2014年高考数学（理）考前三个月二轮复习冲刺训练素材：5经典小题强化练（www

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训练5经典小题强化练

内容：计数原理、概率与统计

一、选择题

1．某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的4个车

位连在一起，则不同的停放方法的种数为()

A．16B．18C．24D．32

答案C

解析先排3辆需要停的车有A33种，排完后有4个空，把4个剩车位捆在一起，选一

个空放有C14种，所以共有A33C14＝24(种)．

2．设(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a2＋a4＋…＋a2n的值为()

A．3

n＋1

2B．

3n－1

2C．3

n－2D．3n

答案B

解析当x＝1时，a0＋a1＋a2＋…＋a2n＝3n，①

当x＝－1时，a0－a1＋a2－…＋a2n＝1，②

当x＝0时，a0＝1，③

①＋②得：a0＋a2＋…＋a2n＝3

n＋1

2，

将③代入得：a2＋a4＋…＋a2n＝3

n－1

2.

3．电子钟一天显示的时间是从00：00到23：59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中

任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为()

A．1180B．1288C．1360D．1480

答案C

解析当“时”的两位数字的和小于9时，则“分”的那两位数字的和要求超过14，

这是不可能的．所以只有“时”的和为9(即“09”或“18”)，“分”的和为

14(“59”)；或者“时”的和为10(即“19”)，“分”的和为13(“49”或“58”)．共

计有4种情况．因为一天24小时共有24×60分钟，所以概率P＝424×60＝1360.故应选

C.

4．(2013·辽宁)某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依

次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人

数是()

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A．45B．50C．55D．60

答案B

解析由频率分布直方图知，低于60分的频率为(0.01＋0.005)×20＝0.3.

∴该班学生人数n＝150.3＝50.

5．箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球．从箱中一次摸出两个球，记下号码并

放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的

概率是()

A.16625B.96625

C.624625D.4625

答案B

解析若摸出的两球中含有4，必获奖，有5种情形；若摸出的两球是2,6，也能获奖．故

获奖的情形共6种，获奖的概率为6C2

6

＝25.现有4人参与摸奖，恰有3人获奖的概率是

C34????253·35＝96625.

6．一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1个球，然后放回袋中再取1个球，

则取出的2个球同色的概率为()

A.12B.13C.14D.25

答案A

解析把红球标记为红1、红2，白球标记为白1、白2，本试验中基本事件共有16个，

其中2个球同色的事件有8个：红1、红1，红1、红2，红2、红1，红2、红2，白1、

白1，白1、白2，白2、白1，白2、白2，故所求概率为P＝816＝12.

7．已知Rt△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，E在△ABC内任意移

动，则E位于△ACD内的概率为()

A.35B.34C.1625D.45

答案C

解析∵AB＝3，AC＝4，∴BC＝5.

∴12×3×4＝12×5×AD，

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∴AD＝125，∴CD＝165，

∴P＝S△ADCS

△ABC

＝

1

2×

12

5×

16

5

1

2×3×4

＝1625.

8．在平行四边形ABCD中，O是AC与BD的交点，P、Q、M、N分别是线段OA、OB、

OC、OD的中点，在A、P、M、C中任取一点记为E，在B、Q、N、D中任取一点记

为F，设G为满足向量OG→＝OE→＋OF→的点，则在上述的点G组成的集合中的点，落在

平行四边形ABCD外(不含边界)的概率为

()



A.14B.12C.34D.38

答案C

解析按以下两种情况进行分类：

①若点E选在P、M点，则点G组成的集合中的点落在平行四边形ABCD外有4个；

②若点E选在A、C点，则点G组成的集合中的点落在平行四边形ABCD外有8个；

所以点G组成的集合中的点落在平行四边形ABCD外(不含边界)的概率为：P＝4＋84×4＝

3

4.

9．“母亲节”当天某种鲜花进货价是每束2.5元，销售价是每束5元；当天卖不出去的鲜

花以每束1.6元的价格处理．根据前四年销售情况预测，“母亲节”当天这种鲜花的需

求量X服从如下表所示的分布列：

X200300400500

P0.200.350.300.15

若进这种鲜花500束，则“母亲节”当天利润的均值为()

A．706元B．690元

C．754元D．720元

答案A

解析前四年“母亲节”当天售出鲜花的期望E(X)＝200×0.2＋300×0.35＋400×0.3

＋500×0.15＝340，则“母亲节”当天利润的均值为340×2.5＋160×(－0.9)＝706.

10．在区间(0,1)上任取两个数，则两个数之和小于65的概率是()

A.1225B.1325C.1625D.1725

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答案D

解析设这两个数是x，y，则试验所有的基本事件构成的区域是

?

??0
?

?

?0
x＋y<65

确定的平面区域，如图阴影部分所示．阴影部分的面

积是1－12×????452＝1725，

所以两个数之和小于65的概率是1725.

11．若在区间[－5,5]内任取一个实数a，则使直线x＋y＋a＝0与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝2有公

共点的概率为()

A.25B.25C.35D.3210

答案B

解析若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离d＝|1－2＋a|2＝|a－1|2≤2，解得－

1≤a≤3，又a∈[－5,5]，故所求概率为410＝25，故选B.

12．国庆节放假，甲去北京旅游的概率为13，乙、丙去北京旅游的概率分别为14、15.假定三人

的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为()

A.5960B.35C.12D.160

答案B

解析用A、B、C分别表示甲、乙、丙三人去北京旅游的事件．三人均不去北京的概

率为P(ABC)＝P(A)·P(B)·P(C)＝23×34×45＝25，故至少有1人去北京旅游的

概率为1－25＝35.

二、填空题

13．(1＋x＋x2)????x－1x6的展开式中的常数项为________．

答案－5

解析????x－1x6的展开式的通项为

Tk＋1＝Ck6x6－k????－1xk＝(－1)kCk6x6－2k，

由6－2k＝0，得k＝3,

由6－2k＝－1得k＝72，故不存在含x－1的项，

由6－2k＝－2得k＝4，

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∴T4＝(－1)3C36x0＝－20，T5＝(－1)4C46x－2＝15x－2，

∴(1＋x＋x2)????x－1x6的展开式中的常数项为1×(－20)＋x2×(15x－2)＝－20＋15＝－5.

14．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m，n，设a＝(m，n)，则满足|a|<5的概率为

________．

答案1336

解析∵|a|<5，∴m2＋n2<25，

当n＝1时，m＝1,2,3,4；当n＝2时，m＝1,2,3,4；当n＝3时，m＝1,2,3；当n＝4时，

m＝1,2，共13种，

∴P＝136×6＝1336.

15．盒中装有7个零件，其中2个是使用过的，另外5个未经使用．从盒中随机抽取2个零

件，使用后放回盒中，记此时盒中使用过的零件个数为X，则X的数学期望E(X)＝______.

答案247

解析X可能取值有2、3、4，P(X＝2)＝C

2

2

C27＝

1

21.

P(X＝3)＝C

1

2C

1

5

C27＝

10

21.P(X＝4)＝

C25

C27＝

10

21.

E(X)＝2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＋4×P(X＝4)＝247.

16．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自

由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋

或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率

都是12，则小球落入A袋中的概率为________．

答案34

解析记“小球落入A袋中”为事件A，“小球落入B袋中”为事件B，则事件A的

对立事件为B，若小球落入B袋中，则小球必须一直向左落下或一直向右落下，

故P(B)＝????123＋????123＝14，

从而P(A)＝1－P(B)＝1－14＝34.