Gothedistance
空间点、直线、平面间的位置关系
[知识能否忆起]
一、平面的基本性质
名称图示文字表示符号表示
公理1
如果一条直线上的两
点在一个平面内，那么
这条直线在此平面内
A∈l，B∈l，且A∈α，
B∈α?l?α
公理2
过不在一条直线上的
三点，有且只有一个平
面
公理3
如果两个不重合的平
面有一个公共点，那么
它们有且只有一条过
该点的公共直线
P∈α，且P∈β?α∩β
＝l，且P∈l
二、空间直线的位置关系
1．位置关系的分类
??
?共面直线
??
??
?相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.
2．平行公理
平行于同一条直线的两条直线互相平行．
3．等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
4．异面直线所成的角(或夹角)
(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′
与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角．
(2)范围：????0，π2.
三、直线与平面的位置关系
Gothedistance
位置关系图示符号表示公共点个数
直线l在平面α内l?α无数个
直线l与平面α相交
l∩α＝A一个
直线l与平面α平行l∥α0个
四、平面与平面的位置关系
位置关系图示符号表示公共点个数
两个平面平行
α∥β0个
两个平面相交
α∩β＝l无数个(这些公共点均在交线l上)
[小题能否全取]
1．(教材习题改编)已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b()
A．异面B．相交
C．不可能平行D．不可能相交
解析：选C由已知直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直
线，若b∥c，则a∥b.与a，b是异面直线相矛盾．
2．(2012·东北三校联考)下列命题正确的个数为()
①经过三点确定一个平面；
②梯形可以确定一个平面；
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；
④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．
A．0B．1
C．2D．3
解析：选C①④错误，②③正确．
3．已知空间中有三条线段AB，BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的
位置关系是()
A．AB∥CD
B．AB与CD异面
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C．AB与CD相交
D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交
解析：选D若三条线段共面，如果AB，BC，CD构成等腰三角形，则直线AB与CD
相交，否则直线AB与CD平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直
线．
4．(教材习题改编)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，
F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为
________．
解析：连接B1D1，D1C，
则B1D1∥EF，
故∠D1B1C为所求，又B1D1＝B1C＝D1C，
∴∠D1B1C＝60°.
答案：60°
5．(教材习题改编)平行六面体ABCD－A1B1C1D1中既与AB共面又与CC1共面的棱的条
数为________．
解析：如图，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1
平行的棱有AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1，
故符合条件的棱共有5条．
答案：5
1.三个公理的作用
(1)公理1的作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上
的点在平面内．
(2)公理2的作用：确定平面的依据，它提供了把空间问题转化为平面问题的条件．
(3)公理3的作用：①判定两平面相交；②作两相交平面的交线；③证明多点共线．
2．异面直线的有关问题
(1)判定方法：①反证法；②利用结论即过平面外一点与平
面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线，如图．
(2)所成的角的求法：平移法．
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平面的基本性质及应用
典题导入
[例1](2012·湘潭模拟)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E
为AB的中点，F为A1A的中点，
求证：CE，D1F，DA三线共点．
[自主解答]
∵EF綊12CD1，
∴直线D1F和CE必相交．
设D1F∩CE＝P，
∵P∈D1F且D1F?平面AA1D1D，
∴P∈平面AA1D1D.
又P∈EC且CE?平面ABCD，
∴P∈平面ABCD，
即P是平面ABCD与平面AA1D1D的公共点．
而平面ABCD∩平面AA1D1D＝AD.
∴P∈AD.
∴CE、D1F、DA三线共点．
本例条件不变试证明E，C，D1，F四点共面．
证明：∵E，F分别是AB和AA1的中点，
∴EF綊12A1B.又A1D1綊B1C1綊BC.
∴四边形A1D1CB为平行四边形．
∴A1B∥CD1，从而EF∥CD1.
