Gothedistance
第六节二次函数与幂函数
[知识能否忆起]
一、常用幂函数的图象与性质
函数
特征
性质
y＝xy＝x2y＝x3y＝x12y＝x－1
图象
定义域RRR{x|x≥0}{x|x≠0}
值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}
奇偶性奇偶奇非奇非偶奇
单调性增
(－∞，0]减
(0，＋∞)增
增增
(－∞，0)和
(0，＋∞)减
公共点(1,1)
二、二次函数
1．二次函数的定义
形如f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数．
2．二次函数解析式的三种形式
(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；
(3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
3．二次函数的图象和性质
a>0a<0
图象
Gothedistance
图象
特点①对称轴：x＝－
b
2a；②顶点：?
?
?
?－b
2a，
4ac－b2
4a
性质
定义域x∈R
值域y∈??4ac－b
2
4a，＋∞y∈?
?
?
?－∞，4ac－b2
4a
奇偶性b＝0时为偶函数，b≠0时既非奇函数也非偶函数
单调性
x∈－∞，??－b2a时递减，x∈－b2a，
＋∞时递增
x∈????－∞，－b2a时递增，x∈
????－
b
2a，＋∞时递减
[小题能否全取]
1．若f(x)既是幂函数又是二次函数，则f(x)可以是()
A．f(x)＝x2－1B．f(x)＝5x2
C．f(x)＝－x2D．f(x)＝x2
解析：选D形如f(x)＝xα的函数是幂函数，其中α是常数．
2．(教材习题改编)设α∈??????－1，1，12，3，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的
所有α值为()
A．1,3B．－1,1
C．－1,3D．－1,1,3
解析：选A在函数y＝x－1，y＝x，y＝x12，y＝x3中，只有函数y＝x和y＝x3的定义域
是R，且是奇函数，故α＝1,3.
3．(教材习题改编)已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是()
A.????0，120B.????－∞，－120
C.????120，＋∞D.????－120，0
解析：选C由题意知
??
??
?a>0，
Δ<0，即???
??a>0，
1－20a<0得a>
1
20.
4．(教材习题改编)已知点M????33，3在幂函数f(x)的图象上，则f(x)的表达式为________．
解析：设幂函数的解析式为y＝xα，则3＝????33α，得α＝－2.故y＝x－2.
答案：y＝x－2
5．如果函数f(x)＝x2＋(a＋2)x＋b(x∈[a，b])的图象关于直线x＝1对称，则函数f(x)的
Gothedistance
最小值为________．
解析：由题意知
??
??
?－a＋2
2＝1，
a＋b＝2，
得
??
??
?a＝－4，
b＝6.
则f(x)＝x2－2x＋6＝(x－1)2＋5≥5.
答案：5
1.幂函数图象的特点
(1)幂函数的图象一定会经过第一象限，一定不会经过第四象限，是否经过第二、
三象限，要看函数的奇偶性；
(2)幂函数的图象最多只能经过两个象限内；
(3)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．
2．与二次函数有关的不等式恒成立问题
(1)ax2＋bx＋c>0，a≠0恒成立的充要条件是
??
??
?a>0，
b2－4ac<0.
(2)ax2＋bx＋c<0，a≠0恒成立的充要条件是
??
??
?a<0，
b2－4ac<0.
[注意]当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况．
幂函数的图象与性质
典题导入
[例1]已知幂函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3在(0，＋∞)上是增函数，则m＝________.
[自主解答]∵函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3是幂函数，
∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.
当m＝2时，－5m－3＝－13，函数y＝x－13在(0，＋∞)上是减函数；
当m＝－1时，－5m－3＝2，函数y＝x2在(0，＋∞)上是增函数．
∴m＝－1.
