Gothedistance
专题二万能答题模板——助你解题得高
分
数学解答题题型解读
数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型，通常是高考的把关题和压轴题，具有较
好的区分层次和选拔功能．目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和
能力的综合型解答题．要求考生具有一定的创新意识和创新能力等特点，解答题综合考查运
算能力、逻辑思维能力、空间想象能力和分析问题、解决问题的能力．
针对不少同学答题格式不规范，出现“会而不对，对而不全”的问题，规范每种题型的
万能答题模板，按照规范的解题程序和答题格式分步解答，实现答题步骤的最优化．
万能答题模板以数学方法为载体，清晰梳理解题思路，完美展现解题程序，把所有零散
的解题方法与技巧整合到不同的模块中，再把所有的题目归纳到不同的答题模板中，真正做
到题题有方法，道道有模板，使学生从题海中上岸，知点通面，在高考中处于不败之地，解
题得高分．
模板1三角函数的性质问题
例1已知函数f(x)＝cos2????x＋π12，g(x)＝1＋12sin2x.
(1)设x＝x0是函数y＝f(x)图象的一条对称轴，求g(x0)的值；
(2)求函数h(x)＝f(x)＋g(x)的单调递增区间．
审题破题(1)由x＝x0是y＝f(x)的对称轴可得g(x0)取到f(x)的最值；(2)将h(x)化成y＝
Asin(ωx＋φ)的形式．
解(1)f(x)＝12????1＋cos????2x＋π6，
因为x＝x0是函数y＝f(x)图象的一条对称轴，
所以2x0＋π6＝kπ(k∈Z)，
即2x0＝kπ－π6(k∈Z)．
所以g(x0)＝1＋12sin2x0＝1＋12sin????kπ－π6，k∈Z.
当k为偶数时，g(x0)＝1＋12sin????－π6＝1－14＝34.
当k为奇数时，g(x0)＝1＋12sinπ6＝1＋14＝54.
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(2)h(x)＝f(x)＋g(x)
＝12[1＋cos????2x＋π6]＋1＋12sin2x
＝12????32cos2x＋12sin2x＋32
＝12sin????2x＋π3＋32.
当2kπ－π2≤2x＋π3≤2kπ＋π2(k∈Z)，
即kπ－5π12≤x≤kπ＋π12(k∈Z)时，
函数h(x)＝12sin????2x＋π3＋32是增函数．
故函数h(x)的单调递增区间为
????kπ－
5π
12，kπ＋
π
12(k∈Z)．
第一步：三角函数式的化简，一般化成y＝Asin(ωx＋φ)＋h的形式，即化为“一角、
一次、一函数”的形式；
第二步：由y＝sinx、y＝cosx的性质，将ωx＋φ看做一个整体，解不等式，求角的
范围或函数值的范围；
第三步：得到函数的单调性或者角、函数值的范围，规范写出结果；
第四步：反思回顾，检查公式使用是否有误，结果估算是否有误．
跟踪训练1已知函数f(x)＝2cosx·sin????x＋π3－3sin2x＋sinxcosx＋1.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)的最大值及最小值；
(3)写出函数f(x)的单调递增区间．
解f(x)＝2cosx????12sinx＋32cosx－3sin2x＋sinx·cosx＋1
＝2sinxcosx＋3(cos2x－sin2x)＋1
＝sin2x＋3cos2x＋1
＝2sin????2x＋π3＋1.
(1)函数f(x)的最小正周期为2π2＝π.
(2)∵－1≤sin????2x＋π3≤1，
∴－1≤2sin????2x＋π3＋1≤3.
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∴当2x＋π3＝π2＋2kπ，k∈Z，即x＝π12＋kπ，k∈Z时，f(x)取得最大值3；
当2x＋π3＝－π2＋2kπ，k∈Z，即x＝－5π12＋kπ，k∈Z时，f(x)取得最小值－1.
(3)由－π2＋2kπ≤2x＋π3≤π2＋2kπ，k∈Z，
得－5π12＋kπ≤x≤π12＋kπ，k∈Z.
∴函数f(x)的单调递增区间为????－5π12＋kπ，π12＋kπ(k∈Z)．
模板2三角函数与向量、三角形
例2在锐角△ABC中，已知内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且3(tanA－tanB)＝1
＋tanA·tanB，又已知向量m＝(sinA，cosA)，n＝(cosB，sinB)，求|3m－2n|的取值范
围．
审题破题由已知A，B关系式化简，利用向量的数量积求出|3m－2n|并化简为一个角
的三角函数形式．
解因为3(tanA－tanB)＝1＋tanA·tanB，
所以tanA－tanB1＋tanA·tanB＝33，即tan(A－B)＝33，
又△ABC为锐角三角形，则0
所以－π2
又|3m－2n|2＝9m2＋4n2－12m·n
＝13－12sin(A＋B)＝13－12sin????2B＋π6.
