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不会学会，会的做对.想象力比知识更为重要.(美国科学家爱因斯坦)451
课题：直线和圆锥曲线的综合问题
考纲要求：1.理解数形结合的思想.2.了解圆锥曲线的简单应用.
教材复习
1.对相交弦长问题及中点弦问题要正确运用“设而不求”，常结合韦达定理.
2.解决直线和圆锥曲线的位置关系问题时，经常转化为它们所对应的方程构成的方程组是否
有解或解的个数问题.对于消元后的一元二次方程，必须讨论二次项的系数和判别式△，注
意直线与圆锥曲线相切必有一个公共点，对圆与椭圆来说反之亦对，但对双曲线和抛物线来
说直线与其有一公共点，可能是相交的位置关系.有时借助图形的几何性质更为方便.
3.涉及弦的中点问题，除利用韦达定理外，也可以运用“点差法”，但必须以直线与圆锥
曲线相交为前提，否则不宜用此法.
4.直线与圆锥曲线相交的弦长计算：??1连结圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦；
??2易求出弦端点坐标时用距离公式求弦长；??3一般情况下,解由直线方程和圆锥曲线方
程组成的方程组,得到关于x(或y)的一元二次方程,利用方程组的解与端点坐标的关
系，结合韦达定理得到弦长公式：
2222121212()()(1)()dxxyykxx???????＝2212))(11(yyk??.
5.涉及垂直关系问题，一般是利用斜率公式及韦达定理求解，设??11,Axy、??22,Bxy，
??00,Pxy是直线与圆锥曲线的两个交点，O为坐标原点，则OAOB??12120xxyy??，
APBP??????????010201020xxxxyyyy????????
6.解析几何解题的基本方法：数形结合法，以形助数，用数定形.常用此法简化运算.
基本知识方法
1.在几何问题中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题一种思路
是进行一般计算推理求出其结果；另一种是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，
然后再进行一般性证明或计算，即将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形式，证明
该式是恒定的.如果试题以客观题形式出现，特殊方法往往比较奏效.
2.对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，设
该直线（曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足的方程
（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识加以解决.
可从特殊情况入手，先探求定点，再证明一般情况.
3.解析几何的最值和范围问题，一般先根据条件列出所求目标的函数关系式，然后根据函
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数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法、不等式法、单调性法、导数法以及三角
函数最值法等求出它的最大值和最小值.
典例分析：
考点一弦长问题
问题1．设直线l过双曲线2213yx??的一个焦点，交双曲线于A、B两点，O为坐标
原点，若0OAOB??，求AB的值.
考点二焦点弦问题
问题2．过抛物线22ypx?（0p?）的焦点作一条直线交抛物线于??11,Axy、??22,Bxy，
两点，设直线的倾斜角为?.求证：??1212yyp???；??2
22sinpAB??
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考点三范围与最值问题
问题3．（2010湖北）已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点??1,0F的距离减
去它到y轴距离的差都是1.(Ⅰ)求曲线C的方程；（Ⅱ）是否存在正数m，对于过点
??,0Mm且与曲线C有两个交点,AB的任一直线，都有0FAFB?？若存在，求出m的
取值范围；若不存在，请说明理由.
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问题4．(2012浙江)如图，椭圆C：22+1xyab?(0ab??)的离心率为12，
其左焦点到点??2,1P的距离为10．不过原点O的直线l
与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)求ABP△的面积取最大时直线l的方程．
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考点四定点定值问题
问题5．(2013陕西)已知动圆过定点??4,0A,且在y轴上截得的弦MN的长为8.
(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹C的方程；
(Ⅱ)已知点??1,0B?,设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P,Q,
若x轴是PBQ?的角平分线,证明直线l过定点.
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问题6．(2011山东)已知直线l与椭圆C:22132xy??交于??11,Pxy，??22,Qxy
两不同点，且OPQ△的面积62S?,其中Q为坐标原点.
（Ⅰ）证明2212xx?和2212yy?均为定值；
（Ⅱ）设线段PQ的中点为M，求OMPQ?的最大值；（Ⅲ）略.
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考点五探索性问题
问题7．（04湖北）直线l：1ykx??与双曲线C：2221xy??的右支交于不同的两
点A、B.（Ⅰ）求实数k的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的
圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.
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课后作业：
1.（07南通九校联考）过双曲线2212yx??的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，
若4AB?，则满足条件的直线l有.A2条.B3条.C4条.D无数条
2.已知双曲线C:2214yx??，过点P(1,1)作直线l，使l与C有且只有一个公共点，
则满足上述条件的直线l共有.A1条.B2条.C3条.D4条
3.（07北京海淀区）若不论k为何值，直线??2ykxb???与直线221xy??总有公共
点，则b的取值范围是.A??3,3?.B3,3?????.C??2,2?.D??2,2?
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4.直线10kxyk????与椭圆2212516xy??公共点的个数是
.A0.B1.C2.D随k变化而改变
5.椭圆122??nymx与直线1??yx交于,MN两点，MN的中点为P，且OP的斜率
为22，则nm的值为.A22.B322.C229.D2732
6.已知椭圆2224xy??，则以(1,1)为中点的弦的长度是
.A32.B23.C303.D362
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7.若直线1ykx??和椭圆22125xym??恒有公共点，则实数m的取值范围为
8.过椭圆22xy??的一个焦点的直线交椭圆于P、Q两点,求POQ△面积的最大值
9.中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的左焦点为F，离心率为13e?，过F作直线l交
椭圆于,AB两点，已知线段AB的中点到椭圆左准线的距离是6，则AB?
10.已知椭圆221xyab??（0ab??）的右焦点为F，过F作直线与椭圆相交于A、B
两点，若有2BFAF?，求椭圆离心率的取值范围.
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11.抛物线22ypx?的顶点任意作两条互相垂直的弦OA、OB，
求证：AB交抛物线的对称轴上一定点.
x
y
O
A
B
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走向高考：
12.（06福建）已知双曲线12222??byax(0a?，0b?)的右焦点为F，若过点F且
倾斜角为60?的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是
.A??1,2.B??1,2.C??2,??.D??2,??
13.（06江西）P是双曲线221916xy??的右支上一点，,MN分别是圆??2254xy???
和??2251xy???上的点，则PMPN?的最大值为.A6.B7.C8.D9
14.(2013安徽)已知直线ya?交抛物线2yx?于,AB两点.若该抛物线上存在
点C，使得ABC?为直角，则a的取值范围为
15.（07全国Ⅰ）已知椭圆22132xy??的左、右焦点分别为1F，2F．过1F的直线交椭圆
于,BD两点，过2F的直线交椭圆于,AC两点，且ACBD?，垂足为P．
（Ⅰ）设P点的坐标为00()xy，，证明：2200132xy??；
（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值．
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