[答案]－1
由题悟法
1．幂函数y＝xα的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：
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(1)α的正负：α>0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；α<0时，图象不过
原点，在第一象限的图象下降．
(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凸；
0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸．
2．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数．借助其单调性进行
比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．
以题试法
1．(1)如图给出4个幂函数大致的图象，则图象与函数对应正确的是()
A．①y＝x13，②y＝x2，③y＝x12，④y＝x－1
B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x12，④y＝x－1
C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x12，④y＝x－1
D．①y＝x13，②y＝x12，③y＝x2，④y＝x－1
解析：选B由图①知，该图象对应的函数为奇函数且定义域为R，当x>0时，图象是
向下凸的，结合选项知选B.
(2)(2013·淄博模拟)若a<0，则下列不等式成立的是()
A．2a>????12a>(0.2)aB．(0.2)a>????12a>2a
C.????12a>(0.2)a>2aD．2a>(0.2)a>????12a
解析：选B若a<0，则幂函数y＝xa在(0，＋∞)上是减函数，所以(0.2)a>????12a>0.所以
(0.2)a>????12a>2a.
求二次函数的解析式
典题导入
[例2]已知二次函数f(x)有两个零点0和－2，且它有最小值－1.
(1)求f(x)解析式；
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(2)若g(x)与f(x)图象关于原点对称，求g(x)解析式．
[自主解答](1)由于f(x)有两个零点0和－2，
所以可设f(x)＝ax(x＋2)(a≠0)，
这时f(x)＝ax(x＋2)＝a(x＋1)2－a，
由于f(x)有最小值－1，
所以必有
??
??
?a>0，
－a＝－1，解得a＝1.
因此f(x)的解析式是f(x)＝x(x＋2)＝x2＋2x.
(2)设点P(x，y)是函数g(x)图象上任一点，它关于原点对称的点P′(－x，－y)必在f(x)
图象上，
所以－y＝(－x)2＋2(－x)，
即－y＝x2－2x，
y＝－x2＋2x，
故g(x)＝－x2＋2x.
由题悟法
求二次函数的解析式常用待定系数法．合理选择解析式的形式，并根据已知条件正确地
列出含有待定系数的等式，把问题转化为方程(组)求解是解决此类问题的基本方法．
以题试法
2．设f(x)是定义在R上的偶函数，当0≤x≤2时，y＝x，当x>2时，y＝f(x)的图象是顶
点为P(3,4)，且过点A(2,2)的抛物线的一部分．
(1)求函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式；
(2)在下面的直角坐标系中直接画出函数f(x)的草图；
(3)写出函数f(x)的值域．
解：(1)设顶点为P(3,4)且过点A(2,2)的抛物线的方程为y＝a(x－3)2＋4，将(2,2)代入可
得a＝－2，
则y＝－2(x－3)2＋4，
即x>2时，f(x)＝－2x2＋12x－14.
当x<－2时，即－x>2.
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又f(x)为偶函数，f(x)＝f(－x)＝－2×(－x)2－12x－14，
即f(x)＝－2x2－12x－14.
所以函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式为
f(x)＝－2x2－12x－14.
(2)函数f(x)的图象如图，
(3)由图象可知，函数f(x)的值域为(－∞，4]．
二次函数的图象与性质
典题导入
[例3]已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．
(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数．
[自主解答](1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4,6]．
所以f(x)在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，
故f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.
(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函
数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.
故a的取值范围为(－∞，－6]∪[4，＋∞)．
本例条件不变，求当a＝1时，f(|x|)的单调区间．
解：当a＝1时，f(x)＝x2＋2x＋3，
则f(|x|)＝x2＋2|x|＋3，此时定义域为x∈[－6,6]，
且f(x)＝
??
??
?x2＋2x＋3，x∈?0，6]，
x2－2x＋3，x∈[－6，0]，
故f(|x|)的单调递增区间是(0,6]，
单调递减区间是[－6,0]．
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由题悟法
解决二次函数图象与性质问题时要注意：
(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定
一不定，要注意分类讨论．
(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上二次函数最值问题的求法．
以题试法
3．(2012·泰安调研)已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]时有最大值2，则a的值
为________．
解析：f(x)＝－(x－a)2＋a2－a＋1，
当a>1时，ymax＝a；
当0≤a≤1时，ymax＝a2－a＋1；
当a＜0时，ymax＝1－a.
