Gothedistance
第一节空间几何体的结构特征及三视图和直观图
[知识能否忆起]
一、多面体的结构特征
多面体结构特征
棱柱
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个面的交线都平行且相
等
棱锥有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形
棱台棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分
二、旋转体的形成
几何体旋转图形旋转轴
圆柱矩形任一边所在的直线
圆锥直角三角形一条直角边所在的直线
圆台直角梯形垂直于底边的腰所在的直线
球半圆直径所在的直线
三、简单组合体
简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成；一种是由简单几何
体截去或挖去一部分而成，有多面体与多面体、多面体与旋转体、旋转体与旋转体的组合体．
四、平行投影与直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：
(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，
z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．
(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段
在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．
五、三视图
几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正
上方观察几何体画出的轮廓线．
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[小题能否全取]
1．(教材习题改编)以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是()
A．球的三视图总是三个全等的圆
B．正方体的三视图总是三个全等的正方形
C．水平放置的正四面体的三视图都是正三角形
D．水平放置的圆台的俯视图是一个圆
解析：选AB中正方体的放置方向不明，不正确．C中三视图不全是正三角形．D中
俯视图是两个同心圆．
2．(2012·杭州模拟)用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体
一定是()
A．圆柱B．圆锥
C．球体D．圆柱、圆锥、球体的组合体
解析：选C当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满
足任意截面都是圆面．
3．下列三种叙述，其中正确的有()
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；
②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．
A．0个B．1个
C．2个D．3个
解析：选A①中的平面不一定平行于底面，故①错．②③可用下图反例检验，故②③
不正确．
4．(教材习题改编)利用斜二测画法得到的：
①正方形的直观图一定是菱形；
②菱形的直观图一定是菱形；
③三角形的直观图一定是三角形．
以上结论正确的是________．
解析：①中其直观图是一般的平行四边形，②菱形的直观图不一定是菱形，③正确．
答案：③
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5．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该
几何体的俯视图为________．
解析：由三视图中的正、侧视图得到几何体的直观图如图所示，所以该几何体的俯视图
为③.
答案：③
1.正棱柱与正棱锥
(1)底面是正多边形的直棱柱，叫正棱柱，注意正棱柱中“正”字包含两层含义：①侧
棱垂直于底面；②底面是正多边形．
(2)底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫正棱锥，注意
正棱锥中“正”字包含两层含义：①顶点在底面上的射影必需是底面正多边形的中心，②底
面是正多边形，特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．
2．对三视图的认识及三视图画法
(1)空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个
方向看到的该几何体的侧面表示的图形．
(2)在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要
画成虚线．
(3)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察
几何体用平行投影画出的轮廓线．
3．对斜二测画法的认识及直观图的画法
(1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段，“平行于x轴的线段平行性不变，长
度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半．”
(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系：
S直观图＝24S原图形，S原图形＝22S直观图．
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空间几何体的结构特征
典题导入
[例1](2012·哈师大附中月考)下列结论正确的是()
A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的
几何体叫圆锥
C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等，则该棱锥可能是六棱锥
D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
[自主解答]A错误，如图1是由两个相同的三棱锥叠放在一起构成的
几何体，它的各个面都是三角形，但它不是三棱锥；B错误，如图2，若△
ABC不是直角三角形，或△ABC是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得
的几何体都不是圆锥；
图1
图2
C错误，若该棱锥是六棱锥，由题设知，它是正六棱锥．易证正六棱锥的侧棱长必大于
底面边长，这与题设矛盾．
[答案]D
由题悟法
解决此类题目要准确理解几何体的定义，把握几何体的结构特征，并会通过反例对概念
进行辨析．举反例时可利用最熟悉的空间几何体如三棱柱、四棱柱、正方体、三棱锥、三棱
台等，也可利用它们的组合体去判断．
以题试法
1．(2012·天津质检)如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧
棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是()
A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等
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B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补
C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆
D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上
解析：选B如图，等腰四棱锥的侧棱均相等，其侧棱在底面的射影也
相等，则其腰与底面所成角相等，即A正确；底面四边形必有一个外接圆，
即C正确；在高线上可以找到一个点O，使得该点到四棱锥各个顶点的距
离相等，这个点即为外接球的球心，即D正确；但四棱锥的侧面与底面所
成角不一定相等或互补(若为正四棱锥则成立)．故仅命题B为假命题．
几何体的三视图
典题导入
[例2](2012·湖南高考)某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图
不可能是()
[自主解答]根据几何体的三视图知识求解．
由于该几何体的正视图和侧视图相同，且上部分是一个矩形，矩形中间无实线和虚线，
因此俯视图不可能是C.