∴EF与CD1确定一个平面．
∴E，C1，F，D四点共面．
由题悟法
1．证明线共点问题常用的方法是：先证其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直
线上．
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2．证明点或线共面问题一般有以下两种途径：①首先由所给条件中的部分线(或点)确
定一个平面，然后再证其余线(或点)均在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别
确定平面，再证平面重合．
以题试法
1．(1)(2012·江西模拟)在空间中，下列命题正确的是()
A．对边相等的四边形一定是平面图形
B．四边相等的四边形一定是平面图形
C．有一组对边平行的四边形一定是平面图形
D．有一组对角相等的四边形一定是平面图形
(2)对于四面体ABCD，下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．
①相对棱AB与CD所在直线异面；
②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD三条高线的交点；
③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高所在的直线异面；
④分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点．
解析：(1)由“两平行直线确定一个平面”知C正确．
(2)由四面体的概念可知，AB与CD所在的直线为异面直线，故①
正确；
由顶点A作四面体的高，只有当四面体ABCD的对棱互相垂直时，
其垂足是△BCD的三条高线的交点，故②错误；当DA＝DB，CA＝CB
时，这两条高线共面，故③错误；设AB，BC，CD，DA的中点依次为E，F，M，N，易证
四边形EFMN为平行四边形，所以EM与FN相交于一点，易证另一组对棱中点的连线也过
它们的交点，故④正确．
答案：(1)C(2)①④
异面直线的判定
典题导入
[例2](2012·金华模拟)在图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，
则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)
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[自主解答]图①中，直线GH∥MN；
图②中，G，H，N三点共面，但M?面GHN，
因此直线GH与MN异面；
图③中，连接MG，GM∥HN，
因此GH与MN共面；
图④中，G，M，N共面，但H?面GMN，
因此GH与MN异面．
所以图②④中GH与MN异面．
[答案]②④
由题悟法
1．异面直线的判定常用的是反证法，先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行
或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面．此
法在异面直线的判定中经常用到．
2．客观题中，也可用下述结论：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该
点的直线是异面直线．
以题试法
2．已知m，n，l为不同的直线，α，β为不同的平面，有下面四个命题：
①m，n为异面直线，过空间任一点P，一定能作一条直线l与m，n都相交．
②m，n为异面直线，过空间任一点P，一定存在一个与直线m，n都平行的平面．
③α⊥β，α∩β＝l，m?α，n?β，m，n与l都斜交，则m与n一定不垂直；
④m，n是α内两相交直线，则α与β相交的充要条件是m，n至少有一条与β相交．
则四个结论中正确的个数为()
A．1B．2
C．3D．4
解析：选B①错误，因为过直线m存在一个与直线n平行的平面，当点P在这个平
面内且不在直线m上时，就不满足结论；②错误，因为过直线m存在一个与直线n平行的
平面，当点P在这个平面内时，就不满足结论；③正确，否则，若m⊥n，在直线m上取
一点作直线a⊥l，由α⊥β，得a⊥n.从而有n⊥α，则n⊥l；④正确．
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异面直线所成角
典题导入
[例3](2012·大纲全国卷)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的
中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为________．
[自主解答]连接DF，则AE∥DF，
∴∠D1FD即为异面直线AE与D1F所成的角．
设正方体棱长为a，
则D1D＝a，DF＝52a，D1F＝52a，
∴cos∠D1FD＝?
?
?
?5
2a
2＋
?
?
?
?5
2a
2－a2
2·52a·52a
＝35.
[答案]35
由题悟法
求异面直线所成的角一般用平移法，步骤如下：
(1)一作：即找或作平行线，作出异面直线所成的角；
(2)二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；
(3)三求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，
如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．
以题试法
3．(2012·唐山模拟)四棱锥P－ABCD的所有侧棱长都为5，底面ABCD是边长为2的
正方形，则CD与PA所成角的余弦值为()
A.255B.55
C.45D.35
解析：选B如图所示，因为四边形ABCD为正方形，故CD
∥AB，则CD与PA所成的角即为AB与PA所成的角∠PAB，在△
PAB内，PB＝PA＝5，AB＝2，利用余弦定理可知：
cos∠PAB＝PA
2＋AB2－PB2
2×PA×AB＝
5＋4－5
2×2×5＝
5
5.