根据已知条件
??
??
?a＞1，
a＝2或???
??0≤a≤1，
a2－a＋1＝2或???
??a＜0，
1－a＝2，
解得a＝2或a＝－1.
答案：2或－1
二次函数的综合问题
典题导入
[例4](2012·衡水月考)已知函数f(x)＝x2，g(x)＝x－1.
(1)若存在x∈R使f(x)
(2)设F(x)＝f(x)－mg(x)＋1－m－m2，且|F(x)|在[0,1]上单调递增，求实数m的取值范围．
[自主解答](1)?x∈R，f(x)
x2－bx＋b<0?(－b)2－4b>0?b<0或b>4.
故b的取值范围为(－∞，0)∪(4，＋∞)．
(2)F(x)＝x2－mx＋1－m2，
Δ＝m2－4(1－m2)＝5m2－4.
①当Δ≤0，即－255≤m≤255时，
则必需
?
??
m
2≤0，
－255≤m≤255
?－255≤m≤0.
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②当Δ>0，即m<－255或m>255时，设方程F(x)＝0的根为x1，x2(x1
若m2≥1，则x1≤0，
即
??
??
?m2≥1，
F?0?＝1－m2≤0
?m≥2；
若m2≤0，则x2≤0，
即
??
??
?m2≤0，
F?0?＝1－m2≥0
?－1≤m≤－255.
综上所述，m的取值范围为[－1,0]∪[2，＋∞)．
由题悟法
二次函数与二次方程、二次不等式统称“三个二次”，它们之间有着密切的联系，而二
次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．因此，有关“三个二次”
的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．
以题试法
4．若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若在区间[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)由f(0)＝1，得c＝1.即f(x)＝ax2＋bx＋1.
又f(x＋1)－f(x)＝2x，
则a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，
即2ax＋a＋b＝2x，
所以
??
??
?2a＝2，
a＋b＝0，解得???
??a＝1，
b＝－1.
因此，f(x)＝x2－x＋1.
(2)f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，要使此不等式在[－1,1]上
恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可．
∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上单调递减，
∴g(x)min＝g(1)＝－m－1，
由－m－1>0得，m<－1.
因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．
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1．已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如下表：
x112
f(x)122
则不等式f(|x|)≤2的解集是()
A．{x|0
C．{x|－2≤x≤2}D．{x|－4≤x≤4}
解析：选D由f????12＝22?α＝12，即f(x)＝x12，故f(|x|)≤2?|x|12≤2?|x|≤4，故其解集
为{x|－4≤x≤4}．
2．已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是()
解析：选D∵a>b>c，且a＋b＋c＝0，
∴a>0，c<0.∴图象开口向上与y轴交于负半轴．
3．已知f(x)＝x12，若0
A．f(a)
B．f????1a
C．f(a)
D．f????1a
解析：选C因为函数f(x)＝x12在(0，＋∞)上是增函数，又0
4．已知f(x)＝x2＋bx＋c且f(－1)＝f(3)，则()
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A．f(－3)
C．f????52
解析：选D由已知可得二次函数图象关于直线x＝1对称，则f(－3)＝f(5)，c＝f(0)＝
f(2)，二次函数在区间(1，＋∞)上单调递增，故有f(－3)＝f(5)>f????52>f(2)＝f(0)＝c.
5．设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，则实数m的取
值范围是()
A．(－∞，0]B．[2，＋∞)
C．(－∞，0]∪[2，＋∞)D．[0,2]
解析：选D二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，则a≠0，f′(x)＝2a(x
－1)≤0，x∈[0,1]，
所以a>0，即函数图象的开口向上，对称轴是直线x＝1.
所以f(0)＝f(2)，则当f(m)≤f(0)时，有0≤m≤2.
6．若方程x2－2mx＋4＝0的两根满足一根大于1，一根小于1，则m的取值范围是()
A.????－∞，－52B.????52，＋∞
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D.????－52，＋∞
解析：选B设f(x)＝x2－2mx＋4，则题设条件等价于f(1)<0，即1－2m＋4<0，解得
m>52.
