知能迁移4如图，已知A(－4,n)，B(2,－4)是一次函数y＝kx＋b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点．(1)求
反比例函数和一次函数的解析式；(2)求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积；(3)求方程kx＋b－
＝0的解(请直接写出答案)；(4)求不等式kx＋b－<0的解集(请直接写出答案)．解：(1)∵B(2,－4)
在函数y＝的图象上，∴m＝－8.∴反比例函数的解析式为y＝.∵点A(－4,n)在函数
y＝的图象上，∴n＝2，A(－4,2)．∵直线y＝kx＋b经过点A(－4,2)，B(2,－4)，
∴解之，得∴一次函数的解析式为：y＝－x－2.－4k＋b＝
2,2k＋b＝－4,k＝－1,b＝－2,(2)∵C是直线AB与x轴的交点，∴当y＝0时，x＝－2.
∴点C(－2,0)，∴OC＝2，∴S△ABO＝S△ACO＋S△BCO＝×2×2＋×2×4＝6.
(3)x1＝－4，x2＝2.(4)－42.5．易出错的双比例系数函数解析式考题再现(2010·兰州)已
知：y＝y1＋y2，y1与x2成正比例，y2与x成反比例，且x＝1时，y＝3；x＝－1时，y＝1.求x＝－时，y的值．学生
作答解：设y1＝kx2，y2＝.∵y＝y1＋y2，∴y＝kx2＋.把x
＝1，y＝3代入上式，得3＝k＋k，∴k＝.∴y＝x2＋.当x＝－
时，y＝×(－)2＋＝－3＝－.答：当x＝－时，y的值
是－.易错警示规范解答解：设y1＝k1x2，y2＝，∵y＝y1＋y2.∴y＝k1x2＋
.把x＝1，y＝3；x＝－1，y＝1分别代入上式，得解得
∴y＝2x2＋.当x＝－时，y＝2×(－)2＋＝－2＝－.答：当x＝－
时，y的值是－.3＝k1＋k2,1＝k1－k2,k1＝2,k2＝1,老师忠告1．错解错在设y1＝
kx，y2＝时取了相同的比例系数k，由于这是两种不同的比例，其比例系数未必相同，应分别设y1＝k1x，y2＝，用两个
不同字母k1、k2来表示两个不同的比例系数．2．在同一问题中，相同的字母只能表示同一个未知量．两个或多个不同的未知量需
要用两个或多个不同的字母来表示，以免混淆，从而导致错误．方法与技巧牢固掌握本节知识点，树立函数思想，运用数形结合思想，
注意与其他学科的结合．1.注意反比例函数中“xy＝k”的几何意义(图象上任意一点作x轴、y轴所形成矩形面积)和实际意
义．2.比例系数k决定反比例函数y＝图象的分布情况(具体见前面的要点梳理)，要重视这些基础知识．3
.关注与反比例函数有关的综合题，掌握其基本方法，如求交点坐标的方法等．4.解一次函数与反比例函数综合性问题时，要注
意运用“把问题的数量关系转化为图形的性质，或者把图形的性质转化为数量关系”的策略．思想方法感悟提高失误与防范1．
反比例函数中，y随x的大小而变化的情况，应分x>0与x<0两种情况讨论，而不能笼统地说成“k<0时，y随x的增大而增大”．双曲线
上的点在每个象限内，y随x的变化是一致的，但在不同象限上的两个点比较函数值的大小时，不能按这个规律．当k>0时，第一象限点的纵坐标
值为正，而第三象限点纵坐标值都为负；当k<0时，第二象限上的点的纵坐标值都为正，第四象限上的点的纵坐标值都为负．2．在比
较大小时，不可以忽略了反比例函数的图象是由两条分支组成的(分别在不同的两个象限)，在不同的象限是不能用它的性质来判断的，而是要分别
讨论．运用反比例函数的性质时，要注意在每一个象限内的要求.完成考点跟踪训练13第13课反比例函数及其图象1.概念：
函数叫做反比例函数．2.图象：反比例函数的图象是双曲线，是不与两坐
标轴相交的两条曲线．3.性质：(1)当k>0时，其图象位于，在
每个象限内，y随x的增大而；(2)当k<0时，其图象位于
，在每个象限内，y随x的增大而；(3)其图象是关于原点对称的中
心对称图形，又是轴对称图形．要点梳理y＝(k≠0)第一、三象限减小第二、四象限增大4.应用：如图，点A和点C
是反比例函数y＝(k≠0)的图象上任意两点，画AB⊥x轴于B，CD⊥y轴于D，则有S△AOB＝S△COD＝.1.