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1．(2013·杭州模拟)若a，b，c，d是空间四条直线．如果“a⊥c，b⊥c，a⊥d，b⊥d”，
则()
A．a∥b且c∥d
B．a，b，c，d中任意两条可能都不平行
C．a∥b
D．a与b，c与d中至少有一对直线互相平行
解析：选D(1)若a，b，c，d在同一平面内，则a∥b，c∥d.
(2)若a，b，c，d不在同一平面内，
①若a，b相交，则a，b确定平面α，此时c⊥α，d⊥α，故c∥d.
②若a，b异面，则可平移a与b相交确定平面β，此时，c⊥β，d⊥β，c∥d.
③若a，b平行，则c，d关系不定．
同理，若c，d相交，异面也可推出a∥b，
若c，d平行，则a，b关系不确定．
综上知，a，b，c，d中至少有一对直线互相平行．
2．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()
A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3
B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面
D．l1，l2，l3共点?l1，l2，l3共面
解析：选B①在选项A中：l1⊥l2，l2⊥l3，l1与l3可以平行也可相交或异面，借助正
方体的棱很容易理解．
②在B中：l1⊥l2，l2∥l3，由异面直线所成角的定义可以推出l1⊥l3.③l1∥l2∥l3，三直
线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱不共面．④共点的三条直线不一定共面，如三棱锥中共
顶点的三条棱不共面．
3.设四棱锥P－ABCD的底面不是平行四边形，用平面α去截此四
棱锥(如图)，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α()
A．不存在B．只有1个
C．恰有4个D．有无数多个
解析：选D设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为m，n，直线m，
n确定了一个平面β，作与β平行的平面α，与四棱锥的各个侧面相截，则截得的四边形必
为平行四边形，而这样的平面α有无数多个．
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4．(2012·广州模拟)在正四棱锥V－ABCD中，底面正方形ABCD的边长为1，侧棱长
为2，则异面直线VA与BD所成角的大小为()
A.π6B.π4
C.π3D.π2
解析：选D如图所示，设AC∩BD＝O，连接VO，由于四棱锥
V－ABCD是正四棱锥，所以VO⊥平面ABCD，故BD⊥VO.又四边形
ABCD是正方形，所以BD⊥AC，所以BD⊥平面VAC.所以BD⊥VA，
即异面直线VA与BD所成角的大小为π2.
5.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，
EF，GH在原正方体中互为异面的对数为()
A．1B．2
C．3D．4
解析：选CAB，CD，EF和GH在原正方体中如图所示，显然
AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，
CD与GH相交，CD与EF平行．故互为异面的直线有且只有三对．
6．(2012·重庆高考)设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，2和a，
且长为a的棱与长为2的棱异面，则a的取值范围是()
A．(0，2)B．(0，3)
C．(1，2)D．(1，3)
解析：选A如图所示的四面体ABCD中，设AB＝a，则由题意可得
CD＝2，其他边的长都为1，故三角形ACD及三角形BCD都是以CD
为斜边的等腰直角三角形，显然a>0.取CD中点E，连接AE，BE，则AE
⊥CD，BE⊥CD且AE＝BE＝1－????222＝22，显然A，B，E三点能
构成三角形，应满足任意两边之和大于第三边，可得2×22>a，解得0
7．已知E，F，G，H是空间四点，命题甲：E，F，G，H四点不共面，命题乙：直线
EF和GH不相交，则甲是乙成立的________条件．
解析：E，F，G，H四点不共面时，EF，GH一定不相交，否则，由于两条相交直线共
面，则E，F，G，H四点共面，与已知矛盾，故甲可以推出乙；反之，EF，GH不相交，
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含有EF，GH平行和异面两种情况，当EF，GH平行时，E，F，G，H四点共面，故乙不
能推出甲．即甲是乙的充分不必要条件．
答案：充分不必要
8.如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E，F
分别为PA，PD的中点．在此几何体中，给出下面四个结论：
①直线BE与CF异面；②直线BE与AF异面；③直线EF∥
平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD.