[答案]C
由题悟法
三视图的长度特征
三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽，
即“长对正，宽相等，高平齐”．
[注意]画三视图时，要注意虚、实线的区别．
以题试法
2．(1)(2012·莆田模拟)如图是底面为正方形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥的三视图，
那么该四棱锥的直观图是下列各图中的()
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解析：选D由俯视图排除B、C；由正视图、侧视图可排除A.
(2)(2012·济南模拟)
如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长均为2，其正视图如图所示，则此三棱柱侧视图
的面积为()
A．22B．4
C.3D．23
解析：选D依题意，得此三棱柱的左视图是边长分别为2，3的矩形，故其面积是
23.
几何体的直观图
典题导入
[例3]已知△ABC的直观图A′B′C′是边长为a的正三角形，求原△ABC的面积．
[自主解答]
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建立如图所示的坐标系xOy′，△A′B′C′的顶点C′在y′轴上，A′B′边在x轴
上，OC为△ABC的高．
把y′轴绕原点逆时针旋转45°得y轴，
则点C′变为点C，且OC＝2OC′，A，B点即为A′，B′点，长度不变．
已知A′B′＝A′C′＝a，在△OA′C′中，
由正弦定理得
OC′
sin∠OA′C′＝
A′C′
sin45°，
所以OC′＝sin120°sin45°a＝62a，
所以原三角形ABC的高OC＝6a.
所以S△ABC＝12×a×6a＝62a2.
由题悟法
用斜二测画法画几何体的直观图时，要注意原图形与直观图中的“三变、三不变”．
“三变”
??
??
?坐标轴的夹角改变，
与y轴平行线段的长度改变，
图形改变；
“三不变”
??
??
?平行性不变，
与x轴平行的线段长度不变，
相对位置不变.
以题试法
3．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等
腰梯形，那么原平面图形的面积是()
A．2＋2B.1＋22
C.2＋22D．1＋2
解析：选A恢复后的原图形为一直角梯形
S＝12(1＋2＋1)×2＝2＋2.
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1．(2012·青岛摸底)如图，在下列四个几何体中，其三视图(正视图、侧视图、俯视图)
中有且仅有两个相同的是()
A．②③④B．①②③
C．①③④D．①②④
解析：选A①的三个视图都是边长为1的正方形；②的俯视图是圆，正视图、侧视图
都是边长为1的正方形；③的俯视图是一个圆及其圆心，正视图、侧视图是相同的等腰三角
形；④的俯视图是边长为1的正方形，正视图、侧视图是相同的矩形．
2．有下列四个命题：
①底面是矩形的平行六面体是长方体；
②棱长相等的直四棱柱是正方体；
③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；
④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．
其中真命题的个数是()
A．1B．2
C．3D．4
解析：选A命题①不是真命题，因为底面是矩形，但侧棱不垂直于底面的平行六面体
不是长方体；命题②不是真命题，因为底面是菱形(非正方形)，底面边长与侧棱长相等的直
四棱柱不是正方体；命题③也不是真命题，因为有两条侧棱都垂直于底面一边不能推出侧棱
与底面垂直；命题④是真命题，由对角线相等，可知平行六面体的对角面是矩形，从而推得
侧棱与底面垂直，故平行六面体是直平行六面体．
3．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是
()
解析：选CC选项不符合三视图中“宽相等”的要求，故选C.