7．对于函数y＝x2，y＝x12有下列说法：
①两个函数都是幂函数；
②两个函数在第一象限内都单调递增；
③它们的图象关于直线y＝x对称；
④两个函数都是偶函数；
⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1)；
⑥两个函数的图象都是抛物线型．
其中正确的有________．
解析：从两个函数的定义域、奇偶性、单调性等性质去进行比较．
答案：①②⑤⑥
8．(2012·北京西城二模)已知函数f(x)＝x2＋bx＋1是R上的偶函数，则实数b＝________，
不等式f(x－1)
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解析：因为f(x)＝x2＋bx＋1是R上的偶函数，所以b＝0，则f(x)＝x2＋1，解不等式(x
－1)2＋1
答案：0{x|1
9．若x≥0，y≥0，且x＋2y＝1，那么2x＋3y2的最小值为________．
解析：由x≥0，y≥0，x＝1－2y≥0知0≤y≤12，
令t＝2x＋3y2＝3y2－4y＋2，
则t＝3????y－232＋23.
在????0，12上递减，当y＝12时，t取到最小值，tmin＝34.
答案：34
10．如果幂函数f(x)＝x－12p2＋p＋32(p∈Z)是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数．求p
的值，并写出相应的函数f(x)的解析式．
解：∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴－12p2＋p＋32>0，即p2－2p－3<0.
∴－1
又∵f(x)是偶函数且p∈Z，
∴p＝1，故f(x)＝x2.
11．已知二次函数f(x)的图象过点A(－1,0)、B(3,0)、C(1，－8)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在x∈[0,3]上的最值；
(3)求不等式f(x)≥0的解集．
解：(1)由题意可设f(x)＝a(x＋1)(x－3)，
将C(1，－8)代入得－8＝a(1＋1)(1－3)，得a＝2.
即f(x)＝2(x＋1)(x－3)＝2x2－4x－6.
(2)f(x)＝2(x－1)2－8，
当x∈[0,3]时，由二次函数图象知，
f(x)min＝f(1)＝－8，f(x)max＝f(3)＝0.
(3)f(x)≥0的解集为{x|x≤－1，或x≥3}．
12．已知函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)，若f(x)在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.
(1)求a，b的值；
(2)若b<1，g(x)＝f(x)－m·x在[2,4]上单调，求m的取值范围．
Gothedistance
解：(1)f(x)＝a(x－1)2＋2＋b－a.
当a>0时，f(x)在[2,3]上为增函数，
故
??
??
?f?3?＝5，
f?2?＝2，????
??9a－6a＋2＋b＝5，
4a－4a＋2＋b＝2，????
??a＝1，
b＝0.
当a<0时，f(x)在[2,3]上为减函数，
故
??
??
?f?3?＝2，
f?2?＝5，????
??9a－6a＋2＋b＝2，
4a－4a＋2＋b＝5，????
??a＝－1，
b＝3.
(2)∵b<1，∴a＝1，b＝0，即f(x)＝x2－2x＋2.
g(x)＝x2－2x＋2－mx＝x2－(2＋m)x＋2，
∵g(x)在[2,4]上单调，
∴2＋m2≤2或m＋22≥4.∴m≤2或m≥6.
1．已知y＝f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)＝(x－1)2，若当x∈????－2，－12时，n≤f(x)≤m
恒成立，则m－n的最小值为()
A.13B.12
C.34D．1
解析：选D当x<0时，－x>0，f(x)＝f(－x)＝(x＋1)2，
∵x∈????－2，－12，
∴f(x)min＝f(－1)＝0，f(x)max＝f(－2)＝1，
∴m≥1，n≤0，m－n≥1.