其中正确的有________个．
解析：如图，易得EF∥AD，AD∥BC，
∴EF∥BC，即B，E，F，C四点共面，则①错误，②正确，③
正确，④不一定正确．
答案：2
9.如图所示，在三棱锥C－ABD中，E，F分别是AC和BD的中点，若
CD＝2AB＝4，EF⊥AB，则EF与CD所成的角是________．
解析：取CB的中点G，连接EG，FG，
∴EG∥AB，FG∥CD.
∴EF与CD所成角即为∠EFG.
又∵EF⊥AB，∴EF⊥EG，
在Rt△EFG中，EG＝12AB＝1，
FG＝12CD＝2，
∴sin∠EFG＝12.∴∠EFG＝π6.
∴EF与CD所成的角为π6.
答案：π6
10．已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、
CD的中点．
(1)求证：BC与AD是异面直线；
(2)求证：EG与FH相交．
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证明：(1)假设BC与AD共面，不妨设它们所共平面为α，则B、C、
A、D∈α.
所以四边形ABCD为平面图形，这与四边形ABCD为空间四边形相
矛盾．所以BC与AD是异面直线．
(2)如图，连接AC，BD，则EF∥AC，HG∥AC，因此EF∥HG；
同理EH∥FG，则EFGH为平行四边形．
又EG、FH是?EFGH的对角线，
所以EG与HF相交．
11．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C与截面DBC1交
于O点，AC，BD交于M点，求证：C1，O，M三点共线．
证明：∵C1∈平面A1ACC1，
且C1∈平面DBC1.
∴C1是平面A1ACC1与平面DBC1的公共点．
又∵M∈AC，∴M∈平面A1ACC1.
∵M∈BD，∴M∈平面DBC1，
∴M也是平面A1ACC1与平面DBC1的公共点，
∴C1M是平面A1ACC1与平面DBC1的交线．
∵O为A1C与截面DBC1的交点，
∴O∈平面A1ACC1，O∈平面DBC1，
即O也是两平面的公共点，
∴O∈直线C1M，即C1，O，M三点共线．
12.(2012·许昌调研)如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与
ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊12AD，BE綊12FA，G，H
分别为FA，FD的中点．
(1)求证：四边形BCHG是平行四边形；
(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？
解：(1)证明：由题设知，FG＝GA，FH＝HD，
所以GH綊12AD.又BC綊12AD，故GH綊BC.
所以四边形BCHG是平行四边形．
(2)C，D，F，E四点共面．理由如下：
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由BE綊12AF，G是FA的中点知，BE綊GF，
所以EF綊BG.
由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC，FH共面．又点D在直线FH上，所以C，D，
F，E四点共面．
1．将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到四面体ABCD(如图2)，
则在四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是()
A．相交且垂直B．相交但不垂直
C．异面且垂直D．异面但不垂直
解析：选C在图1中的等腰直角三角形ABC中，斜边上的中线AD就是斜边上的高，
则AD⊥BC，翻折后如图2，AD与BC变成异面直线，而原线段BC变成两条线段BD，CD，
这两条线段与AD垂直，即AD⊥BD，AD⊥CD，故AD⊥平面BCD，所以AD⊥BC.
