结束放映返回目录获取详细资料请浏览：www.zxjkw.com【2014年高考会这样考】1．考查求函数单调性和最值的基本方法．2．利用函数的单调性求单调区间．3．利用函数的单调性求最值和参数的取值范围．4．函数的单调性和其它知识结合综合考查求函数最值、比较大小、解不等式等相关问题.第2讲函数的单调性与最值抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考限时规范训练函数的单调性函数的最值考向一考向二考向三利用函数的单调性求参数的范围单击标题可完成对应小部分的学习，每小部分独立成块，可全讲，也可选讲助学微博考点自测A级【例1】【训练1】【例2】【训练2】【例3】【训练3】抽象函数的单调性及最值求函数的单调区间函数单调性的判断及应用选择题填空题解答题B级选择题填空题解答题上升的下降的考点梳理f(x1)＜f(x2)f(x1)＞f(x2)自左向右看图象是.自左向右看图象是.图象描述当x1
(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增；
(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．
(1)证明任设x1
则f(x1)－f(x2)＝－
＝.
(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，
f(x1)
f(x)在(－∞，－2)内单调递增．
【例1】试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性．
解设－1
f(x)＝a＝a，
f(x1)－f(x2)＝a－a
＝a
当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
函数f(x)在(－1,1)上递减；
当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)
函数f(x)在(－1,1)上递增．
【例2】求函数y＝的单调区间．
解令u＝x2＋x－6，y＝可以看作有y＝与u＝x2＋x－6的复合函数．
由u＝x2＋x－6≥0，得x≤－3或x≥2.
u＝x2＋x－6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y＝在(0，＋∞)上是增函数．
y＝的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)．
【例3】已知函数f(x)对于任意x，yR，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－.
(1)求证：f(x)在R上是减函数；
(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．
(1)证明法一函数f(x)对于任意x，yR
总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，令x＝y＝0，得f(0)＝0.
再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)．
在R上任取x1>x2，则x1－x2>0.
f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)．
又x>0时，f(x)<0，
而x1－x2>0，f(x1－x2)<0，即f(x1)
因此f(x)在R上是减函数．
1.解析因为f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，所以a>1，f(1)
答案B
解析f(x)为奇函数且x≥0时f(x)为减函数，故f(x)在R上是减函数，由x1＋x2>0，得x1>－x2，故f(x1)
答案C
解析采用验证法，易知函数y＝ln(x＋2)在(－2，＋∞)上是增函数，因此在(0，＋∞)上是增函数，故选A.
答案A
解析f(x)＝－x2＋2ax的对称轴为x＝a，要使f(x)在[1,2]上为减函数，必须有a≤1，又g(x)＝(a＋1)1－x在[1,2]上是减函数，所以a＋1>1，即a>0，故0
答案D
解析f(x)＝＝＝2－在[1,2]上是增函数，f(x)max＝f(2)＝，f(x)min＝f(1)＝1.
答案，1
(2)当k>0时，因为f(k＋1)＝e>，
所以不会有x∈(0，＋∞)，f(x)≤.(8分)
当k<0时，由(1)知f(x)在(0，＋∞)上的最大值是f(－k)＝.(10分)
所以x∈(0，＋∞)，f(x)≤等价于f(－k)＝≤，
解得－≤k<0.(12分)
故当x∈(0，＋∞)，f(x)≤时，k的取值范围是.(13分)
【示例】(本小题满分13分)(2011·北京)已知函数f(x)＝(x－k)2e.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若对于任意的x(0，＋∞)，都有f(x)≤，求k的取值范围．
法二设x1>x2，
则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)
＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)．
又x>0时，f(x)<0，而x1－x2>0，
f(x1－x2)<0，即f(x1)
f(x)在R上为减函数．
(2)解f(x)在R上是减函数，
f(x)在[－3,3]上也是减函数，
f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)．而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2.
f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.
【训练3】已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0.
(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性；
(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值．
解(1)令x1＝x2>0，
代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.
