Gothedistance
第一节函数及其表示
[知识能否忆起]
1．函数的概念
(1)函数的定义：
一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A
中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应；那么就称f：A→B为从集
合A到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.
(2)函数的定义域、值域：
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值
相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B
的子集．
(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是
判断两函数相等的依据．
2．函数的表示法
表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．
3．映射的概念
设A，B是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任
意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么称对应f：A→B为集合A
到集合B的一个映射．
4．分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函
数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．
[小题能否全取]
1．(教材习题改编)设g(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则f(x)等于()
A．－2x＋1B．2x－1
C．2x－3D．2x＋7
解析：选Df(x)＝g(x＋2)＝2(x＋2)＋3＝2x＋7.
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2．(2012·江西高考)设函数f(x)＝
??
??
?x2＋1，x≤1，
2
x，x>1，
则f(f(3))＝()
A.15B．3
C.23D.139
解析：选Df(3)＝23，f(f(3))＝????232＋1＝139.
3．已知集合A＝[0,8]，集合B＝[0,4]，则下列对应关系中，不能看作从A到B的映射
的是()
A．f：x→y＝18xB．f：x→y＝14x
C．f：x→y＝12xD．f：x→y＝x
解析：选D按照对应关系f：x→y＝x，对A中某些元素(如x＝8)，B中不存在元素与
之对应．
4．已知f????1x＝x2＋5x，则f(x)＝____________.
解析：令t＝1x，则x＝1t.所以f(t)＝1t2＋5t.
故f(x)＝5x＋1x2(x≠0)．
答案：5x＋1x2(x≠0)
5．(教材习题改编)若f(x)＝x2＋bx＋c，且f(1)＝0，f(3)＝0，则f(－1)＝________.
解析：由已知得
??
??
?1＋b＋c＝0，
9＋3b＋c＝0，得???
??b＝－4，
c＝3.
即f(x)＝x2－4x＋3.
所以f(－1)＝(－1)2－4×(－1)＋3＝8.
答案：8
1.函数与映射的区别与联系
(1)函数是特殊的映射，其特殊性在于集合A与集合B只能是非空数集，即函数是
非空数集A到非空数集B的映射．
(2)映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A、B若不是数集，则这个映射便不
是函数．
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2．定义域与值域相同的函数，不一定是相同函数
如函数y＝x与y＝x＋1，其定义域与值域完全相同，但不是相同函数；再如函数y
＝sinx与y＝cosx，其定义域与值域完全相同，但不是相同函数．因此判断两个函数是否相
同，关键是看定义域和对应关系是否相同．
3．求分段函数应注意的问题
在求分段函数的值f(x0)时，一定要首先判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代
入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集．
函数的基本概念
典题导入
[例1]有以下判断：
(1)f(x)＝|x|x与g(x)＝
??
??
?1，x≥0，
－1，x<0表示同一函数；
(2)函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个；
(3)f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一函数；
(4)若f(x)＝|x－1|－|x|，则f????f????12＝0.
其中正确判断的序号是________．
[自主解答]对于(1)，由于函数f(x)＝|x|x的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，而函数g(x)＝
??
??
?1，x≥0，
－1，x<0的定义域是R，所以二者不是同一函数；对于(2)，若x＝1不是y＝f(x)定义域
的值，则直线x＝1与y＝f(x)的图象没有交点，如果x＝1是y＝f(x)定义域内的值，由函数定
义可知，直线x＝1与y＝f(x)的图象只有一个交点，即y＝f(x)的图象与直线x＝1最多有一个
交点；对于(3)，f(x)与g(t)的定义域、值域和对应关系均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函数；
对于(4)，由于f????12＝????12－1－????12＝0，所以f????f????12＝f(0)＝1.
综上可知，正确的判断是(2)(3)．
[答案](2)(3)
由题悟法
两个函数是否是同一个函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函
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数的定义域和对应关系完全
相同时，才表示同一函数．另外，函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表
示，如：f(x)＝2x－1，g(t)＝2t－1，h(m)＝2m－1均表示同一函数．
以题试法
1．试判断以下各组函数是否表示同一函数．
(1)y＝1，y＝x0；
(2)y＝x－2·x＋2，y＝x2－4；
(3)y＝x，y＝3t3；
(4)y＝|x|，y＝(x)2.
