2014年高考数学（理）考前三个月二轮复习冲刺训练素材：4高频考题保温练（www

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训练4高频考题保温练

内容：立体几何、解析几何

一、选择题

1．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()



A．2π＋23B．4π＋23

C．2π＋233D．4π＋233

答案C

解析由几何体的三视图可知，该几何体由一个底面直径和高都是2的圆柱和一个底面

边长为2，侧棱长为2的正四棱锥叠放而成．故该几何体的体积为V＝π×12×2＋13

×(2)2×3＝2π＋233，故选C.

2．在△ABC中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°(如图所示)，若将△ABC绕BC边所在直

线旋转一周，则所形成的旋转体的体积是()



A.92πB.72π

C.52πD.32π

答案D

解析如图所示，该旋转体的体积为圆锥CD与圆锥BD的体积之差，

由已知求得BD＝1.所以V＝V圆锥CD－V圆锥BD＝13×π×3×52－13

×π×3×1＝32π.

3．已知a≠0，直线ax＋(b＋2)y＋4＝0与直线ax＋(b－2)y－3＝0互相垂直，则ab的最大

值为()

A．0B．2C．4D.2

答案B

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解析若b＝2，两直线方程为y＝－a4x－1和x＝3a，此时两直线相交但不垂直．若b＝

－2，两直线方程为x＝－4a和y＝a4x－34，此时两直线相交但不垂直．若b≠±2，此时，

两直线方程为y＝－ab＋2x－4b＋2和y＝－ab－2x＋3b－2，此时两直线的斜率分别为－

a

b＋2，－

a

b－2，由?

?

?

?－a

b＋2·?

?

?

?－a

b－2＝－1得a

2＋b2＝4.因为a2＋b2＝4≥2ab，所以

ab≤2，即ab的最大值是2，当且仅当a＝b＝2时取等号，所以选B.

4．直线y＝kx＋3与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥23，则k的取值

范围是()

A.????－34，0B.????－33，33

C.[]－3，3D.????－23，0

答案B

解析如图，若|MN|＝23，则由圆与直线的位置关系可知圆心到直

线的距离满足d2＝22－(3)2＝1.∵直线方程为y＝kx＋3，

∴d＝|k·2－3＋3|1＋k2＝1，解得k＝±33.若|MN|≥23，则－33≤k≤33.



5．如图是某个正方体的侧面展开图，l1，l2是两条侧面对角线，则在正方体中，l1与l2()



A．互相平行

B．异面且互相垂直

C．异面且夹角为π3

D．相交且夹角为π3

答案D

解析将侧面展开图还原成正方体如图所示，则B，C两点重合，

故l1与l2相交，连接AD，△ABD为正三角形，

所以l1与l2的夹角为π3.故选D.



6．(2013·课标全国Ⅰ)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，

容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好

接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为

()

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A.500π3cm3B.866π3cm3

C.1372π3cm3D.2048π3cm3

答案A

解析作出该球轴截面如图所示，依题意BE＝2，AE＝CE＝4，

设DE＝x，故AD＝2＋x，因为AD2＝AE2＋DE2，解得x＝3，

故该球的半径AD＝5，所以V＝43πR3＝500π3(cm3).



7．已知点A，B是双曲线x2－y

2

2＝1上的两点，O为坐标原点，且满足OA

→·OB→＝0，则点O

到直线AB的距离等于()

A.2B.3C．2D．22

答案A

解析由OA→·OB→＝0?OA⊥OB，由于双曲线为中心对称图形，因此可考查特殊情况，令

点A为直线y＝x与双曲线在第一象限的交点，因此点B为直线y＝－x与双曲线在第四

象限的一个交点，因此直线AB与x轴垂直，点O到直线AB的距离就为点A或点B的

横坐标的值．由

??

??

?x2－y22＝1

y＝x

?x＝2.故选A.

8．设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中

正确的命题是()

①P∈a，P∈α?a?α

②a∩b＝P，b?β?a?β

③a∥b，a?α，P∈b，P∈α?b?α

④α∩β＝b，P∈α，P∈β?P∈b

A．①②B．②③C．①④D．③④

答案D

解析当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a?α，∴①错；当a∩β＝P时，②错；

如图，∵a∥b，P∈b，∴P?a，

∴由直线a与点P确定唯一平面α，

又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，

∴β与α重合，∴b?α，故③正确；

两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．

9．已知△ABC的顶点B，C在椭圆x

2

12＋

y2

16＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另

一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是()

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A．23B．43C．8D．16

答案D

解析由椭圆定义可知，△ABC的周长等于4a＝4×4＝16.

