Gothedistance
不会学会，会的做对.让生活的句号圈住的人，是无法前时半步的！
！
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课题：空间中的垂直关系
考纲要求：
①以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判
定定理.②能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.
教材复习
1.直线和平面垂直
??1直线和平面垂直的定义：直线l与平面?的直线都垂直，就说直线l??.
??2直线和平面垂直的判定定理和性质定理
图形语言文字语言符号语言
判定定理
如果一条直线和一个平
面内的
都垂直，那么该直线与此
平面垂直.
l?
???????
???????
??
?????????
???????
?
????????
性质定理
如果两条直线同垂直于
一个平面内，，那么这两
条直线.
a??????????????∥b
2.二面角的有关概念
??1二面角：从一条直线出发的所组成的图形叫做二面角.
??2二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作的
两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
3.平面和平面垂直的判定定理和性质定理
图形语言文字语言符号语言
判定定理
一个平面过另一个平面的一
条，则两个平面互相
垂直.
?????????????????
性质定理
两条平面内互相垂直，则一个
平面内垂直于它们的
直线垂直于另一个平面.
l?
??????
???????
????????
?
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基本知识方法
?O
a
b
l
?
ba
?
?
l
?
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la
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1.证明线面垂直的方法
(1)线面垂直的定义：a与α内任何直线都垂直a???；
(2)判定定理1：,
,mnmnAllmln??????????、
；
(3)判定定理2：a∥b，a???b??；
(4)面面平行的性质：?∥?，a???a??；
(5)面面垂直的性质：???，l???，a?，al??a??
??6证明直线与平面的法向量平行.
2.证明线线垂直的方法
(1)定义：两条直线所成的角为90?；
(2)平面几何中证明线线垂直的方法；
(3)线面垂直的性质：a??，b?ab??；
(4)线面垂直的性质：a??，b∥?ab??.
??5证明两直线的方向向量互相垂直.
3.证明面面垂直的方法
(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；
(2)判定定理：a?，a??????.
??3证明两平面的法向量垂直.
4.转化思想：垂直关系的转化(右图).
在证明两平面垂直时一般先从现有的直
线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中
不存在，则可通过作辅助线来解决．
典例分析：
考点一线线垂直
问题1．（2013天津）如图,四棱柱1111ABCDABCD?中,侧棱1AA?底面ABCD,
AB∥DC,ABAD?,1ADCD??,12AAAB??,E为棱1AA的中点.
(Ⅰ)求证：11BCCE?；(Ⅱ)略.(Ⅲ)略.
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问题2．（2011湖北文）如图，已知正三棱柱111ABCABC?的底
面边长为2，侧棱长为32，点E在侧棱1AA上，点F在侧棱1BB
上，且22AE?,2BF?.??1求证：1CFCE?；??2略.
考点二线面垂直
问题3．（07福建）如图，正三棱柱111ABCABC?
的所有棱长都为2，D为1CC中点．
??1求证：1AB⊥平面1ABD；??2略；??3略.
A
B
CD
1A
1C
1B
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问题4．（2010届高三福州八中第二次质检文）如图，四棱锥PABCD?的
底面为正方形，PA⊥平面ABCD，2PAAB??，F为PA上的点.
??1求证：无论点F在PA上如何移动，都有BDFC?；
??2若PC∥平面FBD，求三棱锥FBCD?的体积.
考点三面面垂直
问题5．（08陕西文）三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截
面为111ABC，90BAC???，1AA?平面ABC，1122ABACAC???，D为BC中点.
（Ⅰ）证明：平面1AAD?平面11BCCB；（Ⅱ）略．
A
BC
D
F
P
A1
A
C1
B1
BD
C
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课后作业：
1.（2010届高三福建“四地六校”第二次联考文）如图，在棱长为2的正方体
1111DCBAABCD?中，E、F分别为1DD、DB的中点.
??1求证：EF//平面11DABC；??2求证：EFCB1?；
2.如图，在正方体1111ABCDABCD?中，M、N、G分别是1AA，1DC，AD的中点．求
证：??1MN//平面ABCD；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m??2MN⊥平面1BBG．
A
BC
D
1A
1B1C
1D
G
M
N
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直观图
俯视图
侧视图正视图
E
B
E
4
2
2
2
2
2
DC
A
P
3.如右图所示，已知四棱锥PABCD?，其正视图是等腰直角三角形，侧视图是底边长为
4的等腰三角形，俯视图是矩形.（Ⅰ）求该四棱锥的体积；
（Ⅱ）证明：平面PAE⊥平面PDE
走向高考：
4.（09江苏）如图，在直三棱柱111ABCABC?中，E,F分别是11AB,AC的中点，
点D在11BC上，11ADBC?.求证：??1EF∥平面ABC（这里不做）；??2平面
1AFD?平面11BBCC.
5.如图，在四棱锥PABCD?中，平面PAD?平面ABCD，ABDC∥，PAD△是
等边三角形，已知28BDAD??，245ABDC??．
（Ⅰ）设M是PC上的一点，证明：平面MBD?平面PAD；
（Ⅱ）求四棱锥PABCD?的体积．
AB
C
M
P
D
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6.（08天津文）如图，在四棱锥ABCDP?中，底面ABCD是矩形．
已知?60,22,2,2,3??????PABPDPAADAB．
（Ⅰ）证明?AD平面PAB；（Ⅱ）略；（Ⅲ）略．
7.（07陕西）如图，在底面为直角梯形的四棱锥PABCD?中，ADBC∥，90ABC??°，
PA?平面ABCD．3PA?，2AD?，23AB?，6BC?
??1求证：BD?平面PAC；??2略．
P
CB
AD
E
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8.（2013陕西）如图,四棱柱1111ABCDABCD?的底面ABCD是正方形,O为底面
中心,1AO?平面ABCD,12ABAA??.??1证明:1AC?平面11BBDD；??2略.
O
D1
B1
C1
D
A
C
B
A1
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9.(2013江苏)如图，在三棱锥ABCS?中，平面?SAB平面SBC，BCAB?，
ABAS?，过A作SBAF?，垂足为F，点GE，分别是棱SCSA，的中点.
求证：??1平面//EFG平面ABC(这里不做)；??2SABC?.
A
B
C
S
G
F
E
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