又0
所以π6
所以sin????2B＋π6∈????12，1，所以|3m－2n|2∈(1,7)．
故|3m－2n|的取值范围是(1，7)．
第一步：进行三角变换，求出某个角的值或者范围；
第二步：脱去向量的外衣，利用向量的运算将所求的式子转化为一个角的三角函数
问题；
第三步：得到函数的单调性或者角、函数值的范围，规范写出结果；
第四步：反思回顾，检查公式使用是否有误，结果估算是否有误．
跟踪训练2已知a＝(2cosx＋23sinx,1)，b＝(y，cosx)，且a∥b.
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(1)将y表示成x的函数f(x)，并求f(x)的最小正周期；
(2)记f(x)的最大值为M，a、b、c分别为△ABC的三个内角A、B、C对应的边长，若
f????A2＝M，且a＝2，求bc的最大值．
解(1)由a∥b得2cos2x＋23sinxcosx－y＝0，
即y＝2cos2x＋23sinxcosx＝cos2x＋3sin2x＋1
＝2sin????2x＋π6＋1，
所以f(x)＝2sin????2x＋π6＋1，
又T＝2πω＝2π2＝π.
所以函数f(x)的最小正周期为π.
(2)由(1)易得M＝3，于是由f????A2＝M＝3，
得2sin????A＋π6＋1＝3?sin????A＋π6＝1，
因为A为三角形的内角，故A＝π3.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA得4＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，解得bc≤4.
于是当且仅当b＝c＝2时，bc取得最大值4.
模板3空间平行或垂直关系的证明
例3如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，E、F分别为
PC、BD的中点，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝22AD.
(1)求证：EF∥平面PAD；
(2)求证：平面PAB⊥平面PCD.
审题破题(1)根据中位线找线线平行关系，再利用线面平行的判定定理．(2)先利用线
面垂直的判定定理，再利用性质定理．
证明(1)连接AC，则F是AC的中点，又∵E为PC的中点，
∴在△CPA中，EF∥PA，
又∵PA?平面PAD，EF?平面PAD，
∴EF∥平面PAD.
(2)∵平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，
又∵CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PA.
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又PA＝PD＝22AD，∴△PAD是等腰直角三角形，
且∠APD＝90°，即PA⊥PD.
又∵CD∩PD＝D，∴PA⊥平面PCD，
又∵PA?平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD.
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第一步：将题目条件和图形结合起来；
第二步：根据条件寻找图形中的平行、垂直关系；
第三步：和要证结论相结合，寻找已知的垂直、平行关系和要证关系的联系；
第四步：严格按照定理条件书写解题步骤.
跟踪训练3(2013·山东)如图，四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝
2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．
(1)求证：CE∥平面PAD；
(2)求证：平面EFG⊥平面EMN.
证明(1)方法一取PA的中点H，连接EH，DH.
又E为PB的中点，
所以EH綊12AB.
又CD綊12AB，所以EH綊CD.
所以四边形DCEH是平行四边形，所以CE∥DH.
又DH?平面PAD，CE?平面PAD.
所以CE∥平面PAD.
方法二连接CF.
因为F为AB的中点，
所以AF＝12AB.
又CD＝12AB，所以AF＝CD.
又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形．
因此CF∥AD，又CF?平面PAD，
所以CF∥平面PAD.
因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA.
又EF?平面PAD，所以EF∥平面PAD.
因为CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD.
又CE?平面CEF，所以CE∥平面PAD.
(2)因为E、F分别为PB、AB的中点，所以EF∥PA.
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又因为AB⊥PA，
所以EF⊥AB，同理可证AB⊥FG.
又因为EF∩FG＝F，EF?平面EFG，FG?平面EFG.
所以AB⊥平面EFG.
又因为M，N分别为PD，PC的中点，所以MN∥CD，
又AB∥CD，所以MN∥AB，所以MN⊥平面EFG.
又因为MN?平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.
模板4空间角的求解问题
例4(2012·浙江)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为23的菱形，∠BAD＝120°，
且PA⊥平面ABCD，PA＝26，M，N分别为PB，PD的中点．
(1)证明：MN∥平面ABCD；
(2)过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A－MN－Q的平面角的余弦值．
审题破题(1)由M、N分别为PB、PD的中点，可利用△PBD的中位线得到MN∥BD；
(2)利用空间向量来解．
(1)证明连接BD，因为M，N分别是PB，PD的中点，
所以MN是△PBD的中位线，所以MN∥BD.
又因为MN?平面ABCD，BD?平面ABCD，
所以MN∥平面ABCD.
(2)解连接AC交BD于点O，以O为原点，OC，OD所在直线为
x，y轴，建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示．
在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，
得AC＝AB＝23，BD＝3AB＝6.
又因为PA⊥平面ABCD，
所以PA⊥AC.在直角△PAC中，
AC＝23，PA＝26，AQ⊥PC，得QC＝2，PQ＝4.
由此知各点坐标如下：
A(－3，0,0)，B(0，－3,0)，C(3，0,0)，D(0,3,0)，
P(－3，0,26)，M????－32，－32，6，N????－32，32，6，
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Q????33，0，263.
