Gothedistance
2013年上海高考理科数学
一、填空题
1．计算：20lim______313
nnn?????
2．设mR?，222(1)immm????是纯虚数，其中i是虚数单位，则________m?
3．若22
11xxxyyy???
，则______xy??
4．已知△ABC的内角A、B、C所对应边分别为a、b、c，若22232330aabbc????，则
角C的大小是_______________（结果用反三角函数值表示）
5．设常数aR?，若52ax
x???????
的二项展开式中7x项的系数为10?，则______a?．
6．方程1313313x
x????
的实数解为________
7．在极坐标系中，曲线cos1????与cos1???的公共点到极点的距离为__________
．
8．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球
的编号之积为偶数的概率是___________（结果用最简分数表示）
9．设AB是椭圆?的长轴，点C在?上，且4CBA???，若AB=4，2BC?，则?的两
个焦点之间的距离为________
10．设非零常数d是等差数列12319,,,,xxxx的公差，随机变量?等可能地取值
12319,,,,xxxx，则方差_______D??
11．若12coscossinsin,sin2sin223xyxyxy????，则sin()________xy??．
12．设a为实常数，()yfx?是定义在R上的奇函数，当0x?时，2()97afxxx???，
若()1fxa??对一切0x?成立，则a的取值范围为________
13．在xOy平面上，将两个半圆弧22(1)1(1)xyx????和
22(3)1(3)xyx????、两条直线1y?和1y??围成的封
闭图形记为D，如图中阴影部分．记D绕y轴旋转一周而成的
几何体为?，过(0,)(||1)yy?作?的水平截面，所得截面面
积为2418y????，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和
一个长方体，得出?的体积值为__________
14．对区间I上有定义的函数()gx，记
(){|(),}gIyygxxI???，已知定义域为[0,3]的函数()yfx?有反函数1()yfx??，且
11([0,1))[1,2),((2,4])[0,1)ff????，若方程()0fxx??有解0x，则0_____x?
二、选择题
15．设常数aR?，集合{|(1)()0},{|1}AxxxaBxxa???????，若ABR??，则
a的取值范围为（）
Gothedistance
(A)(,2)??(B)(,2]??(C)(2,)??(D)
[2,)??
16．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）
(A)充分条件(B)必要条件(C)充分必要条件(D)既非充分也非必要条件
17．在数列{}na中，21nna??，若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素
,ijijijaaaaa????，（1,2,,7;1,2,,12ij??）则该矩阵元素能取到的不同数值的个
数为（）
(A)18(B)28(C)48(D)63
18．在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为
12345,,,,aaaaa；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,ddddd.若,mM分别
为()()ijkrstaaaddd?????的最小值、最大值，其中
{,,}{1,2,3,4,5}ijk?,{,,}{1,2,3,4,5}rst?,则,mM满足（）.
(A)0,0mM??(B)0,0mM??(C)0,0mM??(D)0,0mM??
三、解答题
19.（本题满分12分）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AD=1,A1A=1，证明直线
BC1平行于平面DA1C，并求直线BC1到平面D1AC的距离.
20．（6分+8分）甲厂以x千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条
件要求110x??），每小时可获得利润是3100(51)xx??元.
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；
(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.
21．（6分+8分）已知函数()2sin()fxx??，其中常数0??；[来源:学_科_网Z_X_X_K]
（1）若()yfx?在2[,]43???上单调递增，求?的取值范围；
（2）令2??，将函数()yfx?的图像向左平移6?个单位，再向上平移1个单位，得到函数
()ygx?的图像，区间[,]ab（,abR?且ab?）满足：()ygx?在[,]ab上至少含有30
个零点，在所有满足上述条件的[,]ab中，求ba?的最小值．
D1
C1
B1A1
DC
BA
Gothedistance
22．（3分+5分+8分）如图，已知曲线22
1:12xCy??
，曲线
2:||||1Cyx??，P是平面上一点，若存在过点P的直线与12,CC都有公
共点，则称P为“C1—C2型点”．
(1)在正确证明1C的左焦点是“C1—C2型点”时，要使用一条过该焦点的直
线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；
(2)设直线ykx?与2C有公共点，求证||1k?，进而证明原点不是“C1—
C2型点”；
(3)求证：圆2212xy??内的点都不是“C1—C2型点”．
23．（3分+6分+9分）给定常数0c?，定义函数()2|4|||fxxcxc?????，数列
123,,,aaa满足1(),nnafanN???.
（1）若12ac???，求2a及3a；（2）求证：对任意1,nnnNaac????，；
（3）是否存在1a，使得12,,,naaa成等差数列？若存在，求出所有这样的1a，若不存
在，说明理由.