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4．如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图．在正视图右侧，按照画三视图的要求
画出的该几何体的侧视图是()
解析：选B由直观图和正视图、俯视图可知，该几何体的侧视图应为面PAD，且EC
投影在面PAD上，故B正确．
5.如图△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC是()
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．钝角三角形
解析：选B由斜二测画法知B正确．
6．(2012·东北三校一模)一个几何体的三视图如图所示，则侧视图的面积为()
A．2＋3B．1＋3
C．2＋23D．4＋3
解析：选D依题意得，该几何体的侧视图的面积等于22＋12×2×3＝4＋3.
7．(2012·昆明一中二模)一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且体积
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为12，则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的________．(填入所有可能的图形前的编号)
①锐角三角形；②直角三角形；③四边形；④扇形；⑤圆．
解析：如图1所示，直三棱柱ABE－A1B1E1符合题设要求，此时俯视图△ABE是锐角
三角形；如图2所示，直三棱柱ABC－A1B1C1符合题设要求，此时俯视图△ABC是直角三
角形；如图3所示，当直四棱柱的八个顶点分别是正方体上、下各边的中点时，所得直四棱
柱ABCD－A1B1C1D1符合题设要求，此时俯视图(四边形ABCD)是正方形；若俯视图是扇形
或圆，体积中会含有π，故排除④⑤.
答案：①②③
8．(2013·安徽名校模拟)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．
解析：结合三视图可知，该几何体为底面边长为2、高为2的正三棱柱
除去上面的一个高为1的三棱锥后剩下的部分，其直观图如图所示，故该几
何体的体积为12×2×2sin60°×2－13×12×2×2sin60°×1＝533.
答案：533
9．正四棱锥的底面边长为2，侧棱长均为3，其正视图(主视图)和侧视图(左视图)是全
等的等腰三角形，则正视图的周长为________．
解析：由题意知，正视图就是如图所示的截面PEF，其中E、F
分别是AD、BC的中点，连接AO，易得AO＝2，而PA＝3，于
是解得PO＝1，所以PE＝2，故其正视图的周长为2＋22.
答案：2＋22
10．已知：图1是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图2是某几何
体的三视图，试说明该几何体的构成．
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解：图1几何体的三视图为：
图2所示的几何体是上面为正六棱柱，下面为倒立的正六棱锥的组合体．
11．(2012·银川调研)正四棱锥的高为3，侧棱长为7，求棱锥的斜高(棱锥侧面三角形
的高)．
解：如图所示，正四棱锥S－ABCD中，
高OS＝3，
侧棱SA＝SB＝SC＝SD＝7，
在Rt△SOA中，
OA＝SA2－OS2＝2，∴AC＝4.
∴AB＝BC＝CD＝DA＝22.
作OE⊥AB于E，则E为AB中点．
连接SE，则SE即为斜高，
在Rt△SOE中，∵OE＝12BC＝2，SO＝3，
∴SE＝5，即棱锥的斜高为5.
12．(2012·四平模拟)已知正三棱锥V－ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示．
(1)画出该三棱锥的直观图；
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(2)求出侧视图的面积．
解：(1)三棱锥的直观图如图所示．
(2)根据三视图间的关系可得BC＝23，
∴侧视图中
VA＝42－????23×32×232
＝12＝23，
∴S△VBC＝12×23×23＝6.
1．(2012·江西八所重点高中模拟)底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为2，当其正
视图有最大面积时，其侧视图的面积为()
A．23B．3
C.3D．4
解析：选A当正视图的面积达最大时可知其为正三棱柱某个侧
面的面积，可以按如图所示位置放置，此时侧视图的面积为23.