设m＝(x，y，z)为平面AMN的法向量，
由AM→＝????32，－32，6，AN→＝????32，32，6知
?
?
?32x－32y＋6z＝0，
3
2x＋
3
2y＋6z＝0.
取z＝－1，得m＝(22，0，－1)．
设n＝(x，y，z)为平面QMN的法向量，
由QM→＝????－536，－32，63，QN→＝????－536，32，63知
?
?
?－536x－32y＋63z＝0，
－536x＋32y＋63z＝0.
取z＝5，得n＝(22，0,5)．
于是cos〈m，n〉＝m·n|m|·|n|＝3333.
所以二面角A－MN－Q的平面角的余弦值为3333.
第一步：作出?或找出?具有公共交点的三条相互垂直的直线；
第二步：建立空间直角坐标系，设出特征点坐标；
第三步：求半平面的法向量n，m；
第四步：求法向量n，m的夹角或cos〈m，n〉；
第五步：将法向量的夹角转化为二面角，要注意直观判定二面角的大小；
第六步：反思回顾.查看关键点、易错点及解题规范.
跟踪训练4(2013·江西)如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为BD的中点，G
为PD的中点，△DAB≌△DCB，EA＝EB＝AB＝1，PA＝32，连接CE并延长交AD于
F.
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(1)求证：AD⊥平面CFG；
(2)求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值．
(1)证明在△ABD中，因为E为BD中点，
所以EA＝EB＝ED＝AB＝1，故∠BAD＝π2，
∠ABE＝∠AEB＝π3.
因为△DAB≌△DCB，所以△EAB≌△ECB，
从而有∠FED＝∠BEC＝∠AEB＝π3，
所以∠FED＝∠FEA.
故EF⊥AD，AF＝FD，∴EF∥AB，GF∥PA.
又∵PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，
∴GF⊥AD，EF⊥AD，
故AD⊥平面CFG.
(2)解以A为坐标原点建立如图所示的坐标系，
则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C????32，32，0，
D(0，3，0)，P????0，0，32，
故BC→＝????12，32，0，CP→＝????－32，－32，32，
CD→＝????－32，32，0.
设平面BCP的法向量n1＝(x1，y1，z1)，
则
??
??
?n1·CP→＝0
n1·BC→＝0
即
?
?
?－32x1－32y1＋32z1＝0
1
2x1＋
3
2y1＝0
令y1＝－3，则x1＝3，z1＝2，n1＝(3，－3，2)．
同理求得面DCP的法向量n2＝(1，3，2)，
从而平面BCP与平面DCP的夹角θ的余弦值为
cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝|n1·n2||n
1||n2|
＝44×22＝24.
模板5数列通项公式的求解问题
例5设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，n∈N，且a1，a2＋5，a3成
等差数列．
(1)求a1的值；
(2)求数列{an}的通项公式．
审题破题(1)可令n＝1，n＝2得关系式联立求a1；(2)由已知可得n≥2时，2Sn－1＝an
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－2n＋1，两式相减．
解(1)当n＝1时，2a1＝a2－4＋1＝a2－3，①
当n＝2时，2(a1＋a2)＝a3－8＋1＝a3－7，②
又a1，a2＋5，a3成等差数列，所以a1＋a3＝2(a2＋5)，③
由①②③解得a1＝1.
(2)∵2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，
∴当n≥2时，有2Sn－1＝an－2n＋1，
两式相减得an＋1－3an＝2n，
则an＋12n－32·an2n－1＝1，即an＋12n＋2＝32????an2n－1＋2.
又a120＋2＝3，知??????an2n－1＋2是首项为3，公比为32的等比数列，
∴an2n－1＋2＝3????32n－1，即an＝3n－2n，n＝1时也适合此式，
∴an＝3n－2n.
第一步：令n＝1，n＝2得出a1，a2，a3的两个方程，和已知a1，a2，a3的关系
联立求a1；
第二步：令n≥2得关系式后利用作差得an＋1，an的关系；
第三步：构造等比数列??????an2n＋1＋2，并求出通项；
第四步：求出数列{an}的通项．
跟踪训练5已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝2an＋(－1)n(n∈N)．
(1)求数列{an}的前三项a1，a2，a3；
(2)求证：数列??????an＋23?－1?n为等比数列，并求出{an}的通项公式．
(1)解在Sn＝2an＋(－1)n，n≥1中分别令n＝1,2,3，得
??
??
?a1＝2a1－1
a1＋a2＝2a2＋1
a1＋a2＋a3＝2a3－1
，解得
??
??
?a1＝1，
a2＝0，
a3＝2.
(2)证明由Sn＝2an＋(－1)n，n≥1得：
Sn－1＝2an－1＋(－1)n－1，n≥2.
两式相减得an＝2an－1－2(－1)n，n≥2.
an＝2an－1－43(－1)n－23(－1)n
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＝2an－1＋43(－1)n－1－23(－1)n，
∴an＋23(－1)n＝2????an－1＋
2
3?－1?
n－1(n≥2)．
故数列??????an＋23?－1?n是以a1－23＝13为首项，公比为2的等比数列．
所以an＋23(－1)n＝13×2n－1，
∴an＝13×2n－1－23×(－1)n.
