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第三节函数的单调性与最值
[知识能否忆起]
一、函数的单调性
1．单调函数的定义
增函数减函数
定义
设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，
x2
当x1
数f(x)在区间D上是增函数
当x1f(x2)，那么就说函
数f(x)在区间D上是减函数
图象
描述
自左向右看图象逐渐上升自左向右看图象逐渐下降
2．单调区间的定义
若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格
的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
二、函数的最值
前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
①对于任意x∈I，都有f(x)≤M；
②存在x0∈I，使得f(x0)＝M
①对于任意x∈I，都有f(x)≥M；
②存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论M为最大值M为最小值
[小题能否全取]
1．(2012·陕西高考)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为()
A．y＝x＋1B．y＝－x3
C．y＝1xD．y＝x|x|
解析：选D由函数的奇偶性排除A，由函数的单调性排除B、C，由y＝x|x|的图象可
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知此函数为增函数，又该函数为奇函数，故选D.
2．函数y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则()
A．k>12B．k<12
C．k>－12D．k<－12
解析：选D函数y＝(2k＋1)x＋b是减函数，
则2k＋1<0，即k<－12.
3．(教材习题改编)函数f(x)＝11－x?1－x?的最大值是()
A.45B.54
C.34D.43
解析：选D∵1－x(1－x)＝x2－x＋1＝????x－122＋34≥34，∴0<11－x?1－x?≤43.
4．(教材习题改编)f(x)＝x2－2x(x∈[－2,4])的单调增区间为________；f(x)max＝________.
解析：函数f(x)的对称轴x＝1，单调增区间为[1,4]，f(x)max＝f(－2)＝f(4)＝8.
答案：[1,4]8
5．已知函数f(x)为R上的减函数，若m
x的取值范围是______．
解析：由题意知f(m)>f(n)；
????
1
x>1，即|x|<1，且x≠0.
故－1
答案：>(－1,0)∪(0,1)
1.函数的单调性是局部性质
从定义上看，函数的单调性是指函数在定义域的某个子区间上的性质，是局部的特
征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调．
2．函数的单调区间的求法
函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数
的定义域．对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函
数、指数函数等；如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简
单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间．
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[注意]单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分
别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．
函数单调性的判断
典题导入
[例1]证明函数f(x)＝2x－1x在(－∞，0)上是增函数．
[自主解答]设x1，x2是区间(－∞，0)上的任意两个自变量的值，且x1
则f(x1)＝2x1－1x
1
，f(x2)＝2x2－1x
2
，
f(x1)－f(x2)＝????2x1－1x
1
－????2x2－1x
2
＝2(x1－x2)＋????1x
2
－1x
1
＝(x1－x2)????2＋1x
1x2
由于x1
1x2
>0，
因此f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)
故f(x)在(－∞，0)上是增函数．
由题悟法
对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法：
(1)结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)证明；
(2)可导函数则可以利用导数证明．对于抽象函数单调性的证明，一般采用定义法进行．
以题试法
1．判断函数g(x)＝－2xx－1在(1，＋∞)上的单调性．
解：任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1
则g(x1)－g(x2)＝－2x1x
1－1
－－2x2x
2－1
＝2?x1－x2??x
1－1??x2－1?
，
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由于1
所以x1－x2<0，(x1－1)(x2－1)>0，
因此g(x1)－g(x2)<0，即g(x1)
故g(x)在(1，＋∞)上是增函数．
求函数的单调区间
典题导入
[例2](2012·长沙模拟)设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数k，定
义函数fk(x)＝
??
??
?f?x?，f?x?≤k，
k，f?x?＞k，取函数f(x)＝2
－|x|.当k＝1
2时，函数fk(x)的单调递增区间为
()
A．(－∞，0)B．(0，＋∞)
C．(－∞，－1)D．(1，＋∞)
[自主解答]由f(x)>12，得－1
所以f12(x)＝
??
??
?2－x，x≥1，1
2，－1＜x＜1，
2x，x≤－1.