2．(2012·哈尔滨模拟)若两条异面直线所成的角为60°，则称这对异面直线为“黄金异
面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有________对．
解析：正方体如图，若要出现所成角为60°的异面直线，则直线需为
面对角线，以AC为例，与之构成黄金异面直线对的直线有4条，分别是
A′B，BC′，A′D，C′D，正方体的面对角线有12条，所以所求的黄
金异面直线对共有12×42＝24对(每一对被计算两次，所以要除以2)．
答案：24
3．(2012·池州模拟)正方形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，
且AE＝2EB，CF＝2FD，将直角梯形AEFD沿EF折起到A′EFD′
的位置，使点A′在平面ABCD上的射影G恰好落在BC上．
(1)判断直线AA′与DD′的位置关系，并证明；
(2)证明平面A′AE⊥平面A′BC；
解：(1)AA′∥DD′.
设直线AD与EF相交于点O，翻折后直线A′D′仍过O点，
∴A，A′，D，D′四点共面于平面OAA′.
Gothedistance
又FD∥AE，FD?平面A′AE，
AE?平面A′AE，
∴FD∥平面A′AE.
同理，FD′∥平面A′AE，而FD∩FD′＝F，
∴平面DFD′∥平面A′AE.
又平面OAA′∩平面DFD′＝DD′，
平面OAA′∩平面A′AE＝AA′，
∴AA′∥DD′.
(2)∵A′G⊥平面ABCD，
∴A′G⊥AB.
又AB⊥BC，BC∩A′G＝G，
∴AB⊥平面A′BC.
又AB?平面A′AE，
∴平面A′AE⊥平面A′BC.
1．(2012·襄阳模拟)关于直线a，b，l以及平面M，N，下面命题中正确的是()
A．若a∥M，b∥M，则a∥b
B．若a∥M，b⊥a，则b⊥M
C．若a⊥M，a∥N，则M⊥N
D．若a?M，b?M,且l⊥a，l⊥b，则l⊥M
解析：选C同平行于一个平面的两条直线可平行也可相交或异面，故A错．a∥M，b
⊥a时，b与M的位置关系不确定，B错；当a∥b时，l⊥a，l⊥b，l不一定垂直于M，故
D错误．
2．(2012·蚌埠模拟)如图在四面体OABC中，OA，OB，OC两两垂直，
且OB＝OC＝3，OA＝4.给出如下判断：
①存在点D(O点除外)，使得四面体DABC有三个面是直角三角形；
②存在点D，使得点O在四面体DABC外接球的球面上；
③存在唯一的点D使得OD⊥平面ABC；
④存在点D，使得四面体DABC是正棱锥；
⑤存在无数个点D，使得AD与BC垂直且相等．
其中正确命题的序号是________(把你认为正确命题的序号填上)．
解析：①作OH⊥平面ABC于H并延长至D，使OH＝HD，则四面体DABC与四面体
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OABC全等，故①正确；
②在以O，A，B，C确定的球上，显然存在点D满足条件，故②正确；
③过O做平面ABC的垂线，在垂线上任取一点D，显然OD⊥平面ABC，故③不正确；
④△ABC不是正三角形，以△ABC为底面没有正棱锥．
取BC的中点O1，在平面AOO1内取D，使BC＝BD＝CD＝32且AD＝5，则四面体是
以△BCD为底的正棱锥，这样的D点存在，所以④正确．
⑤BC垂直于④所作的平面AOO1，在平面AOO1内以A为圆心，以BC为半径作圆，圆
周上任一点满足条件，所以这样的D点有无数个，故⑤正确．
答案：①②④⑤
3．(2012·西安模拟)在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝BC，则
直线PC与AB所成角的大小是________．
解析：分别取PA，AC，CB的中点F，D，E连接FD，DE，EF，AE，则∠FDE是直
线PC与AB所成角或其补角．
设PA＝AC＝BC＝2a，在△FDE中，易求得FD＝2a，DE＝2a，FE＝6a，
根据余弦定理，得cos∠FDE＝2a
2＋2a2－6a2
2×2a×2a＝－
1
2，所以∠FDE＝120°.
所以直线PC与AB所成角的大小是60°.
答案：60°
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