理解反比例与反比例函数的关系判断两个变量x、y是否为反比例关系，就是要看两个变量的乘积是不是一个非零常数，若两个变量的乘
积是一个非零常数，则x与y成反比例，由此得到的函数就是反比例函数．否则就不是反比例函数，由此可见，反比例和反比例函数之间是有一定联
系的．[难点正本疑点清源]2.正确理解反比例函数的概念，掌握反比例函数式的几种关系要判断实际问题中的两个变量之间是
否成反比例函数关系，应该先根据题意分析数量关系，列出函数关系式后再根据反比例函数的概念判断．如果待判定的函数关系式已经给出，则可以
直接根据反比例函数的定义判断．y＝(k≠0)，y＝kx－1(k≠0)，xy＝k(k≠0)，都表明y是x的反比例函数，其中
自变量的取值范围是x≠0,则函数y≠0.这些反比例函数式的变式，在解题过程中会碰到，因此要熟练掌握．3.掌握反比例函数图象的画
法及特点，理解比例系数k的几何意义画出函数图象是研究函数性质的基础．由于反比例函数图象是两条曲线，一般每条曲线要描5个点
(共10个点)，描的点越多，所画的图象越准确．x的取值一般以0为中心(不包括0)对称地取值，用描点法画双曲线，要结合图象的特征连线
，y轴两侧的点之间不能连接．由于反比例函数的图象是双曲线，双曲线中的两个分支关于原点对称，分别位于第一、三象限或第二、四
象限，因此，对于在双曲线一个分支上的任意一点都能找到它在另一个分支上的对称点．由图象可得知比例系数k的几何意义：即过双曲
线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得的矩形面积为.1．(2011·枣庄)已知反比例函数y＝，下列结论中不正确的是
()A．图象经过点(－1,－1)B．图象在第一、三象限C．当x>1时，01D．当x<0时，y随着x的增大而增大解析：双曲线y＝分布于第一、三象限．当x<0时，y随x的增
大而减小．基础自测D2．(2011·邵阳)已知点(1,1)在反比例函数y＝(k为常数，k≠0)的图象上，则这个反比例函
数的大致图象是()解析：据题意，k＝1×1＝1>0，双曲线在第一、三象限，选C.C3．(2011·黄
石)双曲线y＝的图象经过第二、四象限，则k的取值范围是()A．k>
B.k，即k<时，双曲线在第二、四象限．B4．(2011·淮安)如图，反比例函数y＝的图象经过点A(－1,－2)．
则当x＞1时，函数值y的取值范围是()A．y＞1B．0＜y＜1
C．y＞2D．0＜y＜2解析：由题意，得k＝－1×(－2)＝2，∴y＝，
当x＝1时，y＝2，当x>1时，观察图象，得02＝的图象相交于点M(2,m)，N(－1,n)，若y1>y2，则x的取值范围是()A．x<－1或02B．x<－1或x>2C．－12
解析：当x＝2或－1时，y1＝y2；当－12时，y1>y2.D题型一反比例函数图象的确定【例
1】已知图中的曲线是反比例函数y＝(m为常数)图象的一支．(1)这个反比例函数图象的另一支在第几象
限？常数m的取值范围是什么？(2)若该函数的图象与正比例函数y＝2x的图象在第一象限内的交点为A，过A点作x轴的垂线，垂
足为B，当△OAB的面积为4时，求点A的坐标及反比例函数的解析式．题型分类深度剖析解：(1)这个反比例函
数图象的另一支在第三象限．∵m－5>0，∴m>5.(2)∵点A在直线y＝2x上，∴设点A的坐标为(x
0,2x0)(x0>0)，则点B的坐标为(x0,0)．∵S△OAB＝4，∴·x0·2x0＝4，
x02＝4，x0＝±2(舍去负值)，∴点A的坐标为(2,4)．又∵点A在双曲线y＝上，
∴4＝，m－5＝8.∴反比例函数的解析式为y＝.探究提高一次函数与比例函数的
图象的性质取决于系数的值，同样由图象的性质，反过来也可以确定系数的符号．要熟记函数的性质并灵活应用这些性质．知能迁移1(201
1·聊城)如图，已知一次函数y＝kx＋b的图象交反比例函数y＝(x>0)图象于点A、B，交x轴于点C.
(1)求m的取值范围；(2)若点A的坐标是(2,－4)，且＝，求m的值和一次函数的
解析式．解：(1)因反比例函数的图象在第四象限，所以4－2m＜0，解得m＞2.(2)∵点A(2,－4)在反比
例函数图象上，∴－4＝，解得m＝6，得y＝.过点A、B分别作AM⊥OC于
点M，BN⊥OC于点N，所以∠BNC＝∠AMC＝90°.又因为∠BCN＝∠ACM，所以△BCN∽△ACM，所以
＝.因为＝，所以＝，即＝.