(2)任取x1，x2(0，＋∞)，且x1>x2，则>1，
由于当x>1时，f(x)<0所以f<0，
即f(x1)－f(x2)<0，因此f(x1)
所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．
(3)f(x)在[0，＋∞)上是单调递减函数．
f(x)在[2,9]上的最小值为f(9)．
由f＝f(x1)－f(x2)，得f＝f(9)－f(3)，而f(3)＝－1，所以f(9)＝－2.f(x)在[2,9]上的最小值为－
[教你审题](1)根据导函数大于零和小于零即可得出函数的单调区间，但求解过程中要注意对参数k进行分类讨论．
(2)利用函数单调性求出函数最大值f(x)max，使f(x)max≤即可解出k的取值范围．
[规范解答](1)f′(x)＝(x2－k2)e.
令f′(x)＝0，得x＝±k.(2分)
当k>0时，f(x)与f′(x)的变化情况如下：
x (－∞，－k) －k (－k，k) k (k，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ( 4k2e－1 ( 0 ( 所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－k)和(k，＋∞)，单调递减区间是(－k，k)．(4分)
当k<0时，f(x)与f′(x)的变化情况如下：
x (－∞，－k) k (k，－k) －k (－k，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x) ( 0 ( 4k2e－1 ( 所以f(x)的单调递减区间是(－∞，k)和(－k，＋∞)，单调递增区间是(k，－k)．(6分)
【示例】(本小题满分13分)(2011·北京)已知函数f(x)＝(x－k)2e.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若对于任意的x(0，＋∞)，都有f(x)≤，求k的取值范围．
[阅卷老师手记](1)导数法是研究函数单调性的重要工具，利用导数研究函数单调性应注意三个方面：一是求导之后函数的定义域可能会发生变化，要在函数的定义域内分析导函数的符号；二是若求函数的单调区间可直接转化为f′(x)>0(或f′(x)<0)的解集求解，若函数在区间M上的单调递增(递减)，则应转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在区间M上的恒成立问题求解；三是当含有参数时，要注意对参数的取值范围进行分类讨论．
(2)数学解题的核心是转化，本题的关键是将x∈(0，＋∞)都有f(x)≤转化为当x(0，＋∞)时有f(x)max≤，利用函数单调性求函数最值，通过解不等式求得k的取值范围．
(3)利用导数法求解函数最值的实质是利用函数的单调性确定最值．应该注意三个问题：一是在利用导函数判断函数单调性时要注意函数定义域；二是准确求导；三是要注意极值与最值的区别．
【示例】(本小题满分13分)(2011·北京)已知函数f(x)＝(x－k)2e.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若对于任意的x(0，＋∞)，都有f(x)≤，求k的取值范围．
第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域．
第二步：求函数f(x)的导数f′(x)，并令f′(x)＝0，求其根．
第三步：利用f′(x)＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表．
第四步：由f′(x)在小开区间内的正、负值判断f(x)在小开区间内的单调性；求极值、最值．
第五步：将不等式恒成立问题转化为f(x)max≤a或f(x)min≥a，解不等式求参数的取值范围．
第六步：明确规范地表述结论．
【示例】(本小题满分13分)(2011·北京)已知函数f(x)＝(x－k)2e.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若对于任意的x(0，＋∞)，都有f(x)≤，求k的取值范围．
设任意x1，x2[a，b]且x1
>0?f(x)在[a，b]上是增函数；
<0f(x)在[a，b]上是减函数．
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0f(x)在[a，b]上是增函数；
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0f(x)在[a，b]上是减函数．
两条结论
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小值)．
1．已知函数f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，则()．
A．f(3)
C．f(－2)
2．(2013·西安调研)设f(x)为定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值()．
A．恒为正值B．恒等于零C．恒为负值D．无法确定正负
3．(2012·广东)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是()．
A．y＝ln(x＋2)B．y＝－C．y＝xD．y＝x＋
4．(2013·金华模拟)若函数f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝(a＋1)1－x在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是()．
A．(－1,0)B．(－1,0)(0,1]C．(0,1)D．(0,1]
5．(人教A教材习题改编)函数f(x)＝在[1,2]的最大值和最小值分别是________．
(2)解任设1
f(x1)－f(x2)＝－＝.
a>0，x2－x1>0.
要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，a≤1.
综上所知0
【训练2】(2013·大连模拟)求函数y＝log(x2－3x＋2)的单调区间．
解令u＝x2－3x＋2，则原函数可以看作y＝logu与u＝x2－3x＋2的复合函数．
令u＝x2－3x＋2>0，则x<1或x>2.