模板6数列求和问题
例6(2012·江西)已知数列{an}的前n项和Sn＝－12n2＋kn(其中k∈N＋)，且Sn的最大值为8.
(1)确定常数k，并求an；
(2)求数列??????9－2an2n的前n项和Tn.
审题破题(1)由Sn的最大值，可据二次函数性质求k，因而确定an；(2)利用错位相减
法求和．
解(1)当n＝k∈N＋时，Sn＝－12n2＋kn取最大值，
即8＝Sk＝－12k2＋k2＝12k2，故k2＝16，因此k＝4，
从而an＝Sn－Sn－1＝92－n(n≥2)．
又a1＝S1＝72，所以an＝92－n.
(2)因为bn＝9－2an2n＝n2n－1，
Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1＋22＋322＋…＋n－12n－2＋n2n－1，
所以Tn＝2Tn－Tn＝2＋1＋12＋…＋12n－2－n2n－1
＝4－12n－2－n2n－1＝4－n＋22n－1.
第一步：利用条件求数列{bn}的通项公式；
第二步：写出Tn＝b1＋b2＋…＋bn的表达式；
第三步：分析表达式的结构特征、确定求和方法.?例如：公式法、裂项法，
本题用错位相减法?；
第四步：明确规范表述结论；
第五步：反思回顾.查看关键点，易错点及解题规范.如本题中在求an时，易
忽视对n＝1，n≥2时的讨论.
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跟踪训练6已知点????1，13是函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象上的一点．等比数列{an}的
前n项和为f(n)－c.数列{bn}(bn>0)的首项为c，且前n项和Sn满足Sn－Sn－1＝Sn＋Sn－1
(n≥2)．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)若数列??????1b
nbn＋1
的前n项和为Tn，问满足Tn>10012012的最小正整数n是多少？
解(1)∵f(1)＝a＝13，∴f(x)＝????13x.
由题意知，a1＝f(1)－c＝13－c，
a2＝[f(2)－c]－[f(1)－c]＝－29，
a3＝[f(3)－c]－[f(2)－c]＝－227.
又数列{an}是等比数列，
∴a1＝a
2
2
a3＝
4
81
－227
＝－23＝13－c，∴c＝1.
又公比q＝a2a
1
＝13，∴an＝－23·????13n－1
＝－2·????13n(n∈N)．
∵Sn－Sn－1＝(Sn－Sn－1)(Sn＋Sn－1)
＝Sn＋Sn－1(n≥2)．
又bn>0，Sn>0，∴Sn－Sn－1＝1.
∴数列{Sn}构成一个首项为1、公差为1的等差数列，
Sn＝1＋(n－1)×1＝n，即Sn＝n2.
当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，
当n＝1时，b1＝1也适合此通项公式．
∴bn＝2n－1(n∈N)．
(2)Tn＝1b
1b2
＋1b
2b3
＋1b
3b4
＋…＋1b
nbn＋1
＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋1?2n－1?×?2n＋1?
＝12×????1－13＋12×????13－15＋12×????15－17＋…＋12×????12n－1－12n＋1
＝12×????1－12n＋1＝n2n＋1.
由Tn＝n2n＋1>10012012，得n>100110，
∴满足Tn>10012012的最小正整数n的值为101.
模板7概率与统计问题
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例7某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)与该河上游在
六月份的降雨量X(单位：毫米)有关．据统计，当X＝70时，Y＝460；X每增加10，Y
增加5.已知近20年X的值为：140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,
140,110,160,220,140,160.
(1)完成下列频率分布表：
近20年六月份降雨量频率分布表
降雨量70110140160200220
频率
1
20
4
20
2
20
(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概
率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率．
审题破题(1)直接根据已知数据计算频率填表；(2)将频率视为概率，将所求事件写成
几个互斥事件的和，然后根据概率加法公式计算．
解(1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，160毫米的有7个，200毫米的有
3个．故近20年六月份降雨量频率分布表为
降雨量70110140160200220
频率
1
20
3
20
4
20
7
20
3
20
2
20
(2)由题意知，当X＝70时，Y＝460；
X每增加10，Y增加5，
故Y＝460＋5×X－7010＝X2＋425.
P(“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”)
＝P(Y<490或Y>530)＝P(X<130或X>210)
＝P(X＝70)＋P(X＝110)＋P(X＝220)
＝120＋320＋220＝310.
故今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率为310.
第一步：理解题目中的数据和变量的意义，完成频率分布表；
第二步：利用互斥事件的概率公式求概率、作答.
跟踪训练7(2013·陕西)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场
投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：
组别ABCDE
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人数5010015015050
(1)为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，
其中从B组中抽取了6人．请将其余各组抽取的人数填入下表．
组别ABCDE
人数5010015015050
抽取人数6
(2)在(1)中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到
的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．
解(1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表：
组别ABCDE
人数5010015015050
抽取人数36993
(2)记从A组抽到的3个评委为a1，a2，a3，其中a1，a2支持1号歌手；从B组抽到的6
个评委为b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1号歌手．从{a1，a2，a3}和{b1，b2，b3，
b4，b5，b6}中各抽取1人的所有结果为：
由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2
共4种，故所求概率P＝418＝29.
