Gothedistance
训练4高频考题保温练
内容：立体几何、解析几何
一、选择题
1．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()
A．2π＋23B．4π＋23
C．2π＋233D．4π＋233
答案C
解析由几何体的三视图可知，该几何体由一个底面直径和高都是2的圆柱和一个底面
边长为2，侧棱长为2的正四棱锥叠放而成．故该几何体的体积为V＝π×12×2＋13
×(2)2×3＝2π＋233，故选C.
2．在△ABC中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°(如图所示)，若将△ABC绕BC边所在直
线旋转一周，则所形成的旋转体的体积是()
A.92πB.72π
C.52πD.32π
答案D
解析如图所示，该旋转体的体积为圆锥CD与圆锥BD的体积之差，
由已知求得BD＝1.所以V＝V圆锥CD－V圆锥BD＝13×π×3×52－13
×π×3×1＝32π.
3．已知a≠0，直线ax＋(b＋2)y＋4＝0与直线ax＋(b－2)y－3＝0互相垂直，则ab的最大
值为()
A．0B．2C．4D.2
答案B
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解析若b＝2，两直线方程为y＝－a4x－1和x＝3a，此时两直线相交但不垂直．若b＝
－2，两直线方程为x＝－4a和y＝a4x－34，此时两直线相交但不垂直．若b≠±2，此时，
两直线方程为y＝－ab＋2x－4b＋2和y＝－ab－2x＋3b－2，此时两直线的斜率分别为－
a
b＋2，－
a
b－2，由?
?
?
?－a
b＋2·?
?
?
?－a
b－2＝－1得a
2＋b2＝4.因为a2＋b2＝4≥2ab，所以
ab≤2，即ab的最大值是2，当且仅当a＝b＝2时取等号，所以选B.
4．直线y＝kx＋3与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥23，则k的取值
范围是()
A.????－34，0B.????－33，33
C.[]－3，3D.????－23，0
答案B
解析如图，若|MN|＝23，则由圆与直线的位置关系可知圆心到直
线的距离满足d2＝22－(3)2＝1.∵直线方程为y＝kx＋3，
∴d＝|k·2－3＋3|1＋k2＝1，解得k＝±33.若|MN|≥23，则－33≤k≤33.
5．如图是某个正方体的侧面展开图，l1，l2是两条侧面对角线，则在正方体中，l1与l2()
A．互相平行
B．异面且互相垂直
C．异面且夹角为π3
D．相交且夹角为π3
答案D
解析将侧面展开图还原成正方体如图所示，则B，C两点重合，
故l1与l2相交，连接AD，△ABD为正三角形，
所以l1与l2的夹角为π3.故选D.
6．(2013·课标全国Ⅰ)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，
容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好
接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为
()
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A.500π3cm3B.866π3cm3
C.1372π3cm3D.2048π3cm3
答案A
解析作出该球轴截面如图所示，依题意BE＝2，AE＝CE＝4，
设DE＝x，故AD＝2＋x，因为AD2＝AE2＋DE2，解得x＝3，
故该球的半径AD＝5，所以V＝43πR3＝500π3(cm3).
7．已知点A，B是双曲线x2－y
2
2＝1上的两点，O为坐标原点，且满足OA
→·OB→＝0，则点O
到直线AB的距离等于()
A.2B.3C．2D．22
答案A
解析由OA→·OB→＝0?OA⊥OB，由于双曲线为中心对称图形，因此可考查特殊情况，令
点A为直线y＝x与双曲线在第一象限的交点，因此点B为直线y＝－x与双曲线在第四
象限的一个交点，因此直线AB与x轴垂直，点O到直线AB的距离就为点A或点B的
横坐标的值．由
??
??
?x2－y22＝1
y＝x
?x＝2.故选A.
8．设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中
正确的命题是()
①P∈a，P∈α?a?α
②a∩b＝P，b?β?a?β
③a∥b，a?α，P∈b，P∈α?b?α
④α∩β＝b，P∈α，P∈β?P∈b
A．①②B．②③C．①④D．③④
答案D
解析当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a?α，∴①错；当a∩β＝P时，②错；
如图，∵a∥b，P∈b，∴P?a，
∴由直线a与点P确定唯一平面α，
又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，
∴β与α重合，∴b?α，故③正确；
两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．
9．已知△ABC的顶点B，C在椭圆x
2
12＋
y2
16＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另
一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是()
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A．23B．43C．8D．16
答案D
解析由椭圆定义可知，△ABC的周长等于4a＝4×4＝16.