2．(2012·青岛质检)设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y＝f(x)
－g(x)在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，
b]称为“关联区间”．若f(x)＝x2－3x＋4与g(x)＝2x＋m在[0,3]上是“关联函数”，则m的
取值范围为________．
解析：由题意知，y＝f(x)－g(x)＝x2－5x＋4－m在[0,3]上有两个不同
的零点．在同一坐标系下作出函数y＝m与y＝x2－5x＋4(x∈[0,3])的图象
如图所示，结合图象可知，当x∈[2,3]时，y＝x2－5x＋4∈????－94，－2，故
当m∈????－94，－2时，函数y＝m与y＝x2－5x＋4(x∈[0,3])的图象有两个
Gothedistance
交点．
答案：????－94，－2
3．(2013·滨州模拟)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0，b∈R，c∈R)．
(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，F(x)＝
??
??
?f?x?，x>0，
－f?x?，x<0，求F(2)＋F(－2)
的值；
(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b的取值范围．
解：(1)由已知得c＝1，a－b＋c＝0，－b2a＝－1，
解得a＝1，b＝2.则f(x)＝(x＋1)2.
则F(x)＝
??
??
??x＋1?2，x>0，
－?x＋1?2，x<0.
故F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.
(2)由题意得f(x)＝x2＋bx，原命题等价于－1≤x2＋bx≤1在(0,1]上恒成立，即b≤1x－x
且b≥－1x－x在(0,1]上恒成立．
又当x∈(0,1]时，1x－x的最小值为0，－1x－x的最大值为－2，
故－2≤b≤0.
1．比较下列各组中数值的大小．
(1)30.8,30.7；(2)0.213,0.233；
(3)4.125，3.8－25，(－1.4)35；(4)0.20.5,0.40.3.
解：(1)函数y＝3x是增函数，故30.8>30.7.
(2)y＝x3是增函数，故0.213<0.233.
(3)4.125>1,0<3.8－25<1，而(－1.4)35<0，故4.125>3.8－25>(－1.4)35.
(4)先比较0.20.5与0.20.3，再比较0.20.3与0.40.3，y＝0.2x是减函数，故0.20.5<0.20.3；y＝
x0.3在(0，＋∞)上是增函数，故0.20.3<0.40.3.则0.20.5<0.40.3.
2．设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是()
Gothedistance
解析：选D当－b2a<0时，ab>0，从而c>0，可排除A，C；
当－b2a>0时，ab<0，从而c<0，可排除B，选D.
3．已知函数f(x)＝ax2－2x＋1.
(1)试讨论函数f(x)的单调性；
(2)若13≤a≤1，且f(x)在[1,3]上的最大值为M(a)，最小值为N(a)，令g(a)＝M(a)－N(a)，
求g(a)的表达式；
(3)在(2)的条件下，求证：g(a)≥12.
解：(1)当a＝0时，函数f(x)＝－2x＋1在(－∞，＋∞)上为减函数；
当a>0时，抛物线f(x)＝ax2－2x＋1开口向上，对称轴为x＝1a，
故函数f(x)在????－∞，1a上为减函数，在????1a，＋∞上为增函数；
当a<0时，抛物线f(x)＝ax2－2x＋1开口向下，对称轴为x＝1a，
故函数f(x)在????－∞，1a上为增函数，在????1a，＋∞上为减函数．
(2)∵f(x)＝a????x－1a2＋1－1a，
由13≤a≤1得1≤1a≤3，∴N(a)＝f????1a＝1－1a.
当1≤1a<2，即12
故g(a)＝9a＋1a－6；
当2≤1a≤3，即13≤a≤12时，M(a)＝f(1)＝a－1，
故g(a)＝a＋1a－2.
Gothedistance
∴g(a)＝
?
??
a＋1a－2，a∈????13，12，
9a＋1a－6，a∈????12，1.
(3)证明：当a∈????13，12时，g′(a)＝1－1a2<0，
∴函数g(a)在????13，12上为减函数；
当a∈????12，1时，g′(a)＝9－1a2>0，
∴函数g(a)在????12，1上为增函数，
∴当a＝12时，g(a)取最小值，g(a)min＝g????12＝12.
故g(a)≥12.
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