模板8离散型随机变量的分布列问题(理)
例8甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从6道备选题中一次
性抽取3道题独立作答，然后由乙回答剩余3题，每人答对其中2题就停止答题，即闯
关成功．已知在6道备选题中，甲能答对其中的4道题，乙答对每道题的概率都是23.
(1)求甲、乙至少有一人闯关成功的概率；
(2)设甲答对题目的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．
审题破题(1)对“甲、乙至少一人闯关成功”进行标记、分解，再利用概率公式求解；
(2)确定ξ的所有取值，计算ξ所有取值对应事件的概率写出分布列．
解(1)设甲、乙闯关成功分别为事件A、B，
则P(A)＝C
1
4·C
2
2
C36＝
4
20＝
1
5，P(B)＝(1－
2
3)
3＋C1
3·
2
3(1－
2
3)
2＝1
27＋
2
9＝
7
27，
则甲、乙至少有一人闯关成功的概率是
1－P(A·B)＝1－P(A)·P(B)＝1－15×727＝128135.
Gothedistance
(2)由题意知ξ的可能取值是1,2.
P(ξ＝1)＝C
1
4C
2
2
C36＝
1
5，P(ξ＝2)＝
C24C12＋C34
C36＝
4
5，
则ξ的分布列为
ξ12
P
1
5
4
5
∴E(ξ)＝1×15＋2×45＝95.
第一步：求解离散型随机变量的分布列及其期望，首先分清事件的构成与
性质，确定离散型随机变量的取值；
第二步：根据概率类型选择公式求解变量取每一个值的概率；
第三步：列出分布列的表格；
第四步：最后根据期望的定义式或计算公式求解其值；
第五步：反思回顾，根据分布列性质检验结果是否正确，计算是否正确.
跟踪训练8某师范大学地理学院决定从n位优秀毕业生(包括x位女学生，3位男学生)中
选派2位学生到某贫困山区的一所中学担任第三批顶岗实习教师，每一位学生被选派的
机会是相同的．
(1)若选派的2位学生中恰有1位女学生的概率为35，试求出n与x的值；
(2)在(1)的条件下，记X为选派的2位学生中女学生的人数，写出X的分布列．
解(1)若选派的2位学生中恰有1位女学生的概率为35，而从n位优秀毕业生中选派2
位学生担任第三批顶岗实习教师的总方法数为C2n＝n?n－1?2，2位学生中恰有1位女学
生的方法数为C1n－3C13＝(n－3)×3.
依题意可得C
1
n－3C
1
3
C2n＝
3?n－3?
n?n－1?
2
＝35，
化简得n2－11n＋30＝0，解得n1＝5，n2＝6.
当n＝5时，x＝5－3＝2；当n＝6时，x＝6－3＝3.
故所求的值为或
(2)当时，X可能的取值为0,1,2，
Gothedistance
X＝0表示只选派2位男生，这时P(X＝0)＝C
0
2C
2
3
C25＝
3
10，
X＝1表示选派1位男生与1位女生，这时P(X＝1)＝C
1
2C
1
3
C25＝
3
5，
X＝2表示只选派2位女生，这时P(X＝2)＝C
2
2C
0
3
C25＝
1
10.
X的分布列为
X012
P
3
10
3
5
1
10
当时，X可能的取值为0,1,2，
X＝0表示只选派2位男生，这时P(X＝0)＝C
2
3C
0
3
C26＝
1
5，
X＝1表示选派1位男生与1位女生，这时P(X＝1)＝C
1
3C
1
3
C26＝
3
5，
X＝2表示只选派2位女生，这时P(X＝2)＝C
0
3C
2
3
C26＝
1
5.
X的分布列为
X012
P
1
5
3
5
1
5
模板9圆锥曲线的定点问题
例9已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2－
1，离心率为e＝22.
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点(1,0)作直线l交E于P、Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M，使MP→·MQ→
为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由．
审题破题(1)利用待定系数法求E的方程；(2)探求定点可以先根据特殊情况找出点，
再对一般情况进行证明．
解(1)设椭圆E的方程为x
2
a2＋
y2
b2＝1(a>b>0)，
由已知得解得
所以b2＝a2－c2＝1.
所以椭圆E的方程为x
2
2＋y
2＝1.
(2)假设存在符合条件的点M(m,0)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则MP→＝(x1－m，y1)，MQ→＝(x2－m，y2)，MP→·MQ→＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2＝x1x2－m(x1＋
x2)＋m2＋y1y2.
Gothedistance
①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，
由得x2＋2k2(x－1)2－2＝0，
即(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0，
则x1＋x2＝4k
2
2k2＋1，x1x2＝
2k2－2
2k2＋1，
y1y2＝k2(x1－1)(x2－1)＝k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]＝－k
2
2k2＋1，
所以MP→·MQ→＝2k
2－2
2k2＋1－m·
4k2
2k2＋1＋m
2－k
2
2k2＋1
＝?2m
2－4m＋1?k2＋?m2－2?