故f12(x)的单调递增区间为(－∞，－1)．
[答案]C
若本例中f(x)＝2－|x|变为f(x)＝log2|x|，其他条件不变，则fk(x)的单调增区间为________．
解析：函数f(x)＝log2|x|，k＝12时，函数fk(x)的图象如图所示，由
图示可得函数fk(x)的单调递增区间为(0，2]．
答案：(0，2]
由题悟法
求函数的单调区间的常用方法
(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．
(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义．
(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性
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写出它的单调区间．
(4)导数法：利用导数的正负确定函数的单调区间．
以题试法
2．函数f(x)＝|x－2|x的单调减区间是()
A．[1,2]B．[－1,0]
C．[0,2]D．[2，＋∞)
解析：选A由于f(x)＝|x－2|x＝
??
??
?x2－2x，x≥2，
－x2＋2x，x<2.
结合图象可知函数的单调减区间是[1,2]．
单调性的应用
典题导入
[例3](1)若f(x)为R上的增函数，则满足f(2－m)
________．
(2)(2012·安徽高考)若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a＝________.
[自主解答](1)∵f(x)在R上为增函数，∴2－m
∴m2＋m－2>0.∴m>1或m<－2.
(2)由f(x)＝
??
?－2x－a，x<－a2，
2x＋a，x≥－a2，
可得函数f(x)的单调递增区间为????－a2，＋∞，故3＝
－a2，解得a＝－6.
[答案](1)(－∞，－2)∪(1，＋∞)(2)－6
由题悟法
单调性的应用主要涉及利用单调性求最值，进行大小比较，解抽象函数不等式，解题时
要注意：一是函数定义域的限制；二是函数单调性的判定；三是等价转化思想与数形结合思
想的运用．
以题试法
3．(1)(2013·孝感调研)函数f(x)＝1x－1在[2,3]上的最小值为________，最大值为________．
(2)已知函数f(x)＝1a－1x(a>0，x>0)，若f(x)在????12，2上的值域为????12，2，则a＝__________.
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解析：(1)∵f′(x)＝－1?x－1?2<0，∴f(x)在[2,3]上为减函数，∴f(x)min＝f(3)＝13－1＝12，
f(x)max＝12－1＝1.
(2)由反比例函数的性质知函数f(x)＝1a－1x(a>0，x>0)在????12，2上单调递增，
所以
??
??
?f????12＝1
2，
f?2?＝2，
即
??
?1a－2＝12，
1
a－
1
2＝2，
解得a＝25.
答案：(1)121(2)25
1．(2012·广东高考)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是()
A．y＝ln(x＋2)B．y＝－x＋1
C．y＝????12xD．y＝x＋1x
解析：选A选项A的函数y＝ln(x＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一
定是增函数．
2．若函数f(x)＝4x2－mx＋5在[－2，＋∞)上递增，在(－∞，－2]上递减，则f(1)＝()
A．－7B．1
C．17D．25
解析：选D依题意，知函数图象的对称轴为x＝－－m8＝m8＝－2，即m＝－16，从而
f(x)＝4x2＋16x＋5，f(1)＝4＋16＋5＝25.
3．(2013·佛山月考)若函数y＝ax与y＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx
在(0，＋∞)上是()
A．增函数B．减函数
C．先增后减D．先减后增
解析：选B∵y＝ax与y＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，∴a<0，b<0，∴y＝ax2＋bx
的对称轴方程x＝－b2a<0，∴y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上为减函数．
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4．“函数f(x)在[a，b]上为单调函数”是“函数f(x)在[a，b]上有最大值和最小值”的
()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：选A若函数f(x)在[a，b]上为单调递增(减)函数，则在[a，b]上一定存在最小(大)
值f(a)，最大(小)值f(b)．所以充分性满足；反之，不一定成立，如二次函数f(x)＝x2－2x＋3
在[0,2]存在最大值和最小值，但该函数在[0,2]不具有单调性，所以必要性不满足，即“函数
f(x)在[a，b]上单调”是“函数f(x)在[a，b]上有最大值和最小值”的充分不必要条件．
5．(2012·青岛模拟)已知奇函数f(x)对任意的正实数x1，x2(x1≠x2)，恒有(x1－x2)(f(x1)－
f(x2))>0，则一定正确的是()
A．f(4)>f(－6)B．f(－4)
C．f(－4)>f(－6)D．f(4)
解析：选C由(x1－x2)(f(x1)－f(x2))>0知f(x)在(0，＋∞)上递增，所以f(4)
4)>f(－6)．
6．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x<0时，f(x)>0，则函数f(x)在[a，
b]上有()
A．最小值f(a)B．最大值f(b)
C．最小值f(b)D．最大值f????a＋b2
解析：选C∵f(x)是定义在R上的函数，且
f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
∴f(0)＝0，令y＝－x，则有f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0.
∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)是R上的奇函数．设x1
＋f(－x2)
＝f(x1－x2)>0.
∴f(x)在R上是减函数．∴f(x)在[a，b]有最小值f(b)．
7．函数y＝－(x－3)|x|的递增区间是________．
解析：y＝－(x－3)|x|
＝
??
??
?－x2＋3x，x>0，
x2－3x，x≤0.
作出该函数的图象，观察图象知递增区间为????0，32.
答案：????0，32
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8．(2012·台州模拟)若函数y＝|2x－1|，在(－∞，m]上单调递减，则m的取值范围是
________．
解析：画出图象易知y＝|2x－1|的递减区间是(－∞，0]，
依题意应有m≤0.
答案：(－∞，0]
9．若f(x)＝ax＋1x＋2在区间(－2，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．
解析：设x1>x2>－2，则f(x1)>f(x2)，
而f(x1)－f(x2)＝ax1＋1x
1＋2
－ax2＋1x
2＋2
＝2ax1＋x2－2ax2－x1?x
1＋2??x2＋2?
＝?x1－x2??2a－1??x
1＋2??x2＋2?
>0，则2a－1>0.
得a>12.
答案：????12，＋∞
10．求下列函数的单调区间：
(1)y＝－x2＋2|x|＋1；
(2)y＝a1－2x－x2(a>0且a≠1)．
解：(1)由于y＝
??
??
?－x2＋2x＋1，x≥0，
－x2－2x＋1，x<0，
即y＝
??
??
?－?x－1?2＋2，x≥0，
－?x＋1?2＋2，x<0.
画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调
递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．
(2)令g(x)＝1－2x－x2＝－(x＋1)2＋2，
所以g(x)在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递减．
当a>1时，函数y＝a1－2x－x2的增区间是(－∞，－1)，减区间是(－1，＋∞)；
当0
11．已知f(x)＝xx－a(x≠a)．
(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增；
(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．
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解：(1)证明：设x1
则f(x1)－f(x2)＝x1x
1＋2
－x2x
2＋2
＝2?x1－x2??x
1＋2??x2＋2?
.
∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，
∴f(x1)
∴f(x)在(－∞，－2)内单调递增．
(2)设1
f(x1)－f(x2)＝x1x
1－a
－x2x
2－a
＝a?x2－x1??x
1－a??x2－a?
.
∵a>0，x2－x1>0，
∴要使f(x1)－f(x2)>0，
只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，
∴a≤1.
综上所述，a的取值范围为(0,1]．
12．(2011·上海高考)已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足ab≠0.