解：(1)y＝1的定义域为R，y＝x0的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，故它们不是同一函数．
(2)y＝x－2·x＋2的定义域为{x|x≥2}．y＝x2－4的定义域为{x|x≥2，或x≤－2}，
故它们不是同一函数．
(3)y＝x，y＝3t3＝t，它们的定义域和对应关系都相同，
故它们是同一函数．
(4)y＝|x|的定义域为R，y＝(x)2的定义域为{x|x≥0}，故它们不是同一函数．
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求函数的解析式
典题导入
[例2](1)已知f????x＋1x＝x2＋1x2，求f(x)的解析式；
(2)已知f????2x＋1＝lgx，求f(x)的解析式；
(3)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)．
[自主解答](1)由于f????x＋1x＝x2＋1x2＝????x＋1x2－2，
所以f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－2，
故f(x)的解析式是f(x)＝x2－2(x≥2或x≤－2)．
(2)令2x＋1＝t得x＝2t－1，代入得f(t)＝lg2t－1，
又x>0，所以t>1，
故f(x)的解析式是f(x)＝lg2x－1(x>1)．
(3)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx，
又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，
得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，
即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，
所以
??
??
?2a＋b＝b＋1，
a＋b＝1，
解得a＝b＝12.
所以f(x)＝12x2＋12x(x∈R)．
由题悟法
函数解析式的求法
(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替
代g(x)，便得f(x)的解析式(如例(1))；
(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法(如例(3))；
(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围(如
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例(2))；
(4)方程思想：已知关于f(x)与f????1x或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一
个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)(如A级T6)．
以题试法
2．(1)已知f(x＋1)＝x＋2x，求f(x)的解析式；
(2)设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，求f(x)的解
析式．
解：(1)法一：设t＝x＋1，则x＝(t－1)2(t≥1)；
代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1.
故f(x)＝x2－1(x≥1)．
法二：∵x＋2x＝(x)2＋2x＋1－1＝(x＋1)2－1，
∴f(x＋1)＝(x＋1)2－1(x＋1≥1)，
即f(x)＝x2－1(x≥1)．
(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f′(x)＝2ax＋b＝2x＋2，
∴a＝1，b＝2，f(x)＝x2＋2x＋c.
又∵方程f(x)＝0有两个相等实根，
∴Δ＝4－4c＝0，c＝1，故f(x)＝x2＋2x＋1.
分段函数
典题导入
[例3](2012·广州调研考试)设函数f(x)＝
??
??
?2－x，x∈?－∞，1?，
x2，x∈[1，＋∞?，若f(x)>4，则x的取值
范围是______．
[自主解答]当x<1时，由f(x)>4，得2－x>4，即x<－2；
当x≥1时，由f(x)>4得x2>4，所以x>2或x<－2，
由于x≥1，所以x>2.
综上可得x<－2或x>2.
[答案](－∞，－2)∪(2，＋∞)
若本例条件不变，试求f(f(－2))的值．
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解：∵f(－2)＝22＝4，
∴f(f(－2))＝f(4)＝16.
由题悟法
求分段函数的函数值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段
交替使用求值．若给出函数值
或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但
要注意检验所求自变量值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．
以题试法
3.(2012·衡水模拟)已知f(x)的图象如图，则f(x)的解析式为________．
解析：由图象知每段为线段．
设f(x)＝ax＋b，把(0,0)，????1，32和????1，32，(2,0)分别代入，
解得
??
??
?a＝32，
b＝0，??
??
?a＝－32，
b＝3.
答案：f(x)＝
??