函数y＝log(x2－3x＋2)的定义域为(－∞，1)(2，＋∞)．
又u＝x2－3x＋2的对称轴x＝，且开口向上．
u＝x2－3x＋2在(－∞，1)上是单调减函数，
在(2，＋∞)上是单调增函数．
而y＝logu在(0，＋∞)上是单调减函数，
y＝log(x2－3x＋2)的单调减区间为(2，＋∞)，
单调增区间为(－∞，1)．
1．(2013·长沙一模)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)内单调递减的函数是()．
A．y＝x2B．y＝|x|＋1C．y＝－lg|x|D．y＝2|x|
解析对于C中函数，当x>0时，y＝－lgx，故为(0，＋∞)上的减函数，且y＝－lg|x|为偶函数．
答案C
2．(2011·辽宁)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意xR，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为()．
A．(－1,1)B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1)D．(－∞，＋∞)
解析法一由xR，f(－1)＝2，f′(x)>2，可设f(x)＝4x＋6，则由4x＋6>2x＋4，得x>－1，选B.
法二设g(x)＝f(x)－2x－4，则g(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0，g′(x)＝f′(x)－2>0，g(x)在R上为增函数．由g(x)>0，即g(x)>g(－1)．x>－1，选B.
答案B
3．(2012·浙江)设a>0，b>0.()．
A．若2a＋2a＝2b＋3b，则a>bB．若2a＋2a＝2b＋3b，则a
C．若2a－2a＝2b－3b，则a>b
D．若2a－2a＝2b－3b，则a
解析利用原命题与逆否命题的真假性相同求解．当0b成立，故A正确，B错误．当0
4．(2013·苏州调研)设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是()．
A．(－∞，0]B．[0,1)C．[1，＋∞)D．[－1,0]
解析g(x)＝如图所示，其递减区间是[0,1)．故选B.
答案B
5．设函数y＝x2－2x，x[－2，a]，若函数的最小值为g(a)，则g(a)＝.
解析函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，对称轴为直线x＝1.
当－2≤a<1时，函数在[－2，a]上单调递减，则当x＝a时，ymin＝a2－2a；当a≥1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a]上单调递增，则当x＝1时，ymin＝－1.
综上，g(a)＝
答案
6．奇函数f(x)(xR)满足：f(－4)＝0，且在区间[0,3]与[3，＋∞)上分别递减和递增，则不等式(x2－4)f(x)<0的解集为(－∞，－4)(－2,0)(2,4)．
解析当x2－4>0，即x<－2或x>2时，f(x)<0.由f(x)的图象知，x<－4或20，则－2
答案(－∞，－4)(－2,0)(2,4)
7．(12分)设函数f(x)对任意的a，bR，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，且当x>0时，f(x)>1.
(1)求证：f(x)是R上的增函数；
(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m2－m－2)<3.
(1)证明设x10，f(Δx)>1，
f(x2)＝f(x1＋Δx)＝f(x1)＋f(Δx)－1>f(x1)，
f(x)是R上的增函数．
(2)解f(4)＝f(2)＋f(2)－1＝5，f(2)＝3，
f(3m2－m－2)<3＝f(2)．
又由(1)的结论知f(x)是R上的增函数，
3m2－m－2<2，－1
8．(13分)已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，aR)．
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．
解(1)当a＝0时，f(x)＝x2(x≠0)为偶函数；
当a≠0时，f(－x)≠f(x)，f(－x)≠－f(x)，
f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(2)设x2>x1≥2，则f(x1)－f(x2)＝x＋－x－＝[x1x2(x1＋x2)－a]，
由x2>x1≥2，得x1x2(x1＋x2)>16，x1－x2<0，
x1x2>0.
要使f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，
只需f(x1)－f(x2)<0，
即x1x2(x1＋x2)－a>0恒成立，则a≤16.
1．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy(x，yR)，f(1)＝2，则f(－3)等于()．
A．2B．3C．6D．9
解析f(1)＝f(0＋1)＝f(0)＋f(1)＋2×0×1＝f(0)＋f(1)，f(0)＝0.
f(0)＝f(－1＋1)＝f(－1)＋f(1)＋2×(－1)×1＝f(－1)＋f(1)－2，f(－1)＝0.
f(－1)＝f(－2＋1)＝f(－2)＋f(1)＋2×(－2)×1＝f(－2)＋f(1)－4，f(－2)＝2.
f(－2)＝f(－3＋1)＝f(－3)＋f(1)＋2×(－3)×1＝f(－3)＋f(1)－6，f(－3)＝6.