2．(2013·深圳模拟)如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，
平面ABCD⊥平面ABE，已知AB＝2，AE＝BE＝3，且当规定正视方
向垂直平面ABCD时，该几何体的侧视图的面积为22.若M，N分别是
线段DE，CE上的动点，则AM＋MN＋NB的最小值为________．
解析：依题意得，点E到直线AB的距离等于?3?2－????222＝2，因为该几何体的左
侧视图的面积为12·BC×2＝22，所以BC＝1，DE＝EC＝DC＝2.所以△DEC是正三角形，
∠DEC＝60°，tan∠DEA＝ADAE＝33，∠DEA＝∠CEB＝30°.把△DAE，△DEC与△CEB展
在同一平面上，此时连接AB，AE＝BE＝3，∠AEB＝∠DEA＋∠DEC＋∠CEB＝120°，AB2
＝AE2＋BE2－2AE·BEcos120°＝9，即AB＝3，即AM＋MN＋NB的最小值为3.
答案：3
3．一个多面体的直观图、正视图、侧视图如图1和2所示，其中正视图、侧视图均为
边长为a的正方形．
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(1)请在图2指定的框内画出多面体的俯视图；
(2)若多面体底面对角线AC，BD交于点O，E为线段AA1的中点，求证：OE∥平面A1C1C；
(3)求该多面体的表面积．
解：(1)根据多面体的直观图、正视图、侧视图，得到俯视图如下：
(2)证明：如图，连接AC，BD，交于O点，连接OE.
∵E为AA1的中点，O为AC的中点，
∴在△AA1C中，OE为△AA1C的中位线．
∴OE∥A1C.
∵OE?平面A1C1C，A1C?平面A1C1C，
∴OE∥平面A1C1C.
(3)多面体表面共包括10个面，SABCD＝a2，
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SA1B1C1D1＝a
2
2，
S△ABA1＝S△B1BC＝S△C1DC＝S△ADD1＝a
2
2，
S△AA1D1＝S△B1A1B＝S△C1B1C＝S△DC1D1
＝12×2a2×32a4＝3a
2
8，
∴该多面体的表面积S＝a2＋a
2
2＋4×
a2
2＋4×
3a2
8＝5a
2.
1．(2012·北京朝阳二模)有一个棱长为1的正方体，按任意方向正投影，其投影面积的
最大值是()
A．1B.322
C.2D.3
解析：选D如图所示是棱长为1的正方体．
当投影线与平面A1BC1垂直时，
∵面ACD1∥面A1BC1，
∴此时正方体的正投影为一个正六边形．设其边长为a，则3a
＝2，
∴a＝63.
∴投影面的面积为6×34×????632＝3.
此时投影面积最大，故D正确．
2．如图，△ABC与△ACD都是等腰直角三角形，且AD＝DC
＝2，AC＝BC.平面ACD⊥平面ABC，如果以平面ABC为水平平
面，正视图的观察方向与AB垂直，则三棱锥D－ABC的三视图
的面积和为________．
解析：由题意得AC＝BC＝22，AB＝4，△ACD边AC上的高为2，正视图的面积是12
×4×2＝22，侧视图的面积
是12×2×2＝2，俯视图的面积是12×22×22＝4，所以三视图的面积和为4＋32.
答案：4＋32
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3．(2012·北京海淀)已知正三棱柱ABC－A′B′C′的
正视图和侧视图如图所示，设△ABC，△A′B′C′的中心
分别是O，O′，现将此三棱柱绕直线OO′旋转，射线OA
旋转所成的角为x弧度(x可以取到任意一个实数)，对应的俯视图的面积为S(x)，则函数S(x)
的最大值为________；最小正周期为________．
(说明：“三棱柱绕直线OO′旋转”包括逆时针方向和顺时针方向，逆时针方向旋转时，
OA旋转所成的角为正角，顺时针方向旋转时，OA旋转所成的角为负角．)
解析：由题意可知，当三棱柱的一个侧面在水平面内时，该三棱柱的
俯视图的面积最大．此时俯视图为一个矩形，其宽为3×tan30°×2＝2，
长为4，故S(x)的最大值为8.当三棱柱绕OO′旋转时，当A点旋转到B
点，B点旋转到C点，C点旋转到A点时，所得三角形与原三角形重合，故S(x)的最小正周
期为2π3.
答案：82π3
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