(1)若ab>0，判断函数f(x)的单调性；
(2)若ab<0，求f(x＋1)>f(x)时x的取值范围．
解：(1)当a>0，b>0时，任意x1，x2∈R，x1
∵2x1<2x2，a>0?a(2x1－2x2)<0，
3x1<3x2，b>0?b(3x1－3x2)<0，
∴f(x1)－f(x2)<0，函数f(x)在R上是增函数．
同理，当a<0，b<0时，函数f(x)在R上是减函数．
(2)f(x＋1)－f(x)＝a·2x＋2b·3x>0，
当a<0，b>0时，????32x>－a2b，
则x>log1.5????－a2b；
同理，当a>0，b<0时，????32x<－a2b，
则x
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1．设函数f(x)定义在实数集上，f(2－x)＝f(x)，且当x≥1时，f(x)＝lnx，则有()
A．f????13
C．f????12
解析：选C由f(2－x)＝f(x)可知，f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x≥1时，f(x)＝ln
x，可知当x≥1时f(x)为增函数，所以当x<1时f(x)为减函数，因为????12－1
所以f????12
2．(2012·黄冈模拟)已知函数y＝1－x＋x＋3的最大值为M，最小值为m，则mM的值
为()
A.14B.12
C.22D.32
解析：选C显然函数的定义域是[－3,1]且y≥0，故y2＝4＋2?1－x??x＋3?＝4＋
2－x2－2x＋3＝4＋2－?x＋1?2＋4，根据根式内的二次函数，可得4≤y2≤8，故2≤y≤22，
即m＝2，M＝22，所以mM＝22.
3．函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且对一切x>0，y>0都有f????xy＝f(x)－f(y)，当x>1时，
有f(x)>0.
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的单调性并加以证明；
(3)若f(4)＝2，求f(x)在[1,16]上的值域．
解：(1)∵当x>0，y>0时，
f????xy＝f(x)－f(y)，
∴令x＝y>0，则f(1)＝f(x)－f(x)＝0.
(2)设x1，x2∈(0，＋∞)，且x1
则f(x2)－f(x1)＝f????x2x
1
，
∵x2>x1>0.∴x2x
1
>1，∴f????x2x
1
>0.
∴f(x2)>f(x1)，即f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(3)由(2)知f(x)在[1,16]上是增函数．
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∴f(x)min＝f(1)＝0，f(x)max＝f(16)，
∵f(4)＝2，由f????xy＝f(x)－f(y)，
知f????164＝f(16)－f(4)，
∴f(16)＝2f(4)＝4，
∴f(x)在[1,16]上的值域为[0,4]．
1．求函数f(x)＝x2＋x－6的单调区间．
解：设u＝x2＋x－6，y＝u.
由x2＋x－6≥0，得x≤－3或x≥2.
结合二次函数的图象可知，函数u＝x2＋x－6在(－∞，－3]上是递减的，在[2，＋∞)
上是递增的．
又∵函数y＝u是递增的，∴函数f(x)＝x2＋x－6在(－∞，－3]上是递减的，在[2，
＋∞)上是递增的．
2．定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m，n，总有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且当x>0
时，0
(1)试求f(0)的值；
(2)判断f(x)的单调性并证明你的结论；
(3)设A＝{(x，y)|f(x2)·f(y2)>f(1)}，B＝{(x，y)|f(ax－y＋2)＝1，a∈R}，若A∩B＝?，试
确定a的取值范围．
解：(1)在f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，令m＝1，n＝0，
得f(1)＝f(1)·f(0)．
因为f(1)≠0，所以f(0)＝1.
(2)任取x1，x2∈R，且x1
在已知条件f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，若取m＋n＝x2，m＝x1，则已知条件可化为：f(x2)＝
f(x1)·f(x2－x1)．
由于x2－x1>0，所以0
为比较f(x2)，f(x1)的大小，只需考虑f(x1)的正负即可．
在f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，令m＝x，n＝－x，
则得f(x)·f(－x)＝1.
因为当x>0时，0
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所以当x<0时，f(x)＝1f?－x?>1>0.
又f(0)＝1，所以综上可知，对于任意的x1∈R，
均有f(x1)>0.
所以f(x2)－f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1]<0.
所以函数f(x)在R上单调递减．
(3)f(x2)·f(y2)>f(1)，即x2＋y2<1.
f(ax－y＋2)＝1＝f(0)，即ax－y＋2＝0.
由A∩B＝?，得直线ax－y＋2＝0与圆面x2＋y2<1无公共点，所以2a2＋1≥1，解得
－1≤a≤1.
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