答案C
2．(2013·太原质检)设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK(x)＝取函数f(x)＝2－|x|，当K＝时，函数fK(x)的单调递增区间为()．
A．(－∞，0)B．(0，＋∞)C．(－∞，－1)D．(1，＋∞)
解析f(x)＝f(x)＝
f(x)的图象如右图所示，因此f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)．
答案C
3.设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如右图，则不等式f(x)<0的解集是{x|－2
解析法一奇函数关于原点对称
.当00－2
当20.
综上，f(x)<0的解集为{x|－2
法二由于f(x)为在[－5,5]上的奇函数，通过数形结合可解决问题．作图可得{x|－2
4．已知函数f(x)＝(a是常数且a＞0)．对于下列命题：
函数f(x)的最小值是－1；函数f(x)在R上是单调函数；
若f(x)＞0在上恒成立，则a的取值范围是a＞1；
对任意的x1＜0，x2＜0且x1≠x2，恒有f＜.
其中正确命题的序号是．
5．(12分)(2011·上海)已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足ab≠0.
(1)若ab>0，判断函数f(x)的单调性；
(2)若ab<0，求f(x＋1)>f(x)时的x的取值范围．
解(1)当a>0，b>0时，因为a·2x，b·3x都单调递增，所以函数f(x)单调递增；当a<0，b<0时，因为a·2x，b·3x都单调递减，所以函数f(x)单调递减．
(2)f(x＋1)－f(x)＝a·2x＋2b·3x>0.
(i)当a<0，b>0时，x>－，
解得x>log；
(ii)当a>0，b<0时，x<－，
解得x
6．(13分)(2012·潍坊一模)已知函数f(x)在(－1,1)上有定义，f＝－1，当且仅当0
(1)f(x)为奇函数；
(2)f(x)在(－1,1)上单调递减．
证明(1)函数f(x)的定义域为(－1,1)，再由f(x)＋f(y)＝f，令x＝y＝0，得f(0)＝0，令y＝－x，得f(x)＋f(－x)＝f＝f(0)＝0，
f(x)＝－f(－x)，即f(x)为奇函数．
(2)先证f(x)在(0,1)上单调递减．令0
00,1－x1x2>0，
即>0.
又(x2－x1)－(1－x2x1)＝(x2－1)(x1＋1)<0，
x2－x1<1－x2x1，0<<1.
由题意，知f<0，即f(x2)
f(x)在(0,1)上单调递减，又f(x)为奇函数且f(0)＝0，
f(x)在(－1,1)上单调递减．
解析根据题意可画出草图，由图象可知，①显然正确；函数f(x)在R上不是单调函数，故错误；若f(x)＞0在上恒成立，则2a×－1＞0，a＞1，故正确；由图象可知在(－∞，0)上对任意的x1＜0，x2＜0且x1≠x2，恒有f＜成立，故正确．答案
对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x1，x2在所给区间内比较f(x1)－f(x2)与0的大小，或与1的大小．有时根据需要，需作适当的变形：如x1＝x2·或x1＝x2＋x1－x2等．
对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x1，x2在所给区间内比较f(x1)－f(x2)与0的大小，或与1的大小．有时根据需要，需作适当的变形：如x1＝x2·或x1＝x2＋x1－x2等．
x 2 (2，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x) 极小 极大 令f＝0得2·2－k·＋k＝0，k＝0.
当k>4时，即>2时有
x (－∞，2) 2 f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x) 极小 极大 令f(2)＝0，得2×4－2k＋k＝0，k＝8.
当k＝0或k＝8时，f(x)有极小值为.
【试一试】已知函数f(x)＝.
(1)当k为何值时，f(x)在R上是减函数；
(2)试确定实数k的值，使f(x)的极小值为0.
解(1)∵f(x)＝，
∴f′(x)＝(4x－k)e－x＋
(2x2－kx＋k)·(－1)·e－x
＝－2·(x－2)·e－x，
当k＝4时，f′(x)＝－(x－2)2·e－x≤0，
∴当k＝4时，f(x)在R上是减函数．
(2)当k≠4时，令f′(x)＝0，
得x1＝2，x2＝.
|
|