2k2＋1.
因为对于任意的k值，MP→·MQ→为定值，
所以2m2－4m＋1＝2(m2－2)，得m＝54.
所以M????54，0，此时，MP→·MQ→＝－716.
②当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，
则x1＋x2＝2，x1x2＝1，y1y2＝－12，
由m＝54，得MP→·MQ→＝－716.
综上，符合条件的点M存在，且坐标为????54，0.
第一步：引进参数.从目标对应的关系式出发，引进相关参数.一般地，引进的参数是
直线的夹角、直线的斜率或直线的截距等；
第二步：列出关系式.根据题设条件，表达出对应的动态直线或曲线方程；
第三步：探求直线过定点.若是动态的直线方程，将动态的直线方程转化成y－y0＝
k?x－x0?的形式，则k∈R时直线恒过定点?x0，y0?；若是动态的曲线方程，将动态的
曲线方程转化成f?x，y?＋λg?x，y?＝0的形式，则λ∈R时曲线恒过的定点即是f?x，
y?＝0与g?x，y?＝0的交点；
第四步：下结论；
第五步：回顾反思.在解决圆锥曲线问题中的定点、定值问题时，引进参数的目的是
以这个参数为中介，通过证明目标关系式与参数无关，达到解决问题的目的.
跟踪训练9已知抛物线y2＝4x的焦点为F，直线l过点M(4,0)．
(1)若点F到直线l的距离为3，求直线l的斜率；
Gothedistance
(2)设A，B为抛物线上的两点，且直线AB不与x轴垂直，若线段AB的垂直平分线恰
过点M，求证：线段AB中点的横坐标为定值．
(1)解由已知得直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－4)，由题意知抛物线的
焦点坐标为(1,0)，
因为点F到直线l的距离为3，所以|3k|1＋k2＝3，
解得k＝±22，所以直线l的斜率为±22.
(2)证明设线段AB中点的坐标为N(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为直线AB不与
x轴垂直，所以AB斜率存在，
所以直线MN的斜率为y0x
0－4
，直线AB的斜率为4－x0y
0
，
直线AB的方程为y－y0＝4－x0y
0
(x－x0)，
联立方程得
消去x，得????1－x04y2－y0y＋y20＋x0(x0－4)＝0，
所以y1＋y2＝4y04－x
0
，
因为N为线段AB的中点，
所以y1＋y22＝y0，即2y04－x
0
＝y0，
所以x0＝2.即线段AB中点的横坐标为定值2.
模板10圆锥曲线中的范围、最值问题
例10已知双曲线x
2
a2－
y2
b2＝1(a>1，b>0)的焦距为2c，直线l过点(a,0)和(0，b)，且点(1,0)到
直线l的距离与点(－1,0)到直线l的距离之和s≥45c，求双曲线的离心率e的取值范围．
审题破题用a，b表示s可得关于a，b，c的不等式，进而转化成关于e的不等式，
求e的范围．
解设直线l的方程为xa＋yb＝1，即bx＋ay－ab＝0.
由点到直线的距离公式，且a>1，得到点(1,0)到直线l的距离d1＝b?a－1?a2＋b2，
同理可得点(－1,0)到直线l的距离为d2＝b?a＋1?a2＋b2，
于是s＝d1＋d2＝2aba2＋b2＝2abc.
由s≥45c，得2abc≥45c，即5ac2－a2≥2c2，
可得5e2－1≥2e2，即4e4－25e2＋25≤0，
Gothedistance
解得54≤e2≤5.
由于e>1，故所求e的取值范围是????52，5.
第一步：提取.从题设条件中提取不等关系式；
第二步：解不等式.求解含有目标参数的不等式，得到不等式的解集；
第三步：下结论.根据不等式的解集，并结合圆锥曲线中几何量的范围，得到所求参
数的取值范围；
第四步：回顾反思.根据题设条件给出的不等关系求参数的取值范围，要考虑圆锥曲
线自身的一些几何意义，如离心率的范围，圆锥曲线的定义中的a，b，c的大小关
系等.
跟踪训练10椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，短轴长为2，离心率为22，直
线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A，B，且AP→＝3PB→.
(1)求椭圆C的方程；
(2)求m的取值范围．
解(1)设椭圆C的方程为y
2
a2＋
x2
b2＝1(a>b>0)，
设c>0，c2＝a2－b2，
由题意，知2b＝2，ca＝22，所以a＝1，b＝c＝22.
故椭圆C的方程为y2＋x
2
1
2
＝1，即y2＋2x2＝1.
(2)设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)，l与椭圆C的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得(k2＋2)x2＋2kmx＋(m2－1)＝0，
Δ＝(2km)2－4(k2＋2)(m2－1)＝4(k2－2m2＋2)>0，()
x1＋x2＝－2kmk2＋2，x1x2＝m
2－1
k2＋2.