?32x，0≤x≤1，
3－32x，1≤x≤2
1．下列四组函数中，表示同一函数的是()
A．y＝x－1与y＝?x－1?2
B．y＝x－1与y＝x－1x－1
C．y＝4lgx与y＝2lgx2
D．y＝lgx－2与y＝lgx100
答案：D
2．下列函数中，与函数y＝1
3x
定义域相同的函数为()
A．y＝1sinxB．y＝lnxx
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C．y＝xexD．y＝sinxx
解析：选D函数y＝1
3x
的定义域为{x|x≠0}，选项A中由sinx≠0?x≠kπ，k∈Z，故
A不对；选项B中x>0，故B不对；选项C中x∈R，故C不对；选项D中由正弦函数及分
式型函数的定义域确定方法可知定义域为{x|x≠0}．
3．(2012·安徽高考)下列函数中，不满足f(2x)＝2f(x)的是()
A．f(x)＝|x|B．f(x)＝x－|x|
C．f(x)＝x＋1D．f(x)＝－x
解析：选C对于选项A，f(2x)＝|2x|＝2|x|＝2f(x)；对于选项B，f(x)＝x－|x|＝
??
??
?0，x≥0，
2x，x＜0，当x≥0时，f(2x)＝0＝2f(x)，当x＜0时，f(2x)＝4x＝2·2x＝2f(x)，恒有f(2x)
＝2f(x)；对于选项D，f(2x)＝－2x＝2(－x)＝2f(x)；对于选项C，f(2x)＝2x＋1＝2f(x)－1.
4．已知f(x)＝
??
??
?－cos?πx?，x>0，
f?x＋1?＋1，x≤0，则f?
???43＋f????－43的值等于()
A．－2B．1
C．2D．3
解析：选Df????43＝12，f????－43＝f????－13＋1＝f????23＋2＝52，f????43＋f????－43＝3.
5．现向一个半径为R的球形容器内匀速注入某种液体，下面图形中能表示在注入过程
中容器的液面高度h随时间t变化的函数关系的是()
解析：选C从球的形状可知，水的高度开始时增加的速度越来越慢，当超过半球时，
增加的速度又越来越快．
6．若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，则f(x)＝()
A．x－1B．x＋1
C．2x＋1D．3x＋3
解析：选B由题意知2f(x)－f(－x)＝3x＋1.①
将①中x换为－x，则有2f(－x)－f(x)＝－3x＋1.②
①×2＋②得3f(x)＝3x＋3，
即f(x)＝x＋1.
7．已知f(x)＝x2＋px＋q满足f(1)＝f(2)＝0，则f(－1)＝________.
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解析：由f(1)＝f(2)＝0，
得
??
??
?12＋p＋q＝0，
22＋2p＋q＝0，所以???
??p＝－3，
q＝2.
故f(x)＝x2－3x＋2.
所以f(－1)＝(－1)2＋3＋2＝6.
答案：6
8．已知函数f(x)＝
??
??
?x2＋2ax，x≥2，
2x＋1，x＜2，若f(f(1))>3a
2，则a的取值范围是________．
解析：由题知，f(1)＝2＋1＝3，f(f(1))＝f(3)＝32＋6a，若f(f(1))>3a2，则9＋6a>3a2，即
a2－2a－3<0，解得－1
答案：(－1,3)
9．设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M
到集合N的函数关系的是________．
解析：由函数的定义，对定义域内的每一个x对应着唯一一个y，据此排除①④，③中
值域为{y|0≤y≤3}不合题意．
答案：②
10．若函数f(x)＝xax＋b(a≠0)，f(2)＝1，又方程f(x)＝x有唯一解，求f(x)的解析式．
解：由f(2)＝1得22a＋b＝1，即2a＋b＝2；
由f(x)＝x得xax＋b＝x，变形得x????1ax＋b－1＝0，
解此方程得x＝0或x＝1－ba，
又因方程有唯一解，故1－ba＝0，
解得b＝1，代入2a＋b＝2得a＝12，
所以f(x)＝2xx＋2.
11.甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与
乙从家到公园的距离都是2km，甲10时出发前往乙家．如图所示，
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表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y(km)与时间x(min)的关系．试写出y＝f(x)的函数
解析式．
解：当x∈[0,30]时，设y＝k1x＋b1，
由已知得
??
??
?b1＝0，
30k1＋b1＝2，解得???
??k1＝115，
b1＝0.
即y＝115x.
当x∈(30,40)时，y＝2；
当x∈[40,60]时，设y＝k2x＋b2，
由已知得
??
??