因为AM＝4，所以BN＝1，所以点B的纵坐标为－1，因为点B在反比例函数的图象上，所以当y＝－1时，x＝8，所
以点B的坐标为(8,－1)，因为一次函数y＝kx＋b的图象过点A(2,－4)，B(8,－1)，所以
解得所以一次函数的解析式为y＝x－5.2k＋b＝－4,8k＋b＝－1,b＝－5,k＝,
题型二待定系数法确定反比例函数解析式【例2】(2011·济宁)如图，正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝(k≠
0)在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知△OAM的面积为1.(1)求反比例函数的解析式；
(2)如果点B为反比例函数在第一象限图象上的点(点B与点A不重合)，且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，
使PA＋PB最小.解：(1)设A点的坐标为(a，b)，则b＝，∴ab＝k.∵ab＝1，∴k
＝1，∴k＝2.∴反比例函数的解析式为y＝.(2)由得
∴A为(2,1)．∵B点横坐标为1，∴B(1,2)．设A点关于x轴的对称点为C，则C点的坐标为(2,－1)．
令直线BC的解析式为y＝mx＋n.∵B为(1,2)，∴∴
∴BC的解析式为y＝－3x＋5.当y＝0时，x＝.∴P点为(,0)．y＝，y＝x
，x＝2,y＝1,m＋n＝2,2m＋n＝－1,m＝－3,n＝5.探究提高反比例函数表达式中只有一个待定系
数，由一对已知对应值即可确定函数解析式，而一次函数中有两个待定系数，要求出其系数，需要已知两对对应值．知能迁移2已知：如图，正
比例函数y＝ax的图象与反比例函数y＝的图象交于点A(3,2).(1)试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；
(2)根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？(3)M是反比例函数图象上的一
动点，其中0D.当四边形OADM的面积为6时，请判断线段BM与DM的大小关系，并说明理由．解：(1)∵直线y＝ax过点A
(3,2)，∴2＝3a，a＝，y＝x.又∵双曲线y＝过点A(3,2)，∴2＝
，k＝6，y＝.(2)当0∵S△OMB＝S△OAC＝×|k|＝3，∴S矩形OBDC＝S四边形OADM＋2S△OAC＝3＋3＋6＝12.
即OC·OB＝12.∵OC＝3，∴OB＝4，即n＝4，∴m＝＝，∴MB＝，MD＝3－
＝，∴MB＝MD.题型三实际背景下的反比例函数的图象【例3】为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行
消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间x(分钟)成正比例；药物释放完毕后，y与x成反比例，如图所示．
根据图中提供的信息，解答下列问题：(1)写出从药物释放开始，y与x之间的两个函数关系式及相应的自变量
取值范围；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.45毫克以下时，学生方可进入教室，那么
从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？解：(1)当0≤x<12时，设y＝k1x.∵
x＝12，y＝9，∴9＝12k1，k1＝，y＝x.当x>12时，设y＝，∴k2＝
xy＝12×9＝108，y＝.(2)当y＝0.45，得0.45＝，x＝＝24
0(分钟)＝4(小时)．答：至少需要经过4小时后，学生才能进入教室．探究提高问题中两个变量不是单一的一次函
数或反比例函数关系，而是二者的复合，这类题在函数综合应用中很普遍，注意在实际问题中提炼出函数模型，往往要加自变量的取值范围．知
能迁移3如图，奥运圣火抵达某市奥林匹克中心广场后，沿图中直角坐标系中的一段反比例函数图象传递．动点T(m,n)表示火炬位置，火炬
从离北京路10m处的M点开始传递，到离北京路1000m的N点时传递活动结束．迎圣火临时指挥部设在坐标原点O(北京路与奥运路的十
字路口)，OATB为少先队员鲜花方阵，方阵始终保持矩形形状且面积恒为10000m2(路线宽度均不计)．(1)求图中反比
例函数的关系式(不需写出自变量的取值范围)；(2)当鲜花方阵的周长为500m时，确定此时火炬的位置(用
坐标表示)；(3)设t＝m－n，用含t的代数式表示火炬到指挥部的距离；当火炬离指挥部最近时，确定此时火炬的位置(用坐标表示)
．解：(1)∵矩形的面积为10000，∴mn＝10000，即k＝10000，y＝.(2
)∵2(m＋n)＝500，∴m＋n＝250，①又mn＝10000，②解①、②组成的方程组，得∴T点
的坐标为(200,50)或(50,200)．(3)OT＝＝
＝.∴t＝0时，OT有最小值．∴m－n＝0，m＝n.
又mn＝10000，∴T的坐标为(100,100)．m1＝200，n1＝50，
m2＝50，n2＝200，m＝100，n＝100，题型四反比例函数与几何图形的结合【例4】(2011·广州)已知Rt
△ABC的斜边AB在平面直角坐标系的x轴上，点C(1,3)在反比例函数y＝的图象上，且sin∠BAC＝.(1
)求k的值和边AC的长；(2)求点B的坐标．解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！解：(1)把C
(1,3)代入y＝得k＝3.[2分]设斜
边AB上的高为CD，则sin∠BAC＝＝.∵C(1,3)，∴CD＝3，∴AC＝5.[4分](2)分两种情况讨论，当点B在点A右侧时，如图1，有：AD＝＝4，AO＝4－1＝3.∵△ACD∽△ABC，∴＝，∴AC2＝AD·AB，∴AB＝＝，∴OB＝AB－AO＝－3＝.此时B点坐标为(,0)．[7分]当点B在点A左侧时，如图2，此时AO＝4＋1＝5，OB＝AB－AO＝－5＝，此时B点坐标为(－,0)．[10分]综上，点B的坐标为(,0)或(－,0)．[12分]探究提高充分利用图中的几何知识，如相似的判定与性质、勾股定理、三角函数等相关知识来解题，特别注意点B在点A的左边或右边两种情况． |
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