因为AP→＝3PB→，所以－x1＝3x2，
所以
所以3(x1＋x2)2＋4x1x2＝0.
所以3·??????－2kmk2＋22＋4·m
2－1
k2＋2＝0.
Gothedistance
整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0，
即k2(4m2－1)＋(2m2－2)＝0.
当m2＝14时，上式不成立；
当m2≠14时，k2＝2－2m
2
4m2－1，
由()式，得k2>2m2－2，
又k≠0，所以k2＝2－2m
2
4m2－1>0.
解得－1
即所求m的取值范围为????－1，－12∪????12，1.
模板11函数的单调性、极值、最值问题
例11已知函数f(x)＝2ax－a
2＋1
x2＋1(x∈R)．其中a∈R.
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)当a≠0时，求函数f(x)的单调区间与极值．
审题破题(1)直接求f′(x)，得f′(2)后写出切线方程；(2)求导函数f′(x)后要对a进
行讨论，可以列表观察函数f(x)的单调性，极值．
解(1)当a＝1时，f(x)＝2xx2＋1，f(2)＝45，
又f′(x)＝2?x
2＋1?－2x·2x
?x2＋1?2＝
2－2x2
?x2＋1?2，f′(2)＝－
6
25.
所以，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为
y－45＝－625(x－2)，即6x＋25y－32＝0.
(2)f′(x)＝2a?x
2＋1?－2x?2ax－a2＋1?
?x2＋1?2
＝－2?x－a??ax＋1??x2＋1?2.
由于a≠0，以下分两种情况讨论．
①当a＞0，令f′(x)＝0，得到x1＝－1a，x2＝a.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x(－∞，－
1
a)－
1
a(－
1
a，a)a(a，＋∞)
f′(x)－0＋0－
f(x)↘极小值↗极大值↘
所以f(x)在区间????－∞，－1a，(a，＋∞)内为减函数，
在区间????－1a，a内为增函数．
Gothedistance
函数f(x)在x1＝－1a处取得极小值f????－1a，
且f????－1a＝－a2.
函数f(x)在x2＝a处取得极大值f(a)，且f(a)＝1.
②当a＜0时，令f′(x)＝0，得到x1＝a，x2＝－1a，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x(－∞，a)a(a，－
1
a)－
1
a(－
1
a，＋∞)
f′(x)＋0－0＋
f(x)↗极大值↘极小值↗
所以f(x)在区间(－∞，a)，????－1a，＋∞内为增函数，在区间????a，－1a内为减函数．
函数f(x)在x1＝a处取得极大值f(a)，且f(a)＝1.
函数f(x)在x2＝－1a处取得极小值f(－1a)，
且f????－1a＝－a2.
第一步：确定函数的定义域．如本题函数的定义域为R.
第二步：求f(x)的导数f′(x)．
第三步：求方程f′(x)＝0的根．
第四步：利用f′(x)＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干
个小开区间，并列出表格．
第五步：由f′(x)在小开区间内的正、负值判断f(x)在小开区间内的单调性．
第六步：明确规范地表述结论．
第七步：反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范．如本题中f′(x)＝0的根为
x1＝－1a，x2＝a.要确定x1，x2的大小，就必须对a的正、负进行分类讨论．这就是
本题的关键点和易错点．
跟踪训练11已知函数f(x)＝alnx＋2a
2
x＋x(a≠0)．
(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x－2y＝0垂直，求实数a的值；
Gothedistance
(2)讨论函数f(x)的单调性；
(3)当a∈(－∞，0)时，记函数f(x)的最小值为g(a)，求证：g(a)≤12e2.
(1)解f(x)的定义域为{x|x>0}．
f′(x)＝ax－2a
2
x2＋1(x>0)．
根据题意，有f′(1)＝－2，所以2a2－a－3＝0，解得a＝－1或a＝32.
(2)解f′(x)＝ax－2a
2
x2＋1＝
x2＋ax－2a2
x2
＝?x－a??x＋2a?x2(x>0)．
①当a>0时，因为x>0，
由f′(x)>0得(x－a)(x＋2a)>0，解得x>a；
由f′(x)<0得(x－a)(x＋2a)<0，解得0
所以函数f(x)在(a，＋∞)上单调递增，在(0，a)上单调递减．
②当a<0时，因为x>0，
由f′(x)>0得(x－a)(x＋2a)>0，解得x>－2a；
由f′(x)<0得(x－a)(x＋2a)<0，解得0
所以函数f(x)在(0，－2a)上单调递减，在(－2a，＋∞)上单调递增．
(3)证明由(2)知，当a∈(－∞，0)时，函数f(x)的最小值为f(－2a)，
即g(a)＝f(－2a)＝aln(－2a)＋2a
2
－2a－2a＝aln(－2a)－3a.
g′(a)＝ln(－2a)＋a·－2－2a－3＝ln(－2a)－2，
令g′(a)＝0，得a＝－12e2.