?40k2＋b2＝2，
60k2＋b2＝4，解得???
??k2＝110，
b2＝－2.
即y＝110x－2.
综上，f(x)＝
??
??
?115x，x∈[0，30]，
2，x∈?30，40?，
1
10x－2，x∈[40，60].
12．如图1是某公共汽车线路收支差额y元与乘客量x的图象．
(1)试说明图1上点A、点B以及射线AB上的点的实际意义；
(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图2、3所示．你
能根据图象，说明这两种建议的意义吗？
(3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？
(4)图1、图2、图3中的票价分别是多少元？
解：(1)点A表示无人乘车时收支差额为－20元，点B表示有10人乘车时收支差额为0
元，线段AB上的点表示亏损，AB延长线上的点表示赢利．
(2)图2的建议是降低成本，票价不变，图3的建议是提高票价．
(3)斜率表示票价．
(4)图1、2中的票价是2元．图3中的票价是4元．
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1．(2011·北京高考)根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为
f(x)＝
?
?
?cx，x
c
A，x≥A
(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产
品用时15分钟，那么c和A的值分别是()
A．75,25B．75,16
C．60,25D．60,16
解析：选D因为组装第A件产品用时15分钟，
所以cA＝15，①
所以必有4
联立①②解得c＝60，A＝16.
2．(2012·江西红色六校联考)具有性质：f????1x＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变
换的函数，下列函数：
①y＝x－1x；②y＝x＋1x；③y＝
??
??
?x，0
－1x，x>1.
其中满足“倒负”变换的函数是()
A．①②B．①③
C．②③D．①
解析：选B对于①，f(x)＝x－1x，f????1x＝1x－x＝－f(x)，满足；对于②，f????1x＝1x＋x＝f(x)，
不满足；对于③，f????1x＝
??
??
?1x，0<1x<1，
0，1x＝1，
－x，1x>1，
即f????1x＝
??
??
?1x，x>1，
0，x＝1，
－x，0
故f????1x＝－f(x)，满
足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.
3．二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x)>2x＋5.
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解：(1)设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
∵f(0)＝1，∴c＝1.
把f(x)的表达式代入f(x＋1)－f(x)＝2x，有
a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x.
∴2ax＋a＋b＝2x.
∴a＝1，b＝－1.
∴f(x)＝x2－x＋1.
(2)由x2－x＋1>2x＋5，即x2－3x－4>0，
解得x>4或x<－1.
故原不等式解集为{x|x>4，或x<－1}．
1．已知函数f(x)＝
??
??
?3x＋2，x<1，
x2＋ax，x≥1，若f(f(0))＝4a，则实数a＝________.
解析：∵f(0)＝3×0＋2＝2，f(f(0))＝f(2)＝4＋2a＝4a，
∴a＝2.
答案：2
2．若函数的定义域为{x|－3≤x≤6，且x≠4}，值域为{y|－2≤y≤4，且y≠0}，试在下
图中画出满足条件的一个函数的图象．
解：本题答案不唯一，函数图象可画为如图所示．
3．已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2＋x.
(1)若f(2)＝3，求f(1)；又若f(0)＝a，求f(a)；
(2)设有且仅有一个实数x0，使得f(x0)＝x0，求函数f(x)的解析式．
解：(1)因为对任意x∈R有f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2＋x，所以f(f(2)－22＋2)＝f(2)－22＋2，
又f(2)＝3，从而f(1)＝1.
若f(0)＝a，则f(a－02＋0)＝a－02＋0，即f(a)＝a.
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(2)因为对任意x∈R，有f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2＋x，又有且仅有一个实数x0，使得f(x0)
＝x0，故对任意x∈R，有f(x)－x2＋x＝x0.在上式中令x＝x0，有f(x0)－x20＋x0＝x0.
又因为f(x0)＝x0，所以x0－x20＝0，故x0＝0或x0＝1.
若x0＝0，则f(x)＝x2－x，但方程x2－x＝x有两个不相同实根，与题设条件矛盾，故x0≠0.
若x0＝1，则有f(x)＝x2－x＋1，易证该函数满足题设条件．
综上，所求函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋1.
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