10．如图，设动点P在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1的对角线

BD1上，记D1PD

1B

＝λ.当∠APC为钝角时，则λ的取值范围是()

A.????0，13B.????0，12

C.????12，1D.????13，1

答案D

解析由题设可知，以DA→、DC→、DD1→为单位正交基底，

建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则有

A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，

D1(0,0,1)．

由D1B→＝(1,1，－1)得

D1P→＝λD1B→＝(λ，λ，－λ)，

所以PA→＝PD1→＋D1A→

＝(－λ，－λ，λ)＋(1,0，－1)＝(1－λ，－λ，λ－1)，

PC→＝PD1→＋D1C→＝(－λ，－λ，λ)＋(0,1，－1)

＝(－λ，1－λ，λ－1)．

显然∠APC不是平角，所以∠APC为钝角等价于

cos∠APC＝cos〈PA→，PC→〉＝PA

→·PC→

|PA→||PC→|

<0，

这等价于PA→·PC→<0，

即(1－λ)(－λ)＋(－λ)(1－λ)＋(λ－1)2

＝(λ－1)(3λ－1)<0，得13<λ<1.

因此，λ的取值范围为????13，1.

11．如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为H，则以下命题中，

错误的命题是()



A．点H是△A1BD的垂心

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B．AH垂直于平面CB1D1

C．AH的延长线经过点C1

D．直线AH和BB1所成角为45°

答案D

解析△A1BD为正三角形，其重心、外心、中心合一．

∵AB＝AA1＝AD，∴H到△A1BD各顶点的距离相等，∴A正确；∵CD1∥BA1，CB1∥DA1，

CD1∩CB1＝C，BA1∩DA1＝A1，∴平面CB1D1∥平面A1BD，∴AH⊥平面CB1D1，∴B

正确；连接AC1，则AC1⊥B1D1，∵B1D1∥BD，∴AC1⊥BD，同理AC1⊥BA1，∴AC1⊥

平面A1BD，∴A、H、C1三点共线，∴C正确，故选D.

12．若椭圆x

2

m＋

y2

n＝1(m>0，n>0)与曲线x

2＋y2＝|m－n|无交点，则椭圆的离心率e的取值范

围是

()

A.????32，1B.????0，32

C.????22，1D.????0，22

答案D

解析由于m，n可互换而不影响，可令m>n，

则

??

??

?x2m＋y2n＝1，

x2＋y2＝m－n，

则x2＝2mn－m

2

n－m，

若两曲线无交点，则x2<0，即m<2n.

则e＝m－nm<

m－m2

m＝

2

2.

又∵0
二、填空题

13．设直线x－my－1＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A，B两点，且弦AB的长为23，

则实数m的值是______．

答案±33

解析由条件可知圆心(1,2)到直线x－my－1＝0的距离d＝4－3＝1，即|1－2m－1|1＋m2＝

1，解得m＝±33.

14．已知抛物线y2＝－2px(p>0)的焦点F恰好是椭圆x

2

a2＋

y2

b2＝1(a>b>0)的左焦点，且两曲线

的公共点的连线过点F，则该椭圆的离心率为________．

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答案2－1

解析由题意得，F????－p2，0，设椭圆的右焦点为M，椭圆与抛物线的一个交点为A，

则|AF|＝p，|FM|＝p，∴|AM|＝2p.

∴椭圆长半轴长a＝|AF|＋|AM|2＝2＋12p，

椭圆的半焦距c＝p2.

∴椭圆的离心率e＝ca＝12＋1＝2－1.

15．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、

CD的中点，N是BC的中点，动点M在四边形EFGH上及其内部运动，则M满足条

件________时，有MN∥平面B1BDD1.



答案M∈线段FH

解析因为HN∥BD，HF∥DD1，所在平面NHF∥平面B1BDD1，故线段FH上任意点

M与N相连，都有MN∥平面B1BDD1.

16．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，点M∈AB1，N∈BC1，且AM＝BN≠2，

有以下四个结论：



①AA1⊥MN；②A1C1∥MN；③MN∥平面A1B1C1D1；④MN与A1C1是异面直线．

其中正确结论的序号是________．(注：把你认为正确结论的序号都填上)

答案①③

解析过N作NP⊥BB1于点P.连接MP，可证AA1⊥平面MNP，

∴AA1⊥MN，①正确．

过M、N分别作MR⊥A1B1、NS⊥B1C1于点R、S，

则当M不是AB1的中点，N不是BC1的中点时，

直线A1C1与直线RS相交；

当M、N分别是AB1、BC1的中点时，A1C1∥RS，∴A1C1与MN可以异面，也可以平行，

故②④错误．由①正确知，AA1⊥平面MNP，而AA1⊥平面A1B1C1D1，∴平面MNP∥

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平面A1B1C1D1，故③对．综上所述，其中正确结论的序号是①③.