当a变化时，g′(a)，g(a)的变化情况如下表：
a(－∞，－
1
2e
2)－1
2e
2(－1
2e
2，0)
g′(a)＋0－
g(a)↗极大值↘
－12e2是g(a)在(－∞，0)上的唯一极值点，且是极大值点，从而也是g(a)的最大值点．
所以g(a)最大值＝g????－12e2
＝－12e2ln????－2×????－12e2－3????－12e2
＝－12e2lne2＋32e2＝12e2.
所以，当a∈(－∞，0)时，g(a)≤12e2成立．
模板12导数与不等式问题
Gothedistance
例12设函数f(x)定义在(0，＋∞)上，f(1)＝0，导函数f′(x)＝1x，g(x)＝f(x)＋f′(x)．
(1)求g(x)的单调区间和最小值；
(2)讨论g(x)与g????1x的大小关系；
(3)是否存在x0>0，使得|g(x)－g(x0)|<1x对任意x>0成立？若存在，求出x0的取值范围；
若不存在，请说明理由．
审题破题(1)先求出f(x)，再求g(x)，然后讨论g(x)的单调区间，最值；(2)可构造函数
h(x)＝g(x)－g????1x，通过g(x)的单调性比较g(x)，g????1x的大小；(3)对任意x>0若不存在
x0，只需取一特殊值即可；若存在x0，一般利用最值解决．
解(1)由题设易知f(x)＝lnx，
g(x)＝lnx＋1x，∴g′(x)＝x－1x2，令g′(x)＝0，得x＝1，
当x∈(0,1)时，g′(x)<0，
故(0,1)是g(x)的单调减区间，
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0.
故(1，＋∞)是g(x)的单调增区间，
因此，x＝1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，
从而是最小值点，所以最小值为g(1)＝1.
(2)g????1x＝－lnx＋x，
设h(x)＝g(x)－g????1x＝2lnx－x＋1x，
则h′(x)＝－?x－1?
2
x2，
当x＝1时，h(1)＝0，即g(x)＝g????1x，
当x∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h′(x)<0，h′(1)＝0，
因此，h(x)在(0，＋∞)内单调递减，
当0h(1)＝0，即g(x)>g????1x，
当x>1时，h(x)
(3)满足条件的x0不存在．
证明如下：
假设存在x0>0，使|g(x)－g(x0)|<1x对任意x>0成立，即对任意x>0，
有lnx
但对上述x0，取x1＝eg(x0)时，有lnx1＝g(x0)，这与()左边不等式矛盾，
因此，不存在x0>0，使|g(x)－g(x0)|<1x对任意x>0成立．
Gothedistance
第一步：构造函数h?x?＝g?x?－g????1x；
第二步：根据求单调性、极值的步骤探求函数h?x?的单调性；
第三步：根据h?x?的单调性比较h?x?和0的大小；
第四步：下结论，反思回顾.
跟踪训练12已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c＋lnx.
(1)当a＝b时，若函数f(x)在定义域上是单调函数，求实数a的取值范围；
(2)设函数f(x)在x＝12，x＝1处取得极值，且f(1)＝－1，若对任意的x∈????14，2，f(x)≤m
恒成立，求m的取值范围．(参考数据：e≈2.7)
解(1)∵a＝b时，f(x)＝ax2＋ax＋c＋lnx，
∴f′(x)＝2ax＋a＋1x＝2ax
2＋ax＋1
x(x>0)．
当a＝0时，f′(x)＝1x>0，此时f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a>0时，∵x>0，∴2ax2＋ax＋1>0，∴f′(x)>0，
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a<0时，设g(x)＝2ax2＋ax＋1，函数g(x)在????－14，＋∞上单调递减，且g(0)＝1>0，
故在(0，＋∞)上，函数g(x)的符号不确定，即此时f′(x)的符号不确定，∴函数f(x)在
(0，＋∞)上不单调．
综上可知，a的取值范围是[0，＋∞)．
(2)∵f(x)在x＝12，x＝1处取得极值，
∴f′(1)＝f′????12＝0，
即
??
??
?2a＋b＋1＝0
a＋b＋2＝0，∴???
??a＝1
b＝－3，
即f′(x)＝2x
2－3x＋1
x＝
?2x－1??x－1?
x，
且f(x)＝x2－3x＋c＋lnx.
又∵f(1)＝－1，∴1－3＋c＝－1，得c＝1，
∴f(x)＝x2－3x＋1＋lnx.
∵当x∈????14，12时，f′(x)>0，
∴函数f(x)在????14，12上单调递增；
Gothedistance
∵当x∈????12，1时，f′(x)<0，
∴函数f(x)在????12，1上单调递减；
∵当x∈(1,2]时，f′(x)>0，
∴函数f(x)在(1,2]上单调递增．
∴f(x)极大值＝f????12＝14－32＋1＋ln12＝－14－ln2，
而f(2)＝－1＋ln2，f(2)－f????12＝－34＋ln4
＝ln4－lne，由于4>e>e，故f(2)>f????12，
∴f(x)max＝－1＋ln2，∴m≥－1＋ln2.
3
4
3
4
|
|
