Gothedistance
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课题：曲线与方程
考纲要求：了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.
教材复习
1.曲线的方程与方程的曲线
在直角坐标系中，如果某曲线C（看作适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元
方程(,)0fxy?的实数解建立了如下关系：
??1曲线上的点的坐标都是这个方程的；??2以这个方程的解为坐标的点都是
那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线（图形）.
2.两曲线的交点
设曲线1C的方程为??1,0Fxy?，曲线2C的方程为??2,0Fxy?，则曲线12,CC的交点坐标
即为方程组的实数解，若此方程组无解，则两曲线12,CC.
3.求动点轨迹方程的一般步骤
①建系：建立适当的坐标系；②设点：设轨迹上的任一点??,Pxy；③列式：列出动点P所
满足的关系式；④代换：依条件的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为,xy的方程
式，并化简；⑤证明：证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.
4.求轨迹方程常用方法
??1直接法：直接利用条件建立,xy之间的关系??,0Fxy?；
??2定义法：先根据定义得出动点的轨迹的类别，再由待定系数法求出动点的轨迹方程.
??3待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线的方程.先根据所求曲线类型设出相应曲线的
方程，再由条件确定其待定系数；
??4代入法（相关点法）：动点??,Pxy依赖于另一动点??00,Qxy的变化而变化，并且
??00,Qxy又在某已知曲线上，则可先用,xy的代数式表示00,xy，再将00,xy带入已知曲线
得要求的轨迹方程.
??5参数法：当动点??,Pxy的坐标,xy之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，
可考虑将,xy均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程.
5.对于中点弦问题，常用“点差法”：其步骤为：设点，代入，作差，整理.
基本知识方法
1.掌握“方程与曲线”的充要关系；
2.求轨迹方程的常用方法：轨迹法、定义法、代入法、参数法、待定系数法、直接法和交轨
法、向量法.要注意“查漏补缺，剔除多余”.
典例分析：
考点一曲线与方程
问题1．??1(06武汉调研)如果命题“坐标满足方程(,)0fxy?的点都在曲线C上”
是不正确的，那么下列命题正确的是
.A坐标满足方程(,)0fxy?的点都不在曲线C上；
.B曲线C上的点不都满足方程(,)0fxy?；
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.C坐标满足方程(,)0fxy?的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上；
.D至少有一个点不在曲线C上，其坐标满足方程(,)0fxy?.
??2如果曲线C上的点满足方程(,)0fxy?，则以下说法正确的是：
.A曲线C的方程是(,)0fxy?；
.B方程(,)0fxy?的曲线是C；
.C坐标满足方程(,)0fxy?的点在曲线C上；
.D坐标不满足方程(,)0fxy?的点不在曲线C上；
??3判断下列结论的正误，并说明理由：
①过点??3,0A且垂直于x轴的直线的方程为3x?；
②到x轴距离为2的点的直线的方程为2y??；
③到两坐标轴的距离乘积等于1的点的轨迹方程为1xy?；
④ABC△的顶点??0,3A?，??1,0B，??1,0C?，D为BC的中点，则中线AD的方程为
0x?.
??4作出方程221yxx???所表示的曲线.
??5（2011北京）曲线C是平面内与两个定点??11,0F?和??21,0F的距离的积等于常数
2(1)aa?的点的轨迹.给出下列三个结论：
①曲线C过坐标原点；
②曲线C关于坐标原点对称；
③若点P在曲线C上，则12FPF△的面积大于212a.
其中，所有正确结论的序号是
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考点二直接法求轨迹方程
问题2．（2011全国新课标）在平面直角坐标系xOy中，已知点??0,1A?，B点在直线
3y??上，M点满足//MBOA，MAABMBBA???，M点的轨迹为曲线C.
（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）略.
考点三定义法求轨迹方程
问题3．已知ABC△中，A?、B?、C?所对的边分别为,,abc，且acb??
成等差数列，2AB?，求顶点C的轨迹方程.
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考点四代入法（相关点法）求轨迹方程
问题4．（2011陕西）如图，设P是圆2225xy??上的动点，
点D是P在x轴上投影，M为PD上一点，且4||||5MDPD?．
??1当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；
??2求过点??3,0且斜率为45的直线l被C所截线段的长度．
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课后作业：
1.方程????2222440xy????表的图形是.A两个点.B四个点.C两条直线.D四条直线
2.设曲线C是到两坐标轴距离相等点的轨迹，那么C的方程是
.A0xy??.B0xy??.C||||0xy??.D||yx?和||xy?
3.已知221xy??点(1,0)A，ABC△内接于圆，且60BAC??，当,BC在圆上运动时，
BC中点的轨迹方程是
.A2212xy??.B2214xy??.C2211()22xyx???.D2211()44xyx???
4.若两直线50xya???与0xya???交点在曲线2yxa??上，则a?
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5.若曲线220yxyxk????通过点(,)()aaaR??，则k的取值范围是
6.画出方程??22410xyxy??????所表示的图形：
7.A为定点，线段BC在定直线l上滑动，已知||4BC?，A到l的距离为3，求ABC△的
外心的轨迹方程.
8.设xR?，求两直线1l：60xmy???与2l：??2320mxym????的交点P的轨迹方程.
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9.已知抛物线24ypx???0p?，O为顶点，
,AB为抛物线上的两动点，且OAOB?，如果
OMAB?于M，求点M的轨迹方程.
x
y
O
M
B
A
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走向高考：
10.（01广东）设圆M的方程为2)2()3(22????yx，直线l的方程为03???yx的
点P的坐标为)1,2(，那么
.A点P在直线l上，但不在圆M上.B点P在圆M上，但不在直线l上
.C点P既在圆M上，也在直线l上，.D点P既不在圆M上，也不在直线l上
11.(04辽宁)已知点)0,2(?A、)0,3(B，动点(,)Pxy满足2PAPBx??，则点P的轨迹是
.A圆.B椭圆.C双曲线.D抛物线
12.(2012四川)如图，动点M到两定点(1,0)A?、(2,0)B
构成MAB?，且2MBAMAB???，设动点M的轨迹为C.
（Ⅰ）求轨迹C的方程；（Ⅱ）略.
y
xBAO
M
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