10．如图，设动点P在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1的对角线
BD1上，记D1PD
1B
＝λ.当∠APC为钝角时，则λ的取值范围是()
A.????0，13B.????0，12
C.????12，1D.????13，1
答案D
解析由题设可知，以DA→、DC→、DD1→为单位正交基底，
建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则有
A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，
D1(0,0,1)．
由D1B→＝(1,1，－1)得
D1P→＝λD1B→＝(λ，λ，－λ)，
所以PA→＝PD1→＋D1A→
＝(－λ，－λ，λ)＋(1,0，－1)＝(1－λ，－λ，λ－1)，
PC→＝PD1→＋D1C→＝(－λ，－λ，λ)＋(0,1，－1)
＝(－λ，1－λ，λ－1)．
显然∠APC不是平角，所以∠APC为钝角等价于
cos∠APC＝cos〈PA→，PC→〉＝PA
→·PC→
|PA→||PC→|
<0，
这等价于PA→·PC→<0，
即(1－λ)(－λ)＋(－λ)(1－λ)＋(λ－1)2
＝(λ－1)(3λ－1)<0，得13<λ<1.
因此，λ的取值范围为????13，1.
11．如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为H，则以下命题中，
错误的命题是()
A．点H是△A1BD的垂心
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B．AH垂直于平面CB1D1
C．AH的延长线经过点C1
D．直线AH和BB1所成角为45°
答案D
解析△A1BD为正三角形，其重心、外心、中心合一．
∵AB＝AA1＝AD，∴H到△A1BD各顶点的距离相等，∴A正确；∵CD1∥BA1，CB1∥DA1，
CD1∩CB1＝C，BA1∩DA1＝A1，∴平面CB1D1∥平面A1BD，∴AH⊥平面CB1D1，∴B
正确；连接AC1，则AC1⊥B1D1，∵B1D1∥BD，∴AC1⊥BD，同理AC1⊥BA1，∴AC1⊥
平面A1BD，∴A、H、C1三点共线，∴C正确，故选D.
12．若椭圆x
2
m＋
y2
n＝1(m>0，n>0)与曲线x
2＋y2＝|m－n|无交点，则椭圆的离心率e的取值范
围是
()
A.????32，1B.????0，32
C.????22，1D.????0，22
答案D
解析由于m，n可互换而不影响，可令m>n，
则
??
??
?x2m＋y2n＝1，
x2＋y2＝m－n，
则x2＝2mn－m
2
n－m，
若两曲线无交点，则x2<0，即m<2n.
则e＝m－nm<
m－m2
m＝
2
2.
又∵0
二、填空题
13．设直线x－my－1＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A，B两点，且弦AB的长为23，
则实数m的值是______．
答案±33
解析由条件可知圆心(1,2)到直线x－my－1＝0的距离d＝4－3＝1，即|1－2m－1|1＋m2＝
1，解得m＝±33.
14．已知抛物线y2＝－2px(p>0)的焦点F恰好是椭圆x
2
a2＋
y2
b2＝1(a>b>0)的左焦点，且两曲线
的公共点的连线过点F，则该椭圆的离心率为________．
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答案2－1
解析由题意得，F????－p2，0，设椭圆的右焦点为M，椭圆与抛物线的一个交点为A，
则|AF|＝p，|FM|＝p，∴|AM|＝2p.
∴椭圆长半轴长a＝|AF|＋|AM|2＝2＋12p，
椭圆的半焦距c＝p2.
∴椭圆的离心率e＝ca＝12＋1＝2－1.
15．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、
CD的中点，N是BC的中点，动点M在四边形EFGH上及其内部运动，则M满足条
件________时，有MN∥平面B1BDD1.
答案M∈线段FH
解析因为HN∥BD，HF∥DD1，所在平面NHF∥平面B1BDD1，故线段FH上任意点
M与N相连，都有MN∥平面B1BDD1.
16．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，点M∈AB1，N∈BC1，且AM＝BN≠2，
有以下四个结论：
①AA1⊥MN；②A1C1∥MN；③MN∥平面A1B1C1D1；④MN与A1C1是异面直线．
其中正确结论的序号是________．(注：把你认为正确结论的序号都填上)
答案①③
解析过N作NP⊥BB1于点P.连接MP，可证AA1⊥平面MNP，
∴AA1⊥MN，①正确．
过M、N分别作MR⊥A1B1、NS⊥B1C1于点R、S，
则当M不是AB1的中点，N不是BC1的中点时，
直线A1C1与直线RS相交；
当M、N分别是AB1、BC1的中点时，A1C1∥RS，∴A1C1与MN可以异面，也可以平行，
故②④错误．由①正确知，AA1⊥平面MNP，而AA1⊥平面A1B1C1D1，∴平面MNP∥
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平面A1B1C1D1，故③对．综上所述，其中正确结论的序号是①③.
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