2013年上海高考理科数学（参考答案）
一．填空题
1.132.－23.04.1arccos3??5.－26.3log47.152?8.
1318
9.46310.30d211.2312.87a??13.2216???14.2
二．选择题
题号15161718
代号BBAD
三．解答题
19.【解答】因为ABCD-A1B1C1D1为长方体，故1111//,ABCDABCD?，
故ABC1D1为平行四边形，故11//BCAD，显然B不在平面D1AC上，于是直线
BC1平行于平面DA1C；
直线BC1到平面D1AC的距离即为点B到平面D1AC的距离设为h
考虑三棱锥ABCD1的体积，以ABC为底面，可得111(12)1323V??????
Gothedistance
而1ADC?中，115,2ACDCAD???，故
1
32ADCS??
所以，13123233Vhh??????，即直线BC1到平面D1AC的距离为23．
20．【解答】(1)根据题意，33200(51)30005140xxxx???????
又110x??，可解得310x??
(2)设利润为y元，则4290031161100(51)910[3()]612yxxxx?????????
故6x?时，max457500y?元．
21．【解答】(1)因为0??，根据题意有
3420
24
32
???
???
?
?????
?????
???
?
(2)()2sin(2)fxx?，()2sin(2())12sin(2)163gxxx????????
1()0sin(2)323gxxxk???????????或7,12xkkZ?????，
即()gx的零点相离间隔依次为3?和23?，
故若()ygx?在[,]ab上至少含有30个零点，则ba?的最小值为
2431415333???????．
23.【解答】：（1）C1的左焦点为(3,0)F?，过F的直线3x??与C1交于
2(3,)2??，与C2交于(3,(31))???，故C1的左焦点为“C1-C2型
点”，且直线可以为3x??；
（2）直线ykx?与C2有交点，则
(||1)||1||||1ykxkxyx?????????，若方程组有解，则必须||1k?；
直线ykx?与C2有交点，则
2222(12)222ykxkxxy?????????，若方程组有解，则必须212k?
故直线ykx?至多与曲线C1和C2中的一条有交点，即原点不是“C1-C2型点”。
（3）显然过圆2212xy??内一点的直线l若与曲线C1有交点，则斜率必存在；
根据对称性，不妨设直线l斜率存在且与曲线C2交于点(,1)(0)ttt??，则
:(1)()(1)0lytkxtkxytkt??????????
Gothedistance
直线l与圆2212xy??内部有交点，故
2
|1|221tktk????
化简得，221(1)(1)2ttkk????。。。。。。。。。。。。①
若直线l与曲线C1有交点，则
2222
2
11
()2(1)(1)1021
2
ykxktt
kxktktxtktxy
??????
??????????????
?
22222214(1)4()[(1)1]0(1)2(1)2ktktktkttktk???????????????
化简得，22(1)2(1)tktk????。。。。。②
由①②得，222212(1)(1)(1)12kttkkk????????[来源:Z|xx|k.Com]
但此时，因为2210,[1(1)]1,(1)12ttkk??????，即①式不成立；
当212k?时，①式也不成立
综上，直线l若与圆2212xy??内有交点，则不可能同时与曲线C1和C2有交点，[来源:学
科网]
即圆2212xy??内的点都不是“C1-C2型点”．
23.【解答】：（1）因为0c?，1(2)ac???，故
2111()2|4|||2afaacac???????，
3122()2|4|||10afaacacc????????
（2）要证明原命题，只需证明()fxxc??对任意xR?都成立，
()2|4|||fxxcxcxcxc?????????
即只需证明2|4|||+xcxcxc?????
若0xc??，显然有2|4|||+=0xcxcxc?????成立；
若0xc??，则2|4|||+4xcxcxcxcxc??????????显然成立
综上，()fxxc??恒成立，即对任意的nN?，1nnaac???
（3）由（2）知，若{}na为等差数列，则公差0dc??，故n无限增大时，总有
0na?[来源:学+科+网Z+X+X+K]
此时，1()2(4)()8nnnnnafaacacac??????????
即8dc??
故21111()2|4|||8afaacacac?????????，[来源:学科网]
即1112|4|||8acacac???????，
当10ac??时，等式成立，且2n?时，0na?，此时{}na为等差数列，满足
题意；
若10ac??，则11|4|48acac???????，
此时，230,8,,(2)(8)naacanc??????也满足题意；
Gothedistance
综上，满足题意的1a的取值范围是[,){8}cc??????．
Gothedistance
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