1122ee???不一定在平面?内
.D对平面内任一向量a，使1122aee????的实数12,??有无数对
3.已知向量(1,2)a??，b与a方向相反，且||2||ba?，那么向量b的坐标是_
4.已知(5,4),(3,2)ab??，则与23ab?平行的单位向量的坐标为
5.已知(3,1),(1,2),(1,7)abc?????，求pabc???，并以,ab为基底来表示p
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6.设a、b为正数，且5ab??，则22ab???的最大值为
7.已知向量33(cos,sin)22axx?，(cos,sin)22xxb??；
??1当]2,0[??x，求,||abab??；
??2若()2||fxabmab????≥23?对一切实数x都成立，求实数m的范围
8.设E、F分别是正方形ABCD中BC、CD
两边的中点，求cosEAF?的值
走向高考：
9.（07湖北文）设??4,3a?，a在b上的投影为522，b在x轴上的投影为2，且
AB
CD
E
F
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||14b≤，则b为.A(2,14).B22,7???????.C22,7???????.D(2,8)
10.（08全国Ⅱ文）设向量(12)(23)ab??，，，，若向量ab??与向量(47)c???，共线，
则??
11.（07北京文）已知向量??2,4a?，??1,1b?．若向量??bab???，则实数??
12.（07重庆文）已知向量(46)OA?，，(35)OB?，，且OCOA⊥，ACOB∥，则
向量OC?.A32
77???????，
.B24
721???????，
.C32
77???????，
.D24
721???????，
13.（08湖北文）设(1,2),(3,4),(3,2)abc?????，则(2)abc??
.A5.B0.C3?.D11?
14.（06重庆）与向量71,22a???????，17,22b????????的夹角相等，且模为1的向量是
.A???????53,54.B???????53,54或???????53,54.C?
??????
?31,322.D?
??????
?31,322或?
?????
??31,322
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15.（06辽宁）设(0,0)O,(1,0)A,(0,1)B,点P是线段AB上的一个动点,APAB??,
若OPABPAPB???,则实数?的取值范围是
.A112???.B2112????.C12122????.D2211?????
16.（05全国Ⅱ）已知点(3,1)A，(0,0)B，(3,0)C．设BAC?的平分线AE与BC
相交于E，那么有BCCE??，其中?等于.A2.B12.C3?.D13?
17.（05天津）在直角坐标系xOy中，已知点??0,1A和点??3,4B?，若点C在AOB?的
平分线上且2OC?,则OC?
18.（06湖北文）设过点??,Pxy的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于,AB
两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若2BPPA?且1OQAB?＝，
则点P的轨迹方程是
.A223312xy??(0,0)xy??.B223312xy??(0,0)xy??
.C223312xy??(0,0)xy??.D223312xy??(0,0)xy??
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19.（05全国Ⅲ）已知向量(,12)OAk?，(4,5)OB?，(,10)OCk??，且,,ABC三点
共线，则k?
20.（05山东)已知向量(cos,sin)m???和????2sin,cos,,2n????????，且
82,5mn??求